课程大纲 | 王杰：音乐与数学

Vol.646

课程大纲

音乐与数学

课程大纲

博雅哥说

本篇推送展示的是新增通识核心课程《音乐与数学》的课程大纲、参考书目及教学方式，本课程由北京大学数学科学学院教授王杰老师开设，艺术学院副教授毕明辉老师担任助教。

课程内容整体可归纳为两句话：识音辩形——以数学原理与基本问题、古今数学家思想与贡献为经，赏乐论理——以音乐现象、声音现象、音乐创作、音乐思想为纬，交叉互补，相得益彰。

开课院系：数学科学学院

授课教师：王杰

学分：2

教师介绍

授课教师

王杰

王杰，北大数学系教授，先后在北京大学数学系攻读本科、硕士与博士学位，并留校任教。1994-1995年澳大利亚西澳大学高级访问学者。1995年8月起任北京大学教授，1998年被遴选为博士生导师。曾任北大数学科学学院党委书记、常务副院长，北大学党委组织部长，北大党委常委、国家自然科学基金委员会第四、五、六届副主任、党组成员、北大党委常委、副校长等职。

课程助教

毕明辉

毕明辉，北大音乐系副教授，复旦大学中文系文艺学博士后，中央音乐学院西方音乐历史博士，北京市青年教学名师，北京市青年教学比赛文科组一等奖第一名。研究与教学领域专攻西方现代音乐、中西音乐文化交流、音乐欣赏、流行音乐、电影音乐等。主讲《20世纪西方音乐》为北大最大规模音乐通选课，2013年成为北大首批全球慕课。曾任北大学工部副部长（挂职），柏林自由大学孔子学院院长。

课程简介

课程初衷：面向全校各学科本科生开设，以跨学科的方法，围绕音乐与数学的密切关系，阐述“音乐之所以是可听可感的数学”、“音乐是数学的另一种存在”、”音乐美有其背后的数理规则“等基本原理，探讨中西文化关于音乐与数学跨越时空的共同思考，呈现人类关于感性与理性脉脉相通的奇妙景观。

课程目标：强调艺术与科学的彼此交融，旨在淡化文理，消弭界限，激发学生的求知欲，培养学生的问题意识，鼓励文科学生学习以数学的思维方式审视音乐，引导理科学生以音乐的体验方式反观数学，拓展学生认识世界的视角与视域，发掘潜力，启迪创意。

课程设计：整体可归纳为两句话：识音辩形——以数学原理与基本问题、古今数学家思想与贡献为经，赏乐论理——以音乐现象、声音现象、音乐创作、音乐思想为纬，交叉互补，相得益彰。课程主体内容可归结为以下核心问题：第一、中西关于音乐的数学思考；第二、乐谱作为坐标系与音程作为度量计；第三、泛音背后的数学问题；第四、乐音体系的生成：律制与律学问题；第五、音乐与随机性；第六、调式-音阶-和弦与等价关系和音级类；第七、音乐与群论；第八、旋律与对称；第九、音乐为何同音不同色；第十、节奏的几何问题；第十一、音网：数学的和声；第十二、音乐与序列。

课程大纲

 

第一讲：绪论（一）

1、音乐与数学

1.1.《查拉图斯特拉如是说》里的纯五度音程说起

1.2.毕达哥拉斯的“四艺”与中国的“六艺”

