高中数学《4.1.2 乘法公式与全概率公式》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1. 条件概率公式

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 设A, B是两个事件，且P(B)>0， 则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率(conditional probability)为：

P(A|B)=P(AB)/P(B)

条件概率是理解全概率公式和贝叶斯公式的基础，可以这样来考虑，如果P(A|B)大于P(A)则表示B的发生使A发生的可能性增大了。

在条件概率中，最本质的变化是样本空间缩小了——由原来的整个样本空间缩小到了给定条件的样本空间。

2. 乘法公式

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 2.1 乘法公式

由条件概率公式得：

 P(AB) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)

上面的式子就是乘法公式。

2.2 乘法公式的推广

对于任何正整数n≥2，当P(A₁A₂...A_n-1) > 0 时，有：

P(A₁A₂...A_n-1A_n) = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁A₂)...P(A_n|A₁A₂...A_n-1)

3. 全概率公式

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 3.1 前提假设

设B₁，B₂，....为有限或无限个事件，它们两两互斥且在每次试验中至少发生一个，即：

• 不重，B_i ∩ B_j = ∅（不可能事件）i≠j ,

• 不漏，B₁∪B₂∪.... = Ω（必然事件）.

图1：B₁ - B_n是对S的一个划分

这时，称事件组 B₁, B₂,...是样本空间S的一个划分，把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件组”。

设 B₁, B₂,...是样本空间S的一个划分，A为任一事件（图1中红圈内部区域），则：

 上式即为全概率公式（formula of total probability)

 也可以分为两步来看全概率公式：

图2：分两步看全概率公式，S先被划分为n个子集B₁ - B_n，然后每个子集的发生会对A的发生产生不同程度的影响

在运用全概率公式时的已知未知条件为：

• 划分后的每个小事件的概率，即P(B_i), i = 1, 2, ..., n；

• 每个小事件发生的条件下，A发生的概率，即P(A|B_i), i = 1, 2, ..., n；

• 求解目标是计算A发生的概率，即P(A)。

3.2 意义

全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(B_i)，P(A|B_i)  (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成若干个小事件，通过求每个小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率。

而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间S的一个划分B₁,B₂,...B_n,这样事件A就被事件AB₁,AB₂,...AB_n分解成了n部分，即A = AB₁ + AB₂ + ... + AB_n, 每一B_i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B_i)，由加法公式得

    P(A) = P(AB₁) + P(AB₂) + .... + P(AB_n)

= P(B₁)P(A|B₁) + P(B₂)P(A|B₂) + ... +P(B_n) P(A|B_n)

视频教学：

练习：

1.甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,其产量分别占总量的25%,35%,40%,次品率分别为3%,4%,2%.从这批产品中任取一件,则它是次品的概率为()

A.0.012 3

B.0.023 4

C.0.029 5

D.0.045 6

2.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片,已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为,现从这10盒中任取一盒,则取得的这盒X光片是次品的概率为()

A.0.08

B.0.1

C.0.15

D.0.2

3.设有5个袋子中放有白球,黑球,其中1号袋中白球占1/3,另外2,3,4,5号4个袋子中白球都占1/4,今从中随机取1个袋子,从所取的袋子中随机取1个球,结果是白球,则这个球是来自1号袋子中的概率为()

A1/4

B1/3

C1/2

D2/3

4.一道考题有4个答案,要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为1/3,若不知正确答案,则学生会乱猜.在乱猜时,4个答案被选择的概率均为1/4,如果他答对了,则他确实知道正确答案的概率是()

A1/3

B2/3

C3/4

D1/4

5.电报发射台发出“·”和“–”的比例为5∶3,由于干扰,传送“·”时失真的概率为2/5,传送“–”时失真的概率为1/3,则接受台收到“·”时发出信号恰是“·”的概率为. 

课件：

教案：

【教学目的】

根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：理解并熟练掌握全概率公式及其应用。

【教学思想】 

1、全概率公式，是加法原理与乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的辩证法教学思想，将受多个因素影响的复杂事件概率分解成若干个简单事件概率之和。

2、全概率公式的“全”的含义是指对目标事件有概率贡献的全部原因，需要将所有的可能性都考虑进来。

3、事件的概率是该事件受到多个因素影响后的综合表现，因此，全概率公式中的本质上是一种平均概率，是对条件概率 的加权平均, 其权重就是作为条件的事件发生的概率。

4、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的，体现“授人以渔”。

【教学分析】      

1、本次课主要包括以下内容：

（1）回顾条件概率公式和乘法原理，分析引例；

（2）全概率公式及证明；

（3）全概率公式的应用。

2、重难点分析：

全概率公式主要用于计算受多个事件影响的复杂事件的概率，其原理是利用这些影响事件所对应的划分，将所求事件分解后再利用乘法原理计算各影响事件的概率“贡献”之和。全概率公式的应用蕴含了利用“化整为零、积零成整”、将复杂问题简化的思想，故为本次课的重点。

