高中数学《3.3 二项式定理与杨辉三角》微课精讲+知识点+教案课件+习题

班班通教学系统 2023-02-12

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知识点：

一杨辉三角的基本性质

我们先来考察一下杨辉三角里面数字排列的规则. 一般的杨辉三角是如下的图形：

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

………………………………………

…………………………………………………

这里，记号是用来表示下面的数：

而记号n！（同样r！和（n-r）！），我们知道它是代表从1到n的连乘积n（n-1）（n-2）…3·2·1，称为n的阶乘. 学过排列组合的读者还可以知道，也就是表示从n件东西中取出r件东西的组合数.

从上面的图形中我们能看出什么呢？就已经写出的一些数目字来看，很容易发现这个三角形的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数都等于它肩上的两个数相加. 例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…. 其实杨辉三角正就是按照这个规则作成的. 在一般的情形，因为

这说明了，上图中的任一数等于它肩上的两数和的和.

为了方便起见，我们把本来没有意义的记号和令它们分别等于1和0，这样就可以把刚才得到的结果写成关系式：

而称它为杨辉恒等式. 这是杨辉三角最基本的性质.

对于杨辉三角的构成，还可以有一种有趣的看法.

如图1，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框子. 把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面，以后，落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去.

再以后，它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去. 这里，如果要弹子落到最左边的通道里，那末它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行（1个可能情形）；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可（1个可能情形）；至于要它落在中间的通道里，那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都成（2个可能情形）。

这样一来，弹子落在第三层（有几个竖直通道就算第几层）的通道里，按左、中、右的次序，分别有1，2，1个可能情形. 不难看出，在再下面的一层（第四层），左、右两个通道都只有1个可能情形（因为只有当弹子是从第三层的左边或右边落下来时才有可能）；而中间的两个通道，由于它们可以接受从上一层的中间和一边（靠左的一个可以接受左边，靠右的一个可以接受右边）掉下来的弹子，所以它们所有的可能情形应该分别是第三层的中间和一边（左边或右边）的可能情形相加，即是3个可能情形. 因此第四层的通道按从左到右的次序，分别有1，3，3，1个可能情形.

照同样的理由类推下去，我们很容易发现一个事实，就是任何一层的左右两边的通道只有一个可能情形，而其他任何一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加. 这正是杨辉三角组成的规则. 于是我们知道，第n+1层通道从左到右，分别有1，，1个可能情形.

我们还可以这样来看上面的结论：如果在倾斜板上做了n+1层通道；从顶上漏斗里放下颗弹子，让它们自由地落下，掉在下面的n+1个长方框里. 那末分配在各个框子中的弹子的正常数目（按照可能情形来计算），正好是杨辉三角的第n+1行. 注意，这是指“可能性”而不是绝对如此. 这种现象称为概率现象.

二杨辉三角的应用

1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加

2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离 ”的两个数相等

3.每一行的第二个数就是这行的行数

4.所有行的第二个数构成等差数列

5.第n行包含n+1个数

视频教学：

练习：

一、选择题

1.二项式(a＋b)²ⁿ的展开式的项数是(　　)

A．2n 　　 B．2n＋1 　　 C．2n－1　　 D．2(n＋1)

2.(x2)⁶的展开式中含x³项的系数是( )

A.160 B.20 C.160 D.20

3.的展开式中常数项是( )

A.14 B.-14 C.42 D. -42

4.的展开式中，不含a的项是第（）项

A.7 B.8 C.9 D.6

5.若，则的值是（）

A.-1 B.127 C.128 D.129

6.化简的结果是( )

A.x⁹ B.(x1)⁹ C. (x+1)⁹ D. (x3)⁹

二、填空题

7.的展开式中含x³的项是 .

8.展开式的常数项是 .

9.(x+y)ⁿ的展开式有一项是，则n的值为。

10.在的展开式中，中间项是 .

课件：

教案：

一、【学习目标】

知识目标

1．利用二项式定理得出二项式系数的一些性质；

2．能运用二项式系数的性质解决一些简单问题．

能力目标

1．熟知二项式系数的对称性、单调性、最大项及所有二项式系数之和等结论；

2．熟练运用赋值法求一些代数式的值．

情感、态度与价值观

1．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力．

2．通过学习“杨辉三角”的有关知识，了解我们国家悠久的文化传统，陶冶学生的爱国主情操，进一步提升学生学好数学用好数学的决心和勇气，提升学生学习数学的兴趣．

二、【重点难点】

重点：二项式系数的性质及其应用；

难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、【知识链接】

1、二项式定理：________________________________________________；

通项：；

二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x)ⁿ =________________________________________________；

四、【合作探究】

探究问题一杨辉三角的来历及规律

问题1：把( a+b)ⁿ （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P₃₂的表格。通过填表，你发现了每一行的系数有什么规律？

问题2：为了方便，可将上表改写成如下形式，表示形式的变化后你发现新的规律吗？

(a+b)¹…………………………………………………1 1

(a+b)²…………………………………………………1 2 1

(a+b)³………………………………………………1 3 3 1

(a+b)⁴……………………………………………1 4 6 4 1

(a+b)⁵…………………………………………1 5 10 10 5 1

(a+b)⁶………………………………………1 6 15 20 15 6 1

……………………………

归纳小结：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？

蕴含规律：1、项数规律

2、系数规律

3、指数规律

问题3：你能介绍杨辉三角的来历吗？

探究问题二从函数角度分析二项式系数

问题1：( a+b)ⁿ展开式的二项式系数为，从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数f(r)，令f(r)= ，定义域为

问题2：当n=6时，作出函数f（r）的图象如下，其图象是七个孤立的点。你能作当n=7时函数f（r）的图象吗？

问题3：当n=7时，函数f（r）的图象是对称的吗？对称轴在哪儿？

探究问题三通过图象归纳二项式系数的重要性质

问题1：（对称性）与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等吗？由公式怎么表示？

问题2：（增减性与最大值）由函数f（r）的图象知，二项式系数的前半部分是逐渐（增大，减小）的，由对称性知它的后半部分是逐渐的。如何证明？

问题3：二项式系数在中间处取得最大值，那么

(1)当n是偶数时，中间最大的一项二项式系数是，是二项式展开式的第几项？

(2)当n是奇数时，中间最大的两项二项式系数是和，是二项式展开式的第几项？

变式提升：在的展开式中，二项式系数最大为；

在的展开式中，二项式系数最大为 .

探究问题四各项二项式系数的和

问题1：( 1+x)ⁿ =+x+x²+…+x^r+…+xⁿ,

那么 +++…+=？

问题2：试证：在（a+b）ⁿ的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

归纳小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种，除此之外还有倒序相加法.

变式提升：已知

则 (1)

(2)

(3)

(4)

五、【达标自测】

1、（a+b）ⁿ的各二项式系数的最大值是____________；

2、++…+=________；

3、__________；

4、证明：+++…+ =2^n-1 (n是偶数) ；

5、。

六、【归纳总结】

1.这节课我们收获那些新知识？

二项式系数的三个性质

2.在探究这些新知识的过程中我们用到了那些数学思想和方法？

*知识拓展*

11世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique（1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

达标自测参考答案

1.若n为偶数，则，若n为奇数，则；

2.；

3.；

4.略；

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