高中数学《5.3.2 等比数列的前n项和》微课精讲+知识点+教案课件+习题

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知识点：

1求和公式

，如果q=1，那么S_n=na₁

备注：

针对等比数列，无论题目中给出何种条件的等式，最终均可以根据公式化成只有a₁跟q两个未知量，从而进行求解。

2等比中项

如果2m=p+q，则a²_m=a_p·a_q

备注：

题目中如果给出三项的积，通常都可求出中间项为多少。例如已知等比数列a₁·a₂·a₃=8，即可知a₂=2，因为a₂是a₁跟a₃的中间项；再如已知等差数列a₁·a₅·a₉=64，即可知a₅=4，因为a₅是a₁跟a₉的中间项

推论：如果m+n=p+q，那么一定有a_m·a_n=a_p·a_q

3等比性质

1.如果{a_n}是等比数列，S_n是数列{a_n}前n项和，那么S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n，……也是成比差数列

例题：

已知等比数列{a_n}，S_n是它的前n项和，S₆/S₃=3，求S₁₂/S₃=？

解析：

根据上面性质可知，S₃，S₆-S₃，S₉-S₆，S₁₂-S₉也是成等比数列，令S₃=m，则S₆=3m，则这个新的等比数列的首项是m(S₃)，第二项是2m(S₆-S₃)，所以公比d=2m/m=2，即可算出第三项S₉-S₆=4m，又S₆=3m，所以S₉=7m，同理可算出S₁₂=15m，则S₁₅/S₃=15

变式：

等比数列{a_n}中，若a₁+a₂=324，a₃+a₄=36，则a₅+a₆=?

2.如果{a_n}是等比数列，公比为q，每隔k项之后( a_m , a_m+k , a_m+2k,  a_m+3k ……)也是等比数列，公差为q^k

视频教学：

练习：

课本温习

1. 设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，若a₁＝1，a₆＝32，则S₃＝(　　)

　A. 5　  B. 6　  C. 7　  D. 8

2. 若{a_n}为等比数列，且a₂＝6，S₃＝26，则{a_n}的通项公式a_n＝(　　)

A. 2×3^n－1　  B. 2×3^3－n

C. 2×3^n－1或2×3^3－n　  D. 以上都不对

3. 已知{a_n}是由正数组成的等比数列，S_n表示{a_n}的前n项和．若a₁＝3，a₂a₄＝144，则S₁₀的值是(　　)

A. 2 019　  B.  1 023　  C.  2 046　  D. 3 069

4. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃＝a₂＋10a₁，a₅＝9，则a₁等于(　　)

A. －19　  B. 19　  C. 16　  D. 13

5. 已知数列{a_n}满足3a_n＋1＋a_n＝0，a₂＝－43，则{a_n}的前10项和等于(　　)

A.  －6(1－3^－10)　  B.  19(1－3^－10)

C.  3(1－3^－10)　  D.  3(1＋3^－10)

固基强能

6. 已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，则前10项和为(　　)

A. 33　  B. 36　  C. 39　  D. 65

7. (多选)已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则（    ）

A．       B．       C．       D．

8. (多选)已知等比数列中，满足，则（    ）

A．数列是等比数列       B．数列是递增数列

C．数列是等差数列       D．数列中，仍成等比数列

9. 记S_n为等比数列{a_n}的前n项和，已知S₂＝2，S₃＝－6.

则{a_n}的通项公式为             ；S_n=                          ．

10. 已知等比数列{a_n}中，a₁＝13，公比q＝13.