全概率公式的难点在于其应用。对某具体问题，学生一般不知道或不容易分析出该问题可以利用全概率公式来进行求解。需要通过实例分析，使学生认识到：对于多个事件均对所求事件概率有概率贡献的问题，可以采用全概率公式来解决。        

【教学方法和策略】      

黑板板书结合PPT演示，采用启发式、提问式教学，引入一个学生熟悉的摸球试验，先从特殊到一般，由表及里、层层递进、步步设问，再从一般到特殊，利用实例引导学生主动思考，达到理解并掌握知识点的目的。

【教学安排】

引入（4分钟）：

引例：袋中有2个红球与三个黑球。每次从袋中任取一个球，取出的球不再放回，连续取两次。记A=“第二次取得红球”，求第二次取得红球的概率P(A)。

利用只有两个影响因素的简单例题（摸球问题）推导出全概率公式的简单表达式，在PPT上显示分析过程：

分析：

通过提问启发学生从该结果中总结规律：

强调：表达式虽然形式上比较复杂，但更能体现摸球实验的先后次序，实际算起来却很简单。进而，通过提问引导学生对其推广到一般情况的思考（由特殊到一般）：

1、对A的概率有影响的事件为n个（B₁、B₂、…、B_n）时，是否有类似的表达式？

2、需要满足什么条件？

利用对1、2问题的回答，引出划分和全概率公式。

对引例的分析要抓住这类问题的共同特点：多个事件对所求事件概率都有概率“贡献”，并类推得出全概率公式。

教学内容（13分钟）：

1、回顾划分（完备事件组）的概念，指出这是全概率公式成立的条件之一。

关于划分，由2个事件相互对立，推广到n个事件时，要注意通过两者之间的共性，实现教学内容之间的衔接：

（1）；

（2）

2、黑板板书全概率公式的定理及其证明。

首先在黑板上写出该定理。

定理（全概率公式）：设事件B₁, B₂, … ,B_n 为样本空间Ω的一个划分，且Ｐ(B_i)>0, (i =1, 2,  …，n), 则对任意事件A Ì Ω，有

与引例的分析做类比，引例中的表达式即为全概率公式在n=2时的特例，引导学生思考能否根据引例的分析过程类推得出全概率公式的证明。

给出全概率公式的证明过程（板书书写）。

证明：由 B_i B=ф （i≠j），Ω=B₁+B₂+…+B_n，得 A=AΩ=AB₁+AB₂+…+AB_n

证明完毕后，结合PPT演示，说明全概率公式的数学思想：全概率公式是对加法原理和乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的数学思想，将受多个因素影响的复杂事件概率分解成不同影响因素对应的简单事件概率之和。

3、通过对具体例子（产品抽样检查问题）说明全概率公式的应用方法（一般到特殊）。

例1（产品抽样检查）设仓库中共有10箱产品，其中甲、乙、丙三厂各有5、3、2箱，且已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取得次品的概率。

主要包括：

（1）问题分析：这类问题的特点，分析为什么可以用全概率公式求解。所取得的产品可能由甲、乙、丙中任何一个厂生产，但是不同厂家的次品率不同，因此，该产品为次品的概率受到甲、乙、丙三厂的综合影响，每个工厂都有概率“贡献”，因此应考虑运用n=3的全概率公式。

（2）求解步骤：事件的描述，公式中各概率的计算。在黑板上写下求解过程：

解：设A=“任取一件为次品”，

         B₁、B₂、B₃表示所取得的产品分别由甲、乙、丙三厂生产，

= 0.5×0.1＋ 0.3×0.15 ＋ 0.2×0.20

= 0.135

注意：在求解过程中，要引导学生思考全概率公式中各项概率（特别是条件概率）该怎么计算，加深对全概率公式应用的认识。

（3）问题总结：应用全概率公式的关键在于对所求事件A有概率贡献的全部原因要分析清楚，将所有的可能性都考虑进来，公式中的条件概率是根据实际情况直接得到的，不是利用条件概率公式计算的。

思考与讨论（2分钟）：

1、引导学生观察全概率公式中的条件，提问“是不是一定要满足”引发学生思考：全概率公式中的条件是否可以削弱为， ？回答是肯定的。要求学生参考全概率公式的证明过程，自行完成在该条件下定理结论的证明。

2、通过提问：在产品抽样检查例题中，若取得的产品为次品，问该产品是最可能由哪个厂生产？

引导学生主动思考并分析出这类问题的特点：已知结果，推断原因。为下一步学习后验概率和Bayes公式做铺垫。

内容小结(1分钟)：

总结本节课的学习的知识要点：

1、全概率公式体现了一种复杂问题简单化的“化整为零、积零成整”的思想，运用全概率公式的关键在于：找到对目标事件有概率贡献的完备事件组。

2、全概率公式所谓“全”是指：考察对所求事件A有概率贡献的全部原因，将所有的可能性都考虑进来。

3、事件A的概率是其受到多个因素影响后的综合表现，P(A)本质上是对A在不同条件下发生的条件概率P( A | B_i ) 的加权平均，权重为P(B_i)。

课后延伸：思考与讨论1中结论的证明，由学生自行完成。

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