高中数学《2.8 直线与圆锥曲线的位置关系》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

（1）直线与椭圆的位置关系。

设直线L方程是：,椭圆方程是，则由消去y：得              （*）

设方程（*）的判别式

(i)若方程（*）有两不等实根直线L与椭圆相交直线与椭圆有两个不同的公共点。

(ii)若方程（*）有两个相等的实根直线L与椭圆相切直线与椭圆只有一个公共点。

(iii)若方程（*）无实根直线L与椭圆相离直线与椭圆无公共点。

(2)直线与双曲线的位置关系

设直线L：，双曲线方程：

当直线L与双曲线的渐近线平行时：直线L与双曲线相交有一个公共点或没有公共点。

当直线L与双曲线的渐近线不平行时：

消去y得关于x的方程：      （*）

若方程（*）有两不等实根直线L与双曲线相交直线与双曲线有两个不同的公共点。

若方程（*）有两个相等的实根直线L与双曲线相切直线与双曲线只有一个公共点。

若方程（*）无实根直线L与双曲线相离直线与双曲线无公共点。

注：当直线L与双曲线只有一个公共点时，直线L与双曲线可能相交，也可能相切。

（3）设直线L：,设抛物线方程为

若直线L与抛物线的对称轴平行或重合时，直线L与抛物线相交有一个交点

若直线L与抛物线的对称轴不平行或不重合时：

消去y得： （*）

若方程（*）有两不等实根直线L与抛物线相交直线与抛物线有两个不同的公共点。

若方程（*）有两个相等的实根直线L与抛物线相切直线与抛物线只有一个公共点。

若方程（*）无实根直线L与抛物线相离直线与抛物线无公共点。

注：当直线L与抛物线只有一个公共点时可能相交也可能相切。

例、已知双曲线直线L:，讨论直线L与双曲线的公共点个数。

【思路分析】：当直线L的方程与双曲线方程组成方程组，消去y得到关于x的一元方程 ，（1）若直线L与双曲线的渐近线平行时 m=0,（2）当直线L与双曲线的渐近线不平行，然后讨论方程根的个数。

解：   将②代入①得：

    ③

（i）当,方程2x=5,方程组有一解，此时直线L与双曲线相交，有一个公共点。（此时直线L与双曲线的渐近线平行）

（ii）当时，

    时，方程组有两个解，直线L与双曲线有两个公共点。

若，即当时，方程组有一解，即直线L与双曲线有一个公共点。

若，即时，方程组无解，即直线L与双曲线无公共点。

综合上述：当时，直线L与双曲线只有一个公共点，

当时，直线L与双曲线有两个公共点。

当时，直线L与双曲线无公共点。

视频教学：

练习：

课件：

教案：

教材分析处理：   本节课是平面解析几何的核心内容之一.在此之前,学生已学习了直线、圆、圆锥曲线的标准方程和简单的几何性质,这为本节复习课起着铺垫作用.本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》第一轮复习的第一节课,着重是教会学生如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化学生的解题思维,提高学生解题能力.作为第一节课从交点入手进行复习，灵活运用直线与圆锥曲线有交点这一几何特点解决与之相关的数学问题，同时也为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础.

教学方法选择及理由： 1.以学定教的碰壁点拨式（作为高三复习课，学生对所学知识已有一定的基础，让学生去发现问题，再设法去解决问题（或带着问题去听课）会使课堂更高效。

1.类比式教学(从直线和抛物线到直线和椭圆、双曲线，其解决方法有相似之处。如直线与抛物线的对称轴平行可类比直线与双曲线的渐近线平行。)

2.问题探究小组讨论式教学(不断对问题进行变式，引导学生全方位，多角度去探究，把涉及到的相关知识由浅入深，让不同层次的同学都享受到学习的乐趣和成功的喜悦。)

教学程序设计及理由：  整体采用导学案，课前学生利用5-10分钟完成预习案。课堂：1、老师阐述考纲要求、考情分析。2、学生展示预习成果---老师点评---学生小结。3、学生进行问题探究---学生展示探究成果---学生讨论---老师点评。4、课堂总结。以学定教，让学生做学习的主人，让学生在探究中培养坚定的意志、思维能力、计算能力。让学生在展示中培养交流和表达能力。让学生在讨论中培养质疑创新能力。

