如何引导初中生做定量的物理计算？|长尾谈话录

给孩子科普物理的家长，通常会遇到这样一个问题：在自己的培养和熏陶之下，自己孩子对物理的兴趣终于被激发出来了，他们会嚷着你给他们讲大爆炸，讲广义相对论，讲宇宙，讲黑洞等等，然后也看了许多科普书，BBC的科普视频也都刷了个遍。然后，孩子对物理有了一定定性的了解，但是说起来神采飞扬，但是一提到具体计算就不喜欢了，也不太会了。

这是一道坎，从定性分析到定量计算的转变是一道大坎。能够迈过去，能够开始不再满足于定性的分析，而是开始喜欢借助数学做定量的计算，那算真的引上道了。

这篇文章记录了过年期间我跟一位14岁初中生的一次谈话，主要就是围绕着牛顿第二定律以及物体的运动展开的，我的目的就是希望把他从定性分析引入定量计算。他跟很多喜欢物理的中学生一样，能够定性的从大爆炸说到原子核，《三体》读了无数遍，知道伽利略和牛顿的思想，也知道广义相对论的基本思想，初中物理不费劲就能考非常好的分数。

但是，因为目前牛顿运动定律的具体计算要到高中才学，所以并不会计算。于是，就有了下面的对话（靠回忆，并不完全准确~）。

长尾君：你们现在学了牛顿的三大运动定律了么？

甲：还没有。

长尾君：牛顿是个非常了不起的科学家。在牛顿以前，人们认为一个物体之所以会动，是因为有力作用在它是身上。你用力推一个物体，物体才会动，也就是说他们认为“力是物体运动的原因”。

但是牛顿说你错了，让物体维持运动并不需要力，改变物体的运动状态才需要力。你想想，假如你在光滑的溜冰场里，你是不是可以溜的很远？地面越光滑你可以溜得越远，你会慢慢的停下来是……

甲：是因为地面有摩擦力。

长尾君：对，是因为有摩擦，如果这个摩擦力减小到零，你就可以一直滑下去。就跟你看的科幻电影一样，那些宇航员如果在太空里漂出去了，就会一直往太空深处漂，停不下来。也就是说，对牛顿而言，如果没有外力作用，物体就会一直保持它的这个运动状态。

甲：就是惯性呗。

长尾君：对，就是惯性。所以，这就是牛顿的第一定律，也叫惯性定律：物体不受外力或者合外力为0的情况下，物体就会一直保持这个运动状态。力不是物理运动的原因，而是改变物体运动的原因，这很好理解吧？

甲：嗯，好理解。

长尾君：好，既然我们理解“力不是物体运动的原因，而是物体改变运动的原因”，那么，接下来我们就要分析了：这个力到底是怎么让物体的运动改变的呢？

这就是牛顿第二定律的内容了，牛顿第二定律就是F=ma，F就是物体收到的力，m是它的质量，a就是代表它运动状态的改变，叫加速度。什么叫加速度呢？

加速度就是速度改变的快慢。你想想一辆汽车加速的时候，他最开始的时候是静止的，也就是说速度是0，假设它一秒钟之后速度变成了2m/s，那么，就是说这辆车在第一秒内速度变化了2m/s，是不是？那么它在这一秒钟内的加速度就是速度的改变量2m/s除以时间1秒，那么加速度就是2m/s²。

同样的，如果这辆车到了第二秒内速度变成了5m/s，那么它在第二秒内的速度就是5-3再除以1，就是2m/s²。也就是说它在这一秒钟之内速度变化了2m/s，这个就是它在第二秒内的加速度，以此类推。

所以，你想想，我们说一辆车加速得快的时候是什么意思？不就是说这辆车在一定的时间里速度改变了很大么？所以我们就可以用加速度这个量来代表运动状态的改变。

然后F=ma里面的力好理解，就是它受到的力，质量就是质量。然后你看看，如果一个物体的质量是一定的，你用越大的力推它，F就越大，那么是不是加速度a也越大？也就是运动状态改变得越快。

所以呢，牛顿第二定律其实就是用公式的形式把这句话说出来了。

甲：那牛顿第三定律呢？

长尾君：第三定律就是说我用多大的力推你，我也会感觉到你用多大力推我，就是说这个作用力和反作用力大小相等方向相反，这个很好理解。

然后，有一件很有意思的事情。你知道的，一个石头之所以会往下落，是因为它受到了地球的引力，因为有引力，所以苹石头会加速下落，也就是有加速度。那么，你凭你的感觉估计一下，如果我在五楼楼顶静止放下一块石头，这块石头在1秒钟之后大概速度会加速到多大？

