高中数学《4.4 数学探究活动: 了解高考选考科目的确定是否与性别有关》微课精讲+知识点+教案课件+习题

请关注👉 班班通教学系统 2023-02-12

语文	数学	英语	物理	化学
生物	史地	政治	道德与法治
美术	音乐	科学	全部课程 ↓

知识点：

视频教学：

课件：

教案：

[提升层·题型探究]

条件概率、乘法公式及全概率公式

【例1】　设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%, 35%, 20%, 各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%, 现从中任取一件．

(1)求取到的是次品的概率；

(2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率．

[解]　记事件A₁：“该产品是甲厂生产的”，事件A_2:“该产品为乙厂生产的”，事件A₃：“该产品为丙厂生产的”，事件B：“该产品是次品”. 由题设，知

P(A₁)＝45%，P(A₂)＝35%，P(A₃)＝20%，P(B|A₁)＝4%，P(B|A₂)＝2%，P(B|A₃)＝5%.

(1)由全概率公式得P(B)＝∑³_i＝1P(A_i)P(B|A_i)＝3.5%.

(2)由贝叶斯公式得P(A₁|B)＝P(A1)P(B|A1)P(B)＝1835.

[跟进训练]

1．外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．

[解]　设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}, B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，

R＝{第二次取出的球是红球}，

易得P(A)＝710，P(B)＝310， P(R|A)＝12，P(R|B)＝45，

事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得

P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)＝12×710＋45×310＝0.59.

独立重复试验与二项分布

【例2】　实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛)．

(1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；

(2)按比赛规则甲获胜的概率．

[解]　(1)甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为12，乙获胜的概率为12.

记事件A＝“甲打完3局才能取胜”，记事件B＝“甲打完4局才能取胜”，记事件C＝“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜，

∴甲打完3局取胜的概率为P(A)＝C33as4alco1((12))3＝18.

②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，

∴甲打完4局才能取胜的概率为

P(B)＝C23×12×as4alco1((12))2×12＝316.

③甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负，

∴甲打完5局才能取胜的概率为

P(C)＝C24×as4alco1((12))2×as4alco1((12))2×12＝316.

(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D＝A＋B＋C，

又∵事件A，B，C彼此互斥，

故P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝18＋316＋316＝12，

∴按比赛规则甲获胜的概率为12.

1．在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

2．根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．

[跟进训练]

2．某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1,2,3个问题分别得100分，100分，200分，答错得零分．假设这名同学答对第1,2,3个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．

(1)求这名同学得300分的概率；

(2)求这名同学至少得300分的概率．

[解]　记“这名同学答对第i个问题”为事件A_i(i＝1,2,3)，则P(A₁)＝0.8，P(A₂)＝0.7，P(A₃)＝0.6.

(1)这名同学得300分的概率为：P₁＝P(A₁∩A₂∩A₃)＋P(A₁∩A₂∩A₃)＝P(A₁)P(A₂)P(A₃)＋P(A₁)P(A₂)P(A₃)

＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.

(2)这名同学至少得300分的概率为：

P₂＝P₁＋P(A₁∩A₂∩A₃)＝P₁＋P(A₁)P(A₂)P(A₃)

＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.

离散型随机变量的分布列、均值和方差

【例3】　某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为12，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到奖券4张．

(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列．

(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．

[解]　(1)由于每张奖券是否中奖是相互独立的，因此ξ～Bas4alco1(4，(12)).

∴P(ξ＝0)＝C04as4alco1((12))4＝116，

P(ξ＝1)＝C14as4alco1((12))4＝14，

P(ξ＝2)＝C24as4alco1((12))4＝38，

P(ξ＝3)＝C34as4alco1((12))4＝14，

P(ξ＝4)＝C44as4alco1((12))4＝116，

其分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	116	14	38	14	116

(2)∵ξ～Bas4alco1(4，(12))，∴E(ξ)＝4×12＝2.

又由题意可知η＝2 300－100ξ，

∴E(η)＝E(2 300－100ξ)＝2 300－100E(ξ)

＝2 300－100×2＝2 100元．

即所求变量η的期望为2 100元．

1．对于特殊分布列的均值：

(1)若X～B(n，p)，则E(X)＝np；

(2)若X～H(N，n，M)，则E(X)＝nMN；

(3)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b.