下面是教师用导学案，每题后面（  ）中的内容为教师案中独有

一、考纲要求：

1、掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法

2、理解数形结合的思想

二、考情分析:

2013年有11考， 2014年有12考。直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点

近年解答题的出现都属于中高档题

三、自主预习案：（课前预习5到8分钟）

1.请思考：

（1）已知直线与抛物线恰好有一个公共点、两个公共点时k的相应

取值范围．

（学生上讲台投影展示其解题过程与结果，并在展示屏上讲解自己的解题过程与思路)   老师根据学生展示的情况再有针对性点评 。

时恰好有一个公共点，时有两个公共点。一定要注意二次项系数为不确定时则要注意讨论系数是否为零。

（2）已知直线，如果直线与椭圆恒有公共点，则实数ｍ

的范围。    

（学生上讲台投影展示其解题过程与结果，并在展示屏上讲解自己的解题过程与思路)   老师根据学生展示的情况再有针对性点评。  此题若用联立方程，用判别式来解决，则需要两次用判别式求第一次判别式中关于k的函数的最小值，再由最小值大于0得出关于m的不等式。而若发现直线恒过定点A（2,1），用点A在椭圆上或椭圆内这个几何特点构造关于m的不等式，则很快就能解出。一定注意    

（老师根据学生可能的错误点评要点：题1中与对称轴平行的直线，题2中注意 ）

我的体会：  （由学生通过这两个题进行总结，老师补充并用多媒体打出）

（【规律方法】    直线与圆锥曲线位置关系的判定方法及关注点：

判定方法: (1) 直线与圆锥曲线方程联立，消去x(或y)，判定该方程组解的个数，方程组有几组解，直线与圆锥曲线就有几个交点. （2）几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系. (3)关注点:①联立直线与圆锥曲线的方程消元后,应注意讨论二次项系数是否为零的情况.②判断直线与圆锥曲线位置关系时,判别式Δ起着关键性的作用,第一：可以限定所给参数的范围;第二：可以取舍某些解以免产生增根. ）

2.直线与圆锥曲线的位置关系的判定

(1)代数法:把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y(或x),整理得到关于x（或y）的方程

方程ax2+bx+c=0的解	l与C的交点个数
a=0	b=0	无解(含l是双曲线的渐近线)	_________
b≠0	有一解(含l与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)	_________
a≠0	Δ>0	两个_____的解	_________
Δ=0	两个相等的解	_________
Δ<0< span="">	无实数解	_______

(2)几何法：（数形结合法） 在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线,利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系.

四、合作探究案  （先学生课堂练习5—10分钟）

1、直线l:的交点个数为      （　　　C　　）

（Ａ）　１个　　　（Ｂ）　２个　　　（Ｃ）　３个　　（Ｄ）４个

（做得最快的同学投影展示，老师最好找出错误答案展示再由学生评判) ，（展示后老师点评并强调在作双曲线时一定先作渐近线。然后继续变式提问：若直线方程变为: , 则交点个数为多少？  ）

2、已知曲线 (P>0) 与直线相交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点O，则 p 的值为____

      (做得最快的同学上黑板板书展示，其余同学在下面可以进行小组讨论，鼓励学生积极思考，寻求不同的方法：设PQ，1.利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，建立方程，推出；2.利用以PQ为直径的圆方程为，O(0，0)在圆上，则即， 3.利用很快得出构造出关于p的方程。不论哪种方法都是得出关键的式子：，让学生去比较去感悟。)

3、已知实数ｘ，ｙ满足：，求的取值范围

（让一个学生上黑板展示，与学生探讨解法：可能有柯西不等式法；三角换元法；几何法结合判别式得出）分析完各种方法后，老师进行变式提问，变式：已知实数ｘ，ｙ满足： ，求的取值范围。变式后的题目最好用几何法：表示半个椭圆，则问题转化为直线与椭圆有公共点，通过作图及判别式求得，当然可能有学生用三角换元法，但由于角的范围发生改变且又不是特殊角，这样做容易出错，强调采用数形结合法最好。）