甲：这个，不知道，大概六七米每秒的样子？

长尾君：是9.8m/s，而且，不管你仍什么，是石头也好，苹果也好，1秒钟之后它的速度都会加速到9.8m/s，当然，这得不考虑空气阻力。为什么会这样呢？

你知道万有引力，也就是说任何两个有质量的物体之间都会有引力，那么你猜猜，这个引力的大小大概跟哪些因素有关系？

甲：肯定跟质量有关系，物体的质量越大，引力应该越大，还应该跟距离有关系，距离越远这个引力应该越小。其它的暂时就想不到了。

长尾君：被你猜的差不多了，确实就是跟质量和距离有关，两个物体的质量越大，他们之间的引力越大，它们之间的距离越远，引力越小。那么你再猜猜，这引力跟质量应该是个什么关系？比如，如果两个物体的质量分别变成了原来的2倍和3倍，那么它们之间的引力你觉得会变成原来的几倍？

甲：5倍，哦不，不对，是5倍还是6倍？

长尾君：是啊，你觉得这个引力是跟两个物体的质量的和（5倍）相关还是跟乘积（6倍）相关？

甲：应该是6倍。

长尾君：对啊，应该是乘积飞关系，你想想，如果一个物体的质量变成了原来的2倍，就相当于有2个原来一模一样的物体在这里，那么应该产生两倍的效果。相加是没有道理的，因为，如果两个物体的质量不变，也就是说它们的质量都是原来的1倍，那么如果你把1和1加起来的话，那不就是等于2了么？物体没变引力就变成原来的2倍了，这就尴尬了。

甲：嗯，对。

长尾君：质量比较容易猜，这个距离我就不让你猜了。引力的大小是跟距离的平方成反比，为什么呢？因为我们生活的世界是三维世界，你如果把引力想象成一个能量球，那么这个能量球爆炸之后在同一时刻会形成一个球面。圆的面积公式你们早就学了吧？

甲：πr²，圆周率乘以半径的平方。

长尾君：嗯，πr²是圆的面积公式，一个球的表面积公式是4πr²，也就是说，不管是面积还是表面积，它们都是跟半径的平方成正比的。那么，我们一个能量球在空间中炸了，这个能量球的能量是不是在后来的每一个时刻都会平均分配4πr²这么大的地方啊？也就是说，每个地方获得的能量就跟半径的平方成反比了。

所以，万有引力的大小是跟距离的平方成反比的。其实也不引力，因为我们生活在3维世界里，所以，由于上面的原因，我们会产生非常多跟平方反比的定律。比如以后你们会碰到的，两个电荷之间会有一种电磁力，同性排斥，异性相吸，这个电磁力也是随着距离的平方成反比的。

超弦理论不是预言了多维度的存在么？它们觉得在尺度很小的地方维度不止三维，那么，去尺度很小的地方验证引力是否还遵守平方反比定律就是一条验证多维度的思路。

好，现在你知道了万有引力跟物体的质量成正比，跟距离的平方成反比，那么这个万有引力定律的公式就很容易写出来了。两个物体之间的引力自然就等于质量的乘积除以它们之间的距离的平方，然后再配上一个万有引力常数。

这个万有引力常数的大小好像是6.67×10^-11，也就是说，假如你跟我都是50kg，我们距离1米，那么我们之间的引力就是用50乘以50再除以1的平方，也就是2500，再乘以这个6.67×10^-11。2500乘以负11次方，你可以想想这个引力是多小了

甲（在心算）：难怪了，这么小，但是如果把其中的一个物体换成地球就很大了。

长尾君：对，你想想，如果你要算你跟地球之间的引力，那么就是你的质量乘以地球的质量，然后，这个距离怎么算？

甲：距离应该是地球的半径。

长尾君：对，这就是为什么我前面说只有在地球表面的物体，他的加速度才是恒定的原因。你在地球表面的时候，你可以用地球的半径当做距离，如果你把高度升高，比如你坐飞船到太空中去，那么你和地球之间的引力就不能用地球的半径算了，这个距离就会比地球的半径更大，那么引力就会减小。引力减小了，那么这个这个引力导致物体的加速度也会减小。

好，我们再来看看一块石头在地球引力作用下下落的这个事，也就是自由落体运动。你想想，你把一个石头突然在空中松手放开了，那么这个石头就只受到地球和石头之间的引力的作用，根据牛顿第二定律，我们用这个引力除以这个石头的质量，就可以得到石头自由落体时的加速度，对吧？

而这个万有引力我们现在知道了，石头和地球之间的引力应该是等于石头的质量乘以地球的质量再除以地球的半径平方，再乘以一个常数。如果你把这个力再除以石头的质量，那么不就只剩下地球的质量和地球的半径了么？

也就是说，石头在引力作用下做自由落体运动，它的加速度只跟地球的质量和半径有关，这些显然都是固定的值。所以，你把这个石头换成苹果桃子也一样，只要你还在地球表面，这个加速度就是固定的，跟你丢的是石头、苹果、铁球都没有关系。

也就是说，如果你在山上静止放下一块石头，这个石头就会获得一个固定的9.8的加速度，为了计算方便，我们都近似使用10吧。加速度是什么意思？就是速度的变化，也就是说它一秒钟之后速度会加速到10m/s，对不对？