(1) S_n为数列{a_n}的前n项和，求证：S_n＝1－an2；

(2) 设b_n＝log₃a₁＋log₃a₂＋…＋log₃a_n，求数列{b_n}的通项公式．

课件：

教案：

【教学目标】

1. 理解并掌握等比数列前n项和公式，并会应用公式解决简单的问题．

2.逐步熟练等比数列通项公式与前n项和公式的综合应用，培养学生的运算能力．

3. 通过公式的探索、发现，培养学生观察、猜想、归纳、分析、综合推理的能力，渗透类比与转化的思想．

【教学重点】

等比数列前n项和公式的应用．

【教学难点】

等比数列前n项和公式的推导和灵活运用．

【教学方法】

本节课在公式推导中宜采用类比教学法和自主探究教学法．师生共同参与整个教学活动，教师是活动的主导，学生是活动的主体，教师在引导的同时，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．

【教学过程】

环节	教学内容	师生互动	设计意图
导 入	印度一国王与国际象棋发明家的故事：发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？	教师讲故事，并提出问题． 学生分组合作探究．学生用计算器依次算出各项的值，然后再求和． 教师对他们的这种思路给予肯定．	利用学生好奇心理，让学生去经历知识的形成与发展过程，便于调动学生学习本节课的积极性．
新 课 新 课 新 课	1．求数列1，2，4，…，262，263的各项和 数列1，2，4，…，262，263是以1为首项，2为公比的等比数列，前面的问题应归结为求这个数列前64项的和，可表示为 S64 = 1+2+4+8+…+262 +263．   ① 2S64 = 2+4+8+…+263 +264．    ② ①－②，得到  S64 －2S64   = 1－2 64． 即 (1－2)S64 = 1－2 64． S64 = ． 2．等比数列的前n 项和公式． 当q≠1时，Sn  = ； 当q =1时，Sn   = n  a1． 等比数列的前n项和公式，包含四个变量，只要知道其中任意三个，就可求出第四个． 例1   求等比数列，，，…的前8项的和． 解   因为a 1=，q=  = ，n=8， 所以S8 =  = ． 练习 根据下列各组条件，求相应的等比数列{an }的Sn： （1）a1＝3，q＝2，n＝6； （2）a1＝8，q＝，n＝5． 例2   等比数列{an}的公比 q=－，前4项的和，求这个等比数列的首项． 解   根据等比数列前n项和公式及已知条件可得 ＝， 解得a1=． 即首项为．	师：数列1，2，4，…，262，263是个什么数列？有何特征？前面的问题应归结为什么数学问题呢？ 学生思考回答． 师：让我们寻找一种更简单的解决这个问题的办法吧． 师：观察①式中的各项有何联系？ 学生会发现，后一项都是前一项的2倍． 师：如果我们把每一项都乘公比2，得到②式，请观察各项发生了什么变化？与①式有什么联系？ 学生发现，除最后一项外，每一项都变成了①的后一项． 教师继续引导学生比较、探究：①、②两式有许多相同的项，用什么办法可以把相同的项消掉？ 学生会想到把两式相减，消去相同的项． 教师板书推导过程，得出求和公式． 教师指出：这就是错位相减法，并要求学生纵观全过程后反思：为什么①式两边要同乘2呢？ 教师顺势引导学生将结论一般化． 等比数列的前n 项和公式要分q≠1与q =1时两种情况讨论． 请学生说出公式中包含的变量：a 1，q ，n，Sn  ． 学生独立思考，自主解题． 师生共同总结解法． 教师订正评价． 学生练习，教师巡视指导． 教师出示例2，引导学生分析题意，写出已知、所求，自主解答． 请学生在黑板上板演． 师生共同订正．	教学中，繁难的求解过程激起学生急于探求新方法的欲望，为后面的教学埋下伏笔． 留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和公式的推导关键是错位相减，培养学生的辩证思维能力． 让学生在化繁为简的过程中，充分感受到数学的简洁性． 培养学生分类讨论的意识． 在教师的引导下，让学生从特殊到一般，完成公式的探究． 通过对例题的解答，强化对公式的掌握．
小 结	等比数列的前n项和公式： 当q≠1时，Sn  = ； 当q =1时，Sn  = n a1．	学生阅读课本P21～P22，畅谈本节课的收获． 教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．	教师鼓励学生积极回答，培养学生的口头表达能力和归纳概括能力．

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