五、小结：（由学生总结）本节课通过由直线与圆锥曲线的位置关系来研究直线与圆锥曲线的数量关系，通过数与形的有机结合，灵活运用数形结合的思想方法解决数学问题。通过比较各种解法的优劣，悟出解法要点，学会知识的灵活运用 。

七、巩固提高

1、已知直线，如果直线与双曲线恒有公共点，则实数ｂ的范围。

A.(-,)      B.［-,］      C.(-2,2)      D.［-2,2］

2、若点Ｐ满足，则称点Ｐ在抛物线内。现已知点Ｐ在抛物线内_，则直线与抛物线的位置关系是什么？

3、[2014·福建卷] 已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l₁：y＝2x，l₂：y＝－2x.

(1)求双曲线E的离心率．

(2)如图1­6，O为坐标原点，动直线l分别交直线l₁，l₂于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

解答3、[2014·福建卷] 已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l₁：y＝2x，l₂：y＝－2x.

(1)求双曲线E的离心率．

(2)如图1­6，O为坐标原点，动直线l分别交直线l₁，l₂于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．

解：方法一：

(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，

所以ba＝2， 所以c2－a2)a＝2， 故c＝5a，  

 从而双曲线E的离心率e＝ca＝5.

(2)由(1)知，双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1.

设直线l与x轴相交于点C.

当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又因为△OAB的面积为8，

所以12|OC|·|AB|＝8，      因此12a·4a＝8，解得a＝2，

此时双曲线E的方程为x24－y216＝1.

若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为x24－y216＝1.

以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x24－y216＝1也满足条件．

设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<< span="">－2，则Cas4alco1(－(mk)，0).记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由y＝kx＋m，y＝2x)得y₁＝2m2－k，同理得y₂＝2m2＋k.

由S_△OAB＝12|OC|·|y₁－y₂|，得12－(mk))·(2m2m2＋k)＝8，即m²＝4as4alco1(4－k2)＝4(k²－4)．

由y＝kx＋m，x2y216)＝1得(4－k²)x²－2kmx－m²－16＝0.         因为4－k²<0< span="">，

所以Δ＝4k²m²＋4(4－k²)(m²＋16)＝－16(4k²－m²－16)．

又因为m²＝4(k²－4)，

所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.

方法二：(1)同方法一．

(2)由(1)知，双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1.

设直线l的方程为x＝my＋t，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

依题意得－12<< span="">m<< span="">12.         由x＝my＋t，y＝2x)得y₁＝2t1－2m， 同理得y₂＝－2t1＋2m.

设直线l与x轴相交于点C，则C(t，0)．

由S_△OAB＝12|OC|·|y₁－y₂|＝8，得12|t|·(2t2t1＋2m)＝8.

所以t²＝4|1－4m²|＝4(1－4m²)．

由x＝my＋t，x2y24a2)＝1得(4m²－1)y²＋8mty＋4(t²－a²)＝0.

因为4m²－1<0，直线< span="">l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m²t²－16(4m²－1)(t²－a²)＝0，即4m²a²＋t²－a²＝0, 即4m²a²＋4(1－4m²)－a²＝0，即(1－4m²)(a²－4)＝0，

所以a²＝4，

因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.

方法三：(1)同方法一．

(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．依题意得k>2或k<－2.< span="">

由y＝kx＋m，4x2－y2＝0)得(4－k²)x²－2kmx－m²＝0，     因为4－k²<0< span="">，Δ>0，所以x₁x₂＝－m24－k2，

又因为△OAB的面积为8，   所以12 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝45，

所以252121x＋y·2222x＋y＝8，化简得x₁x₂＝4.

所以－m24－k2＝4，即m²＝4(k²－4)．

由(1)得双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1，

由y＝kx＋m，x2y24a2)＝1得(4－k²)x²－2kmx－m²－4a²＝0.

因为4－k²<0< span="">，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k²m²＋4(4－k²)(m²＋4a²)＝0，

即(k²－4)(a²－4)＝0，所以a²＝4，       所以双曲线E的方程为x24－y216＝1.

当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：x24－y216＝1有且只有一个公共点．

综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为x24－y216＝1.

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