高中数学《4.2.1 随机变量及其与事件的联系》微课精讲+知识点+教案课件+习题
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知识点：
随机变量
这一块基于文档会补充一些知识， 比如连续型随机变量和常见分布， 然后在数字特征那里补充方差，协方差和相关系数的numpy和pandas的实现。 当然随机变量这里还有多维随机变量及其分布的内容， 但是篇幅有些多， 就不整理到这里了， 以后用到现查吧。
1. 随机变量及其分布函数
举个例子：我们假设抛掷一枚硬币抛三次， 那么我们的样本空间是
以记三次投掷得到正面的总数， 那么样本空间中的每个样本点, 都有一个数与之对应， 那么就是定义在样本空间上的实值单值函数。它的定义域是样本空间， 值域是实数集合{0, 1, 2, 3}， 使用函数可将表示成：
通过这种方式， 就把样本点映射到了实数上。
这样就得到了落在某一段区间上的概率。因此分布函数完整的描述了随机变量的统计规律性， 并且分布函数就是一个普通的函数了， 通过这个我们就能通过数学的方法研究随机变量。这个太厉害了。
视频教学：
练习：
一、选择题
1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( )
A．两次掷得的点数
B．两次掷得的点数之和
C．两次掷得的最大点数
D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差
2．一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为( )
A．6 B．5
C．4 D．2
3．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验的结果是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
4．抛掷两枚骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则X的所有可能的取值为( )
A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈Z
C．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z
二、填空题
5．一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，则随机变量可能的取值为__________，这些值所表示的事件为
___________________________________________________．
6．投掷两枚骰子，所得点数之和是偶数X.则随机变量可能的取值为__________________________________，这些值所表示的事件为__________．
7．下列随机变量中不是离散型随机变量的是________．(填序号)
①某宾馆每天入住的旅客数量是X；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X；
④虎门大桥一天经过的车辆数是X.
课件：
教案：
4． 随机变量及其与事件的联系
最新课程标准 | 1.理解随机变量的定义．(重点) 2．理解随机变量与事件的对应关系．(易混点) 3．理解随机变量之间的关系．(难点) |
知识点一 随机变量的概念
定义：一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．随机变量常用大写字母____，____，Z…或小写希腊字母ξ，ζ，η…表示．随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值X围．
状元随笔 随机变量的取值由随机试验的结果决定．
知识点二 用随机变量表示事件
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此P(X≤a)＋P(X>a)＝1.
状元随笔 用随机变量表示事件与事件的概率时，有时可不写出样本空间．
知识点三 随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)．
[基础自测]
1．给出下列四个命题：
①15秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；
②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量；
③一条河流每年的最大流量是随机变量；
④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量．
其中正确的个数是()
A．1 B．2
C．3 D．4
2．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的事件是()
A．第5次击中目标B．第5次未击中目标
C．前4次均未击中目标 D．第4次击中目标
3．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是________．
4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为12，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________．
题型一 随机变量的概念
例1判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
利用随机变量的定义判断．(1)国际机场候机厅中2019年5月1日的旅客数量；
(2)2019年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
(3)2019年6月1日某某到的某次动车到站的时间；
(4)体积为1 000 cm3的球的半径长．
方法归纳
随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1(1)下列变量中，不是随机变量的是()
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
(2)10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()
A．取到产品的件数B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
题型二 离散型随机变量的判定
例2指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某座大桥一天经过的车辆数X；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；
(4)某某某某市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一X围内变化，该水位站所测水位ξ.
方法归纳
“三步法”判定离散型随机变量
1．依据具体情境分析变量是否为随机变量．
2．由条件求解随机变量的值域．
3．判断变量的取值能否被一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．
跟踪训练2一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；
(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η的可能取值，并判定η是否为离散型随机变量．
题型三 随机变量的可能取值与事件的对应关系
状元随笔1.抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
[提示]X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
[提示]“ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
例3写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值和所表示的事件．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从标有1,2,3,4,5,6的6X卡片中任取2X，所取卡片上的数字之和．
状元随笔
方法归纳
用随机变量表示事件
问题的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
跟踪训练3写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2018年大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
题型四 随机变量之间的关系
先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系．例4袋中有4个红球、3个黑球，从袋中随机取球，若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．
(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值；
(2)设得分为Y，写出X与Y之间的关系式；
(3)求Y>6分的概率．
方法归纳
先求随机变量X的取值及相应概率，再求随机变量X与Y的关系(Y＝at＋b，a，b为常数)；根据：“X＝t的充要条件是Y＝at＋b；因此P(X＝t)＝P(Y＝at＋b)”求Y的概率．
跟踪训练4在一次比赛中需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．
(1)设选手甲正确回答这三个问题的个数为X，则X的取值是多少？
(2)选手甲回答这三个问题的总得分Y的所有可能取值是多少？
(3)若P(X>1)＝，求P(Y≤－100)．
4．2随机变量
4． 随机变量及其与事件的联系
新知初探·自主学习
知识点一
XY
[基础自测]
1．解析：由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的．故选D.
答案：D
2．解析：{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C.
答案：C
3．解析：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1,2,3,4,5中某个．故两次抽取球之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．
答案：9
4．解析：甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
答案：0,1,2,3
课堂探究·素养提升
例1【解析】(1)旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(2)所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
跟踪训练1 解析：(1)B项中水沸腾时的温度是一个确定值．
(2)A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B，D也是一个定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
答案：(1)B(2)C
例2【解析】(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一X围内变化，不能按次序一一列举．
跟踪训练2 解析：(1)
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
结果 | 取得3 个黑球 | 取得1个白 球，2个黑球 | 取得2个白 球，1个黑球 | 取得3 个白球 |
(2)由题意可得：η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值X围为{0,1,2,3}，所以η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然，η为离散型随机变量．
例3【解析】(1)设所需的取球次数为X，则
X＝1,2,3,4，…，10,11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1,2，…，11.
(2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3,4,5，…，11.
X＝3，表示“取出标有1,2的两X卡片”；
X＝4，表示“取出标有1,3的两X卡片”；
X＝5，表示“取出标有2,3或标有1,4的两X卡片”；
X＝6，表示“取出标有2,4或1,5的两X卡片”；
X＝7，表示“取出标有3,4或2,5或1,6的两X卡片”；
X＝8，表示“取出标有2,6或3,5的两X卡片”；
X＝9，表示“取出标有3,6或4,5的两X卡片”；
X＝10，表示“取出标有4,6的两X卡片”；
X＝11，表示“取出标有5,6的两X卡片”．
跟踪训练3 解析：(1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
例4【解析】(1)设取得红球个数为X，求X的所有取值为1、2、3、4
(2)依题意有：Y＝2X＋4－X＝X＋4；
(3)因为Y>6，所以X＋4>6，所以X>2，所以P(Y>6)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝1235＋135＝1335.
跟踪训练4 解析：(1)则X的取值是0、1、2、3；
(2)可能有全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
(3)因为Y＝100X－100(3－X)＝200X－300，由X>1得Y>－100，所以P(X>1)＝P(Y>－100)＝；P(Y≤－100)＝1－P(Y>－100)＝0.4.
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