高中数学《2.6.1 双曲线的标准方程》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 双曲线的定义
　　把平面内与两定点F₁,F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：|PF₁|-|PF₂|=±2a(2a＜|F₁,F₂|).
注意：（1）当2a=|F₁F₂|时，轨迹是直线F₁F₂去掉线段F₁F₂.
(2)当2a＞|F₁F₂|时，轨迹不存在.
2.双曲线的标准方程
　（1） 焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞0,b＞0)；焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0,b＞0).给定椭圆(m与n异号)，要根据m,n的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的那个坐标轴上.
　(2)双曲线中a,b,c关系为：c²=a²+b².

视频教学：

练习：

【基础达标】

1. “m＜8”是“方程表示双曲线”的（　　）
　A.充分而不必要条件　　B.必要而不充分条件
　C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示双曲线，则(m-8)(m-10)＞0，解得m＜8或m＞10，故“m＜8”是“方程表示双曲线”的充分而不必要条件，故选A.

2. 【2015高考福建，理3】若双曲线的左、右焦点分别为F₁,F₂，点P在双曲线E上，且|PF₁|=3，则|PF₂|等于（　　）
　A．11　　B．9　　C．5　　D．3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得||PF₁|-|PF₂||=2a=6，即|3-|PF₂||=6，解得|PF₂|=9，故选B．

3. 已知F₁,F₂为双曲线C:x²-y²=2的左右焦点，点P在C上，|PF₁|=2|PF₂|，则cos∠F₁PF₂（ ）
　A．1/4　　B．3/5　　C．3/4　　D．4/5
【答案】C
【解析】
　　双曲线的方程为，所以,c=2，因为|PF₁|=|2PF₂|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF₁|-|PF₂|=2a= ,所以解得|PF₂|=，|PF₁|=，所以根据余弦定理得,选C.

4. 【2014北京，文10】设双曲线C的两个焦点为，一个顶点式(1,0)，则C的方程为______.
【答案】x²－y²＝1　
【解析】由题意设双曲线的方程为(b＞0)，又∵1＋b²＝，∴b²＝1，即双曲线C的方程为x²－y²＝1.
5. 【2015高考北京，文12】已知(2,0)是双曲线（b＞0）的一个焦点，则b=______．
【答案】
【解析】由题意知c=2，a=1，b²=c²-a²=3所以.

【能力提升】

1. 【2015届江西省九江市一模拟】已知点P为双曲线右支上一点，点F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF₁F₂的内心，若S_△PNMF1=S_△PMF2+8，则△MF₁F₂的面积为（　　）
　A.　　B.10　　C.8　　D.6
【答案】B.
【解析】设内切圆的半径为R，a=4,b=3,c=5，∵S_△PMF1=S_△PMF2+8，∴(|PF₁|-|PF₂|)R=8，即aR=8，∴R=2，∴，故选B.

2. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F₁、F₂，点A在C上，若|F₁A|=2|F₂A|，则cos∠AF₂F₁=（　　）
　A．　　B.　　C．　　D．
【答案】A．
【解析】
　　由已知设|F₂A|=m,|F₁A|=2m则由定义得|F₁A|-|F₂A|=2a,∴m=2a,|F₁A|=4a,|F₂A|=2a.
∵|F₁F₂|=2c=4a在△AF₁F₂中，由余弦定理得


3. 【2015年广州市高考模拟考试7】已知双曲线的左，右焦点分别为F₁，F₂，过点F₂的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则△PF₁Q的周长为（　　）
A．　　B．　　C．　　D．
【答案】A
【解析】
　　因为，所以F2(2,0)，因为点P的横坐标为2，所以PQ⊥x轴，由，解得所以，因为点P、Q在双曲线C上，所以|PE₁|-|PE₂|= |QF₁|-|QF₂|=，所以
|PF₁|+|QF₁|=+|PF₂|+|QF₂|=+|PQ|=，所以△PF₁Q的周长|PF₁|+|QF₁|+|PQ|=，故选A．

4. 设F₁,F₂是双曲线(a＞0,b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF|₁+|PF₂|=6a且△PF₁F₂的最小内角为30º，则C的离心率为______.
【答案】
【解析】
　　不妨设|PF₁|＞|PF₂|，则，所以|PF₁|=4a,|PF₂|=2a，因为∠PF₁F₂=30º，所以|F₁F₂|=所以.

5. 【2015高考新课标1，文16】已知 是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
　　设双曲线的左焦点为F₁，由双曲线定义知，|PF|=2a+|PF₁|，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2a+|AF|=|PA|+|PF₁|+|AF|+2a，由于2a+|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+|PF₁|最小，即P、A、F₁共线，∵，F₁（－3,0），∴直线AF₁的方程为，即代入整理得，解得或(舍)，所以P点的纵坐标为，
∴S_△APF=S_△AFF1-S_△PFF1=.


【终极突破】

1. 如图，F₁,F₂是椭圆与双曲线C₂的公共焦点，a,b分别是C₁，C₂在第二、四象限的公共点.若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（　　）

A.　　B.　　C.　　D.
【答案】D
【解析】
　　即由已知得，设双曲线实半轴为a，由椭圆及双曲线的定义和已知得到：
∴a²=2,所以双曲线的离心率为，所以选D.

2. 已知椭圆(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线
交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
　A．　　B.
　C.　　D.
【答案】D
【解析】
　　设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，所以，
x₁+x₂=2，y₁+y₂=-2，①－②得，，所以，所以a²=2b²，又因为a²-b²=9，解得b²=9,a²=18，故选D.