1.3.中国河南舞阳贾湖骨笛的开孔问题

1.4.中国五音的计算问题

1.5.Leibniz、Sylvester等数学家对音乐的描述

1.6.Debussy、Stravinsky等音乐家对数学的描述

2、音乐与数学所涉基本知识（1）

2.1.声音的基本属性

2.2.频率与音乐-Hertz

2.3.1.声压与力度-Pascal

2.3.2.声压与分贝：指数函数-对数函数

2.4.音色-傅里叶分析：时域-频域-谱

第二讲：绪论（二）

2、音乐与数学所涉基本知识（2）

2.5.乐音体系

2.5.1.乐音与噪音

2.5.2.声音的波形

2.5.3.比才《卡门·响板音色》

2.5.4.谭盾《地图·打溜子》

2.5.5.柴可夫斯基《1812序曲》

2.6.音级-音列-半音-全音

2.7.唱名《音乐之声》

2.7.1.固定唱名法

2.7.2.首调唱名法

第三讲：绪论（三）

3.音乐的坐标系：五线谱

3.1.中外历史上的记谱系统

3.2.五线谱的精确定位

3.3.音符记号的长度关系

3.4.谱号-谱表

4.音乐的度量计：音程

4.1.音程的构成

4.2.度数的问题

4.3.半音数的问题

4.4.音程的计算问题

4.5.自然音程与变化音程

4.6.音程的听觉认知

5.音乐的协和度：刺耳与悦耳

5.1.协和音程与不协和音程

5.2.Hindemith关于协和的观点

5.3.《长征组歌·遵义会议放光辉》中的协和度问题

5.4.毕达哥拉斯弦长比例理论

5.5.Helmholtz理论：拍音

5.6.小二度与增四度

5.7.泛音列重合

5.8.Stumpf协和音程的心理学实验结果

5.9.协和与不协和是先天的还是后天的？

【绪论】通过介绍音乐与数学中的一些理论和实际例子，展示二者之间内在的相互关系，探讨音乐这门抽象的艺术与数学和自然科学之间的互动，帮助同学们树立打通文理界限的观念，提高艺术修养和分析能力、提升综合素养的同时，为后续课程的开展准备基础。

图为《查拉图斯特拉如是说》

第四讲：弦外之音：泛音的内涵与外延（一）

引言：布里顿《青少年管弦乐指南》

1、一维波动方程

1.1.二胡独奏《赛马》的拉弦问题

1.2.1.一维波动方程原理与弓弦乐器的振动

1.2.2.一维波动方程详解与弦乐器发音现象

2、振动模态与泛音

2.1.三角恒等式化简

2.2.Mersenne定律：弦的振动频率与其长度成反比，与其张力的平方根成正比，而与弦的线密度的平方根成反比。

2.3.音乐的弦振动并非简单的单一频率运动，而是无数个正弦振动的叠加。

2.4.振动模态详解

2.4.1.固有频率-基频-基音

2.4.2.泛音列

2.4.3.驻波-积化和差

2.4.4.Mathematica的实效演示

3、达朗贝尔行波解

3.1.1.作为音乐理论家的达朗贝尔

3.1.2.达朗贝尔行波解与弦振动的关系详解

第五讲：弦外之音：泛音的内涵与外延（二）

4、傅里叶级数与拨弦振动

4.1.约翰·施特劳斯的《拨弦波尔卡》

4.2.拨弦发音背后的基本三角函数系与傅里叶级数

4.3.边界条件与初值条件

4.4.拨弦振动原理详解

4.5.傅里叶级数与拨弦振动详解

4.6.进一步的思考

5、基于上述知识的拓展

5.1.拉弓与击弦的原理问题

5.2.拉弓与击弦背后的高维波动方程

5.3.鼓的振动引发的三维空间问题

5.4.MarkKac听出鼓的形状的理论

5.5.听音辨鼓的数学研究成果

第六讲：弦外之音：泛音的内涵与外延（三）

6、空穴来风：管乐器背后的数学问题

6.1.《木管五重奏》

6.2.空气柱振动与弦振动的差异

6.3.端口校正的古今中外难题

6.4.中国数学家、音乐理论家朱载堉的历史贡献

6.5.端口校正的中外数学研究史实

6.6.气鸣乐器振动的基本原理

6.7.开管与闭管的振动模态

6.8.长笛与单簧管的比较

【弦外之音】音色的优劣是音乐品质高下的基本条件，任何乐器的振动都是科学问题，其背后的数学原理引起古今中外学者的广泛研究。如何以科学的视角来理解乐器的发音原理，该专题不仅具备重要的理论意义，更对音乐表演、乐器制造、录音工程等等实践领域有着重要指导意义，对中国民族器乐交响化、中国大型乐队编制科学化有着不可替代的价值，对学生交叉学科思维、透过现象追索原理能力的培养，有着积极意义。

图为《青少年管弦乐指南》

 