2．对于一般分布列的均值，求解的关键依然是随机变量的取值范围及相应概率的计算．

[跟进训练]

3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；

(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

[解]　(1)由已知，有P(A)＝²²²²₃⁴₈＝635.

所以，事件A发生的概率为635.

(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.

P(X＝k)＝^k^4－k₃⁴₈(k＝1,2,3,4)．

所以，随机变量X的分布列为

X	1	2	3	4
P	114	37	37	114

随机变量X的数学期望E(X)＝1×114＋2×37＋3×37＋4×114＝52.

正态分布及其应用

【例4】　已知Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，在某项测量结果中，测量结果ξ服从正态分布(μ，σ²)，且E(ξ)＝2，D(ξ)＝9，则概率P(－1＜ξ＜5)等于(　　)

A．Φ(1)－Φ(－1) B．2Φ(1)－1

C．1－2Φ(－1) D．Φas4alco1((32))－Φ(－2)

A　[∵E(ξ)＝2，D(ξ)＝9，总体服从正态分布，

∴X～B(2,3²)，∵Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，F(ξ＞x)＝Φas4alco1((x－23))，

∴P(－1＜ξ＜5)＝Φas4alco1((5－23))－Φas4alco1((－1－23))＝Φ(1)－Φ(－1)，故选A.]

求解正态分布问题的三个关注点

1．标准正态分布ξ～N(0,1)与非标准正态分布Y～N(μ，σ²)之间可通过Z＝Y－μσ～N(0,1)实现转化．

2．若ξ～N(0,1)，则Φ(x)＝P(ξ＜x)．

3．正态曲线是轴对称图形，要会利用其对称性解题．

[跟进训练]

4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，2²)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是(　　)

A．997　　　 B．954　　　

C．819 D．683

D　[由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈68.3%，从而属于正常情况的人数是1 000×68.3%＝683.]

统计模型

【例5】　“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：

年份	2016	2017	2018	2019	2020
销量(万台)	8	10	13	25	24

某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主		6	24
女性车主	2
总计			30

(1)求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；

(2)请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．

参考公式：r＝∑ⁿ_i＝1)－)－)o(∑ⁿ_i＝1)－))2ⁿ_i＝1)－))2，

χ²＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，其中n＝a＋b＋c＋d.

635≈25，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．

附表：

P(χ²≥k)	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

[解]　(1)依题意，

－＝2016＋2017＋2018＋2019＋20205＝2018，

－＝8＋10＋13＋25＋245＝16，

故∑⁵_i＝1 (x_i－－)(y_i－－)＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，

∑⁵_i＝1 (x_i－－)²＝4＋1＋1＋4＝10，

∑⁵_i＝1 (y_i－－)²＝64＋36＋9＋81＋64＝254，

则r＝∑⁵_i＝1)－)－)o(∑⁵_i＝1)－))2⁵_i＝1)－))2＝47
(10)×
(254)＝472
(635)≈0.94＞0.9，

故y与x线性相关．

(2)依题意，完善表格如下：

	购置传统燃油车	购置新能源车	总计
男性车主	18	6	24
女性车主	2	4	6
总计	20	10	30

χ²＝30×18×4－2×6220×10×24×6＝154＝3.75＞2.706，

故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．

1．利用相关系数r较准确的刻画了两个变量间的相关程度，为建立线性回归模型，对实际问题做出预测奠定了基础．

2．根据随机变量χ²的含义，借助P(χ²＞k)＝α这个可信度，较客观地分析两个变量的相关性．

[跟进训练]

5．混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度(单位：MPa)随龄期(单位：天)的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期x_i(i＝1,2，…，10)分别为2,3,4,5,7,9,12,14,17,21时的抗压强度y_i的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

－	－	－	∑¹⁰_i＝1 (x_i－－)²	∑¹⁰_i＝1 (w_i－－)²	∑¹⁰_i＝1 (x_i－－)(y_i－－)	∑¹⁰_i＝1 (w_i－－)(y_i－－)
9.4	29.7	2	366	5.5	439.2	55

表中w_i＝ln x_i，－＝110∑¹⁰_i＝1w_i.