3. 【2015届福建省泉州一中最后一次模拟】已知双曲线(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,以F₁F₂为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P.若∠PF₁F₂=30º,则该双曲线的离心率为______.
【答案】
【解析】
　　由题知点F₁,_F2,P在以_F1F₂为直径的圆上，则∠F₁PF₂=90º而∠PF₁F₂=30º，故由双曲线的定义可得


4. 【2015届河南省南阳市一中三模】设F₁、F₂是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF₁|=λ|PF₂|则λ的值为（　　）
　A．2　　B．1/2　　C．3　　D．1/3
【答案】A
【解析】
由得，a=1，b=2，，由条件得|OP|=|OF₂|，在△PF₁F₂中，中线，∴∠F₁PF₂=90º，∴在Rt△PF₁F₂中，，解得：
，而|PF₁|=λ|PF₂|，即．

课件：

教案：

课题名称	双曲线及其标准方程
概  述
教学对象分析：学生是在学习完了椭圆的标准方程和性质之后来学习双曲线及其标准方程，对圆锥曲线的学习有一定的基础。在基本知识点，数学方法和思想，数学能力等方面应用类比椭圆相关知识的方法来进行学习。
教学任务分析： 圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。在引导学生进行基础知识的探索教学过程中，加强对学生思维能力的培养；利用现代化教学，在课堂教学中达到提高学生能力和培养学生创新意识。在整个教学过程中让学生注意观察、比较、分析、抽象、概括，使学生在模拟演练中，体会到数学中蕴含的一些重要的思想方法，力求使学生在教师的引导下，通过类比“椭圆及其标准方程”，加深对知识的理解，较好的掌握双曲线的定义及其标准方程，即本节课所讲的任务。
教学流程图（见下面附录）
三维学习目标
知识与技能	掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，能初步应用
过程与方法	通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力；使学生初步会按特定条件求双曲线的标准方程。
情感态度 价值观	理解双曲线与椭圆的联系与区别以及特殊情况下的几何图形（射线、线段等）；培养学生发散思维的能力。
教学重难点
重点	双曲线方程的形式
难点	双曲线方程的推导过程
教学环境资源
实验
其他资源
教学过程	设计思想
一、复习引入： 1 椭圆定义： 平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）。两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）。椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关。 2.椭圆标准方程： （1） （2）  其中 二、讲解新课： 1．双曲线的定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。  即 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。 概念中几个容易忽略的地方：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于” 。 2．双曲线的标准方程：  根据双曲线的定义推导双曲线的标准方程：推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程。 过程如下：（1）建系设点；（2）列式；（3）变换；（4）化简；（5）证明 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。 设P（）为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2（）。 则 ，又设M与距离之差的绝对值等于2（常数），。 化简，得： 由定义  令代入，得： 两边同除得：， 此即为双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是， 其中 若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程，如焦点在轴上，则焦点是，将互换，得到，此也是双曲线的标准方程。 三、讲解范例： 例1 ⑴ 已知点到点的距离减去它到点的距离之差是4，求点的轨迹方程。 ⑵ 已知点到点的距离与它到点的距离之差的绝对值等于6，求点的轨迹方程。 解：⑴ 依题意，， 所以点M的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且c=3，2a=4. 因为              ， 所以点M的轨迹方程为. ⑵ 因为，而，所以当时，点M的轨迹是以为端点在轴上的向右的一条射线 当时，点M的轨迹是以为端点在上的向左的一条射线. 例2　 在相距2000米的两个观察站A、B先后听到远处传来的爆炸声，已知A站听到爆炸声的时间比在B站早4秒，声速为340 米／秒，判断爆炸点可能分布在什么样的曲线上？并求出该曲线的方程． 解：(1)由声速及A、B两站听到爆炸声的时间差，可知A、B两站与爆炸点的距离的差小于A、B两站之间的距离，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上 因为爆炸点离B处比离A处更远，所以爆炸点应在靠近A处的一支上． (2)如图建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合 设爆炸点P的坐标为，则 ∵|PB|－|PA|=340×4=1360，又|AB|=2000>1360  即 2＝1368，＝680,=462400． 　 2c=2000，c=1000，＝537600 所求双曲线的方程为        （<-68< span="">0） 例3双曲线的两个焦点为、，点P在双曲线上，若，求点P到轴的距离. 解：   设点P的坐标为，则有，即.    由焦点坐标为、得，.    由    ，   得    ， 即   ，    化简得               .            ②    由①②可得               ，    所以        . 因此，点P到轴的距离为. 四、课堂练习： 教材第57页练习12.5 五、回家作业 《练习部分》	从椭圆定义类比出双曲线定义，强调类比思想。 点评：求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂解决它需要突出形数结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的 分析：解应用题的关键是建立数学模型 根据本题设和结论，注意到A站听到爆炸声的时间比在B站早4秒,这里声速取同一个值本例是培养学生应用双曲线知识解决实际问题的一道典型题目，安排在此非常有利于强化学生“应用数学”的意识，后面对“想一想”的教学处理，有利于调动学生的学习主动性和积极性，培养他们的发散思维能力
教学媒体 的运用	几何画板对双曲线形成的演示
教学设计的形成性评价

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