第七讲：乐音体系的生成：律制与律学问题（一）

1、何谓乐音体系

1.1.概念

1.2.绝对音高与相对音高

2、三分损益法

2.1.管仲《管子·地员篇》之“三分损益法”的数学原理

2.2.吕不韦《吕氏春秋》之“十二律相生“的数学原理

2.3.《黄钟大吕》中的生律过程详解

2.4.”旋宫不归“的古今中外数学难题

2.5.中国古代律学家蔡元定、京房等人的理论

3、五度相生法

3.1.毕达哥拉斯的理论

3.2.毕达哥拉斯音差

3.3.西方中世纪教堂圣咏五度关系样本

3.4.西方文艺复兴后三-六度音程带来的新比例关系

3.5.纯律的出现

3.6.单声音乐与多声音乐

3.7.纯律的长处与不足

3.8.协调音差

3.9.英国作曲家伯德的《羔羊经》中的纯律音效

3.10.意大利作曲家乔·加布里埃利《圣乐交响曲》中的纯律音效

4、小结：路漫漫其修远兮，吾将上下而求索

4.1.中西音乐共同的数学难题

4.2.乐音体系生律方法是音乐中的基础数学问题

4.3.中西律制与律学研究中的众多尝试

4.4.穷则思变：无解的方程？

第八讲：乐音体系的生成：律制与律学问题（二）

5、数的扩充

5.1.有理数与无理数

5.2.西帕索斯的发现

5.3.等差数列VS等比数列

5.4.何承天的新律

6、中庸全音律

6.1.五度相生律与纯律的同程不同频问题

6.2.中庸全音律详解

7、十二律平均律

7.1.平均律的历史演进

7.2.朱载堉”新法密律“（平均律）的推导过程

7.3.朱载堉”新法密律“在科学史上的不朽贡献

7.4.十二平均律在音乐实践中的价值

7.5.巴赫《降E大调前奏曲》转调示例

7.6.巴赫《音乐的奉献·经由种种调性的卡农》转调示例

7.7.巴赫《平均律钢琴曲集》所代表的巴洛克调性布局思维

8、音分

8.1.Ellis的贡献

8.2.音分的概念与换算

8.3.人类听觉中关于音分的识辨能力

8.4.不同律制音分值的差异

8.5.听觉测试：五度相生与纯律C大调音阶的对比

8.6.听觉测试：五度相生与平均律C大调音阶的对比

8.7.听觉测试：纯律与平均律C大调音阶的对比

9、总结

9.1.所谓的平均与不平均

9.2.绝对音高-标准音问题

9.3.绝对音高的历史变迁：从巴洛克时代的亨德尔到古典时代的贝多芬

9.4.连分数的问题

9.5.一个八度为什么有12个半音？

9.6.无理数的音乐《π之歌》

【乐音体系的生成】系数学史和音乐史最为重要的基础问题之一。数学为音乐提供解决原理，音乐为数学提供实践经验，在求索”旋宫不归“问题的过程中，以中国明代数学家、音乐家朱载堉的贡献为代表，最早发明”新法密率“，成功解决了这一千百年悬题，领先欧洲近百年，不可谓不令中国人感到自豪。该专题在详解古今中外各种律制、令学生掌握生律方法与算法的同时，也通过乐音体系的发展，引导学生注意中西音乐风格变迁与律制律学的关系问题。由于律制律学方面的基础问题长期无法突破，中西音乐风格的发展、创作思维的进步，始终受到阻碍。自古今中外关于律制律学的数学理论入手，进而反思各种不同时期的音响，提升学生关于音乐风格变迁这一现象背后最本质科学原理方面的认识水平。

图为π

 