(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型？并根据表中数据，建立y关于x的回归方程；

(2)工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f₂₈视作混凝土抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40 MPa.

(ⅰ)试预测该批次混凝土是否达标？

(ⅱ)由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度f₇与第28天的抗压强度f₂₈具有线性相关关系f₂₈＝1.2f₇＋7，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度．

附：^＝∑ⁿ_i＝1)－)－)∑ⁿ_i＝1)－)，^＝－－^－，

参考数据：ln 2≈0.69，ln 7≈1.95.

[解]　(1)由散点图可以判断，y＝c＋dln x适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型．

令w＝ln x，先建立y关于w的线性回归方程．

由于^＝∑¹⁰_i＝1)－))－))∑¹⁰_i＝1)－))＝555.5＝10，

^＝－－^－＝29.7－10×2＝9.7，

所以y关于w的线性回归方程为^＝9.7＋10w，

因此y关于x的线性回归方程为^＝9.7＋10ln x.

(2)(ⅰ)由(1)知，当龄期为28天，即x＝28时，

抗压强度y的预报值

^＝9.7＋10ln 28＝9.7＋10×(2ln 2＋ln 7)≈43.

因为43>40，所以预测该批次混凝土达标．

(ⅱ)令f₂₈＝1.2f₇＋7≥40，得f₇≥27.5.

所以估计龄期为7天的混凝土试件需达到的抗压强度为27.5 MPa.

[培优层·素养升华]

【例】　近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：

表1

x	1	2	3	4	5	6	7
y	6	11	21	34	66	101	196

根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·d^x(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)；

(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2所示：

表2

支付方式	现金	乘车卡	扫码
比例	10%	60%	30%

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．

参考数据：

－	－	∑⁷_i＝1x_iy_i	∑⁷_i＝1x_iv_i	10^0.54
62.14	1.54	2 535	50.12	3.47

其中v_i＝lg y_i，－＝17∑⁷_i＝1v_i.

参考公式：

对于一组数据(u₁，v₁)，(u₂，v₂)，…，(u_n，v_n)，其回归直线^＝^＋^u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：^＝∑ⁿ_i＝1)－)－)∑ⁿ_i＝1)u－)，^＝^－^^.

[解]　(1)根据散点图判断，y＝c·d^x适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．

(2)∵y＝c·d^x，两边同时取常用对数得：lg y＝lg(c·d^x)＝lg c＋lg d·x，设lg y＝v，∴v＝lg c＋lg d·x.

∵－＝4，－＝1.54，∑⁷_i＝1x2i＝140，

∴l^ d＝∑⁷_i＝1)－)－)∑⁷_i＝1)x－)＝50.12－7×4×1.54140－7×42＝728＝0.25，

把样本中心点(4,1.54)代入v＝lg c＋lg d·x，得：l^ c＝0.54，

∴^＝0.54＋0.25x，∴l^ y＝0.54＋0.25x，

∴y关于x的回归方程式：^＝10^0.54＋0.25^x＝10^0.54×(10^0.25)^x≈3.47×10^0.25^x.把x＝8代入上式，^＝3.47×10²＝347.

活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.

(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，

P(Z＝2)＝0.1；P(Z＝1.8)＝0.3×12＝0.15；

P(Z＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7；P(Z＝1.4)＝0.3×16＝0.05.

分布列为

Z	2	1.8	1.6	1.4
P	0.1	0.15	0.7	0.05

所以，一名乘客一次乘车的平均费用为

2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)．

这类问题以社会背景为载体，融统计、概率、数据分析、数学建模等知识于一体，重在考查学生的信息提取、数据分析和数学建模能力，合理应用知识解题是求解此类问题的关键.

[素养提升]

当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．某市初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟跳绳个数	[155,165)	[165,175)	[175,185)	[185，＋∞)
得分	17	18	19	20

(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；

(2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ²)，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s²≈169(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：

①预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)

②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望．

附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ²)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X<μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 3.