小学数学典型应用题第二十三讲【容斥问题】

小学生学习之家
语文/数学/英语/全科关注

容斥问题

【含义】

    容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。

【数量关系】

A∪B = A+B - A∩B

A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

【解题思路和方法】

先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。可画文氏（韦恩）图来解题。

例1：

有两块木板各长50厘米，把两块木板钉成一块长木板，中间钉在一起的重叠部分长8厘米。

钉成的木板长 _____ 厘米。
解：    1、本题考查了学生的运算能力、应用能力。解决重叠问题时，要注意重叠的部分不能重复计算。

2、两块木板一共长50+50=100（厘米），如果钉在一起，说明原来的两个8厘米变成了一个8厘米，这样钉成的木板比100厘米少了8厘米，所以钉成的木板长100-8=92（厘米）。

识别二维码看视频解析例2：

有两张各长20厘米的纸条，粘贴在一起后的总长是36厘米，那么重叠部分长（  ）厘米。

A、2    B、4    C、8   D、16

解：

1、此题考查孩子的应用能力、运算能力。孩子没有进行画图理解，只是凭自己的主观想象进行思考，没有找到总长度与重复部分长度之间的关系，在后面计算时出现错误。

2、两张纸条如果没有重叠，那么一共长20＋20＝40（厘米），而重叠后的长度是36厘米，短了40－36＝4（厘米），说明重叠部分的长度是4厘米。选择B。

识别二维码看视频解析

例3：

某班在短跑、投掷和跳远三项检测中，有4人三项都未达到优秀，其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，这个班共有多少人？

解：

根据题意画图

2、我们可以先算出19+20+21=60（人），但是这里有被重复算的和漏算的，我们要注意减去重复的部分，加上漏算的部分。

3、由图可知，6、9、10人都是两两重叠的部分，被多算了一次，要减去：60-6-9-10=35（人），但要注意，图中的3人，在计算19、20、21的和的时候被加了三次，在“-6-9-10”的时候又被减了三次，那么相当于漏算了这3人，所以我们应该将漏算的3人加上，35+3=38（人），这38人是至少有一项达到优秀的人数，算全班总人数，还需要加上三项都未达到优秀的4人，所以共有38+4=42（人）。

识别二维码看视频解析

▍标签：小学数学 应用题

▍编辑：小音

声明：文章来源于网络，如有侵权请联系删除！

关于我们：

小学生学习之家：致力于服务小学各年级家长，每天准时为大家分享专业的

家庭教育理念、各年级学习资料，学习方法，教育经验等。孩子健康