第九讲：灵感突降还是有规可循：音乐创作与随机性（一）

1、音乐骰子游戏

1.1.18世纪作曲家Kirnberger的《作曲常备》

1.2.1.何所谓音乐骰子游戏？

1.2.2.骰子游戏在18世纪后期的蔚然成风

1.2.3.海顿的《小步舞曲》三声中部示例详解

1.2.4.海顿《小步舞曲》的概率统计

1.3.1.随机变量与随机事件详解

1.3.2.连续性随机变量问题

1.3.3.施托克豪森《钢琴作品第11》中的音乐骰子游戏

1.4.1组合数学问题

1.4.2.LLIAC组曲的诞生：计算机随机作曲

2、随机音乐的出现

2.1.1.概念

2.1.2.Xenakis的随机音乐创作

2.1.3.序列音乐的危机

2.1.4.Xenakis音乐《变型》的创作详解

2.1.5.Xenakis音乐《概率之动》的创作详解

2.2.UPIC计算取辅助作曲系统的应用

第十讲：灵感突降还是有规可循：音乐创作与随机性（二）

3、马尔科夫链

3.1.1.概率论角度的作曲

3.1.2.状态空间的概念

3.1.3.马尔科夫其人

3.1.4.马尔科夫链的定义与性质

3.1.5.时齐马尔科夫链

3.1.6.转移概率矩阵

3.2.1.随机旋律的诞生

3.2.2.基于马尔科夫链的《鸿雁》旋律详解

3.2.3.Brooks等科学家基于马尔科夫链的《赞美诗》旋律详解

3.3.1.高阶马尔科夫链

3.3.2.《鸿雁》为例的马尔科夫链

3.4.模式识别-人工智能-机器学习

3.4.1.马尔科夫链所反映的音乐特征

3.4.2.以《松花江上》《风笛舞曲》《我爱天安门》等为例详解

4、有色彩的噪声、1/f音乐

4.1.1.随机序列

4.1.2.功率谱

4.1.3.维纳-辛钦定理

4.1.4.Mandelbrot提出的分形概念

4.2.无标度噪音

4.2.1.白噪声详解

4.2.2.棕噪声详解

4.2.3.粉噪声详解

4.3.白-棕-粉噪声音响样本示例

【音乐创作与随机性】音乐的创作是灵感使然还是规律使然，历来对不解其中奥妙者来说，显得神秘而高深。音乐创作的材料，无论音符还是节奏，都是一种可以采用概率论来处理和分析数据。西方音乐自18世纪以来，随着器乐发展的勃兴，借助数字的力量完成音乐创作的内在规律，经历数代作曲家的尝试和探索，到20世纪可谓蔚然大观，形成音乐创作中的科学主义。本专题对这一音乐家与数学家共同关注的问题，进行正本清源的梳理，为学生更好的理解20世纪西方音乐新风格的出现，提供科学的佐证。对从事信息科学尤其是计算机音乐的学生来说，益处尤为突出。

图为作曲家Johann Kirnberger

 

第十一讲：音乐的集合现象：调式-音阶-和弦

1、调式与音阶

1.1.概念

1.2.大小调式的构成

1.3.音阶

1.4.关系大小调与平衡大小调

2、和弦

2.1.概念

2.2.1.三和弦的构成与性质

2.2.2.听觉中的三和弦识辨

2.3.1.七和弦的构成与性质

2.3.2.七和弦的名称列表

2.4.和弦转位

2.5.和弦标记

3、调式中的和弦

3.1.1莫扎特《费加罗婚礼》中的和弦进行示例

3.1.2.柴可夫斯基《第五交响曲》中的和弦进行示例

3.1.3.贝多芬《钢琴变奏曲》中的和弦进行示例

3.2.和声进行的规则

3.2.1.以《命运之力》为例

3.2.2.以《特里斯坦与伊索尔德》之”特里斯坦“和弦为例

4、等价关系与音级类

4.1.自反性-对称性-传递性

4.2.等价关系

4.3.同余关系

4.4.等价类

4.5.音级类集合

4.6.同余类集合

4.7.音级类与Z12之间1-1对应

【音乐的集合现象】可与绪论中的相关部分合并学习，进一步拓宽关于音乐与数学关系的理解与想象。

图为莫扎特

 