甲：嗯，1秒钟之后速度会变成10m/s。

长尾君：那2秒钟之后呢？

甲：2秒钟之后就会变成20m/s。

长尾君：没错，3秒钟之后就会变成30m/s，那么，你想一想，1秒钟之后这个石头会落下多少米？

石头一开始是静止的，速度是0，然后在引力的作用下开始加速，而且还是均匀的加速，每秒钟速度增加10m/s。那么，要怎么计算石头在1秒内下落的距离呢？

甲：（思索中）应该是10米，不对……反正我敢肯定肯定小于10米

长尾君：没错，因为石头到1秒之后才加速到10m/s，即便它全程都是10m/s，也只能下落10m。它既然是从零开始加速的，那么就肯定没有10m，那么不到10米，到底是几米呢？

你可以想想，这个石头的速度是均匀增加的，一开始是0，后来是10，如果是均匀的话，我们可不可以用平均速度来代替呢？它最开始的速度是0，后来的速度10m/s，那么平均速度就是（0+10）/2，也就是5。所以……

甲：噢，所以它的距离应该用5乘以1，等于5米。

长尾君：没错，就是5米。石头在1秒钟之内可以下落5米，你想想，是这样一个距离。那么，2秒内呢？2秒后下落多少米？

甲：2秒应该是（5+……），应该是15米

长尾君：你再想想，第一秒内下落5米，第二秒内是10米，你是这么算的么？那我们再从头分析，因为它的加速度是10，第一秒加速到10，第二秒后就20了，那么这两秒内的平均速度应该是多少？

甲：0+20除以2，等于10。

长尾君：对，他这两秒钟内的平均速度是10米每秒，那么这两秒内的走的距离就可以一样用这个平均速度10乘以时间2秒，所以是20米。也就是说，2秒后悔下落20米。那3秒后呢？

甲：3秒就应该是45。

长尾君：4秒后呢？

甲：80米。

长尾君：对的，所以，自由落体运动我们都可以这样算。那么，也就是说，现在只要给定一个时间，我们就能算出一个距离出来，那么，你能不能从这里总结出自由落体运动的通用公式出来？

也就是说，时间t秒之后，它应该下落了多少米？这个下落的距离我们用s表示，这个加速度就用a表示。

甲：那距离s应该就是0加上下落后的速度再除以2，再乘以时间t。

长尾君：好，我们看看，这个距离s应该等于（0+速度）/2再乘以时间t，根据我们刚刚计算的结果，我们只需要知道时间t就行了，就能算出最终的距离。比如1秒是5秒，2秒是20米，3秒45，那么，这就是说如果我们要找到距离s的通用表达式，这个式子只需要包含时间t就可以了，你这个式子里还包含了一个速度，那么要怎么办？

这个速度跟时间有没有什么关系呢？你想想1秒钟之后速度是多少，2秒钟之后速度是多少？

甲：这个速度应该是10乘以时间

长尾君：对，所以，我们这个举例应该就可以写成t×（0+10t）/2，结果是多少？

甲：5乘以时间的平方，5t²。

长尾君：没错，这样你就找到了自由落体运动的通用公式，s=5t²，这个距离就只跟时间有关。你再把时间带进去试一试，如果t等于1，s就等于5，t等于2的时候，s就等于20，是不是跟上面的结果是一样的？然后你以后如果你再要计算其他的距离，直接这样计算就更简单了。

然后，为什么我们可以把那个速度写成10t呢？是因为地球表面的加速度是10，所以就是10t，如果我们在其他地方，这个加速度不是10呢？我们用a代表更加一般的加速度，那么时间t之后它的速度就应该是at，对吧？如果这样代入进去，会得到什么呢？

甲：应该就是二分之at，再乘以时间t

长尾君：整理一下呢？

甲：就是1/2乘以at²。

长尾君：对，自由落体运动更加一般的公式就是二分之一乘以at²，在地球表面这个a就是10。

所以你看，你现在就可以精确的计算出在任何时刻石头的速度或者下落的距离了，你等于是完全掌握了它运动的规律。如果这里有一口井，你往井里丢一块石头，你就可以通过数听到石头回声的时间来估算这口井的深度，这是不是很有意思？

而这些，我们只从牛顿第二定律和万有引力定律就能轻而易举的推出来，你掌握了这些物理定律，你就掌握了这些物体的命运。通过计算，你就可以预言它们的未来，不管是地上的苹果还是天上的飞船月亮，天上地下无所不知，这就是“主”的感觉，就是物理非常酷的地方。

随后，我对自由落体运动做了一个扩展，假设水平方向有一个初速度，也就是平抛运动会是什么情况，再根据地球和平抛运动自然地推出了卫星。限于篇幅，这些这里就不说了~

谈话大概持续了1~2个小时，以引导为主，因为时间不多，所以也没法太深入的聊一些问题。这里就把对话的部分内容记录一下，给大家看一看，希望能对大家引导孩子从定性了解物理到定量计算有所帮助~