第十二讲：旋律与对称（一）

1、移调变换-群

1.1.1.乐音的排列组合

1.1.2.莫扎特《妈妈变奏曲》的示例

1.1.3.旋律-变换-移调

1.1.4.以《南泥湾》《春江花月夜》片段为例

1.2.1.严格移调VS调性移调

1.2.2.贝多芬《第五交响曲》主题为例

1.3.1.移调变换

1.3.2.《梁祝》为例

1.4.1.移调变换-群

1.4.2.命题1

1.4.3.命题2

1.4.4.推论3

1.5.群的基本概念

1.5.1.群的例子

1.5.2.更多的例子

1.5.3.二面体群

1.5.4.对称群

1.5.5.3次对称群S3

1.6.群的基本概念

1.6.1.命题4

1.6.2.命题5

1.6.3.命题6

1.6.4.Abel的贡献

1.6.5.T的乘法表

1.6.6.循环群

1.6.7.同构群

1.6.8.定理Z12

1.6.9.《弦乐柔板》示例

第十三讲：旋律与对称（二）

2、倒影

2.1.关于水平方向直线的对称

2.2.以苏萨《雷神》为例

2.3.以巴赫《升D小调赋格主题》详解

2.4.以巴托克《小宇宙》为例

2.5.音级类上的对称详解

2.6.变换的乘法

2.7.基于音乐的猜想

2.8.更大的变化群

2.9.群同构定理

3、逆行

3.1.关于垂线的对称

3.2.以贝多芬《第29钢琴奏鸣曲》为例

3.3.巴赫《音乐的奉献》的拓扑结构

3.4.逆行变换

3.5.音乐变换群命题

3.6.音乐变换群定理

3.7.作曲家用群论来作曲吗？

3.8.Galois-Poisson等相关数学家的贡献

3.9.李斯特《匈牙利狂想曲第二号》中的逆行对称

3.10.《纪念Hadyn逝世100周年》作品示例

3.11.以巴赫名字BACH为基础的主题动机作品示例

4、十二音技术

4.1.音符生而平等

4.2.勋伯格的十二音音列

4.3.《钢琴协奏曲》详解

4.4.十二音技术流程

4.5.十二音音列矩阵

4.6.《钢琴组曲》详解

5、总结：有多少互不相同的音列？

5.1.定理A

5.2.定理B

5.3.定义与定理

5.4.十二音技术的音乐历史价值

【音乐的集合现象】【旋律与对称】两个专题不仅是基于前面几个专题的进一步深入，而且，将音级类与群论引入对音乐创作与形态的理解，是数学与音乐在更高思维层面上的提升与实践。20世纪西方音乐最重要的表现主义和序列音乐创作，均与音级类与群论的数学理论保持了千丝万缕的联系，某种意义上说，甚至可以音乐创作与数学探索的先声尝试。

图为巴赫

 

第十四讲：节奏与几何

1、固定节奏型

1.1.节奏的定义

1.2.1.固定节奏型的定义

1.2.2.《波莱罗舞曲》详解

1.3.《古巴颂乐》详解（1）

1.3.1.固定节奏型的数学表达

1.3.2.计数问题

1.3.3.节奏的坐标系表达

1.3.4.节奏的量表分析

1.3.5.圆周上的节奏型

1.3.6.相位问题

1.3.7.节奏奇性

2、节奏的影子与轮廓

2.1.何谓节奏的影子

2.2.无声的节奏

2.3.距离序列

2.4.节奏的轮廓

2.5.《古巴颂乐》详解（2）

2.6.轮廓同构

2.7.小结：《古巴颂乐》节奏型的独特之处

3、Bjorklund算法与欧几里得节奏

3.1.Bjorklund算法

3.2.欧几里得算法

3.3.两种算法的比较

3.4.欧几里得节奏详解

4、相移与ClappingMusic

4.1.相移

4.2.以Reich的音乐为例

4.3.1.循环左移位

4.3.2.计算

4.3.3.情形I-II-III

4.3.4.项链的计数

4.4.5.旋转等价

4.5.置换群形式

5、Burnside引理

5.1.概念

5.2.命题1-2-推论-引理

5.3.引理的证明

5.3.项链的计数

5.4.G中元素的不动点问题详解

5.5.引理

5.6.互不相同的项链

5.7.1.极简主义风格与Burnside引理

5.7.2.以PhilipGlass为代表的Minimalism风格

5.7.3.以Koyaanisqatsi：LifeOutofBalance为例

【节奏与几何】西方音乐在14世纪开始探索节奏定量化，这一历史进程一方面是音乐实践的结果，另一方面也是西方音乐数学化的思维的进一步发展。节奏，是中国音乐风格构成元素中，发展水平最弱的部分，除了中国音乐整体基于文字的传统原因外，也反映出中国音乐长期未能将节奏做数学化处理的问题。中国人的理解中，节奏是线性的时值，但在西方，节奏不仅是关于时间的代数，更是关于空间的几何。

图为专辑《Reich for Percussion》

第十五讲：和弦与音网（一）

1、和弦的几何

1.1.接着”特里斯坦和弦“讲起

1.2.音网的概念

1.3.18世纪欧拉-19世纪黎曼-20世纪新黎曼理论

1.4.1.音级类圆周

1.4.2.音级类之间的距离

1.4.3.距离向量

1.5.1.定理

1.5.2.以减七和弦为例

1.5.3.以大小七和弦为例

1.6.倒影变换

2、音阶

2.1.定义与例子

2.2.1.音阶的圆周表达法

2.2.2.五声音阶-全音音阶-C大调音阶为例

2.2.3.自然大调音阶详解

2.3.1.T5的特殊性

2.3.2.K-步移动的轨迹

2.4.1.五度圆周

2.4.2.五度圆周上的自然大调音阶

2.4.3.调关系

2.4.4.反问题

第十六讲：和弦与音网（二）

3、三和弦之间的变换

3.1.三和弦为例详解

3.2.1.集合上的三个变换

3.2.2.平行变换P的几何解释

3.2.3.关系变换R的几何解释

3.2.4.导音变换L的几何解释

3.2.5.三个变换的共同特点分析

3.3.1.以平行大三和弦终止式为例

3.3.2.以贝多芬《第九交响曲·第二乐章》为例

3.3.3.以瓦格纳《女武神·沃坦唱段》作为拓展思考举例

4、音网

4.1.P-R-L循环

4.2.音网概念

4.3.带标号的音网

4.4.音网中的协和音程

4.5.音网的对偶形式

4.6.环面上的音网详解

4.7.1音阶包含的三和弦详解

4.7.2.约翰·凯奇的《梦》为例

5、新黎曼群

5.1.P-R-L变换

5.2.新黎曼群的概念

5.3.1.和弦进行与新黎曼群N中的字

5.3.2.群中的字

5.3.3.群中的字-和弦序列-音网上的路径

5.3.4.以海顿《E小调钢琴奏鸣曲》为例

5.3.5.以贝多芬《第九交响曲·第二乐章》为例

5.4.音网上的哈密尔顿圈

5.5.1.进一步的阅读与研究

5.5.2.利用变化与图的工具分析音乐对象

5.5.3.DavidLewin关于子群的中心化子理论

5.5.4.对偶关系的定理

【和弦与音网】西方音乐从公元8-9世纪开始出现多声形态，经过一千多年的发展，立体多声性成为区别于中国音乐的第一特点，其中，和声技术的核心——和弦，是最关键的技术和艺术的基石。如果理解和弦，西方音乐家、数学家，见仁见智，群策群力。音网理论的提出和完善，对宏观和微观分析音乐现象，对以更高抽象思维理解音乐的规律和原理，有着重要的价值，对学生关于音乐与数学跨学科思维方法的提升，有着重要的意义。

参考书目

 

1/Dave Benson: Music: A Mathematical Offering, Cambridge University Press, 2008

2/David Wright: Mathematics and Music, American Mathematical Society, 2009

3/Godfried Toussaint: The Geometry of Musican Rhythm, CRC Press, 2013

4/Gareth Loy: Musimathics, MIT Press, 2006

5/Thomas Levenson: Measure for Measure: A Musical History of Science, Simon& Schuster, 1995

6/Gareth Roberts: From Music to Mathematics, John Hopkins University Press, 2016

7/李重光：《基本乐理》，高等教育出版社，2004

8/王杰：《音乐与数学》，课程讲稿，出版在即

说明：

1、课程提供参考书电子版。

2、根据课程进展，酌情增加相关章节所需的补充资料。

3、关于音乐与数学的外文书籍较多，并不局限于课程所列。

教学方式

1、任课教师现场讲授

2、基于微信群组的小组讨论

3、基于微信群组的问题讨论与答疑

4、课程音音响库与视频库资料支持

5、根据教学内容进展专设音乐问题讲解

6、课后作业

7、自主研究题

考核方式

1，本课采取大班授课与小班讨论相结合的方式进行。每位选课同学必须参与大班听课和小班讨论。

2，大班上课前，每位同学必须阅读指定的文本。

3，每位同学在小班讨论中必须做至少一次主题报告和一次讨论总结。

4，每位同学都必须按时提交作业的纸版和电子版。凡有抄袭现象，一律0分。

香怡 编辑 / 东宇 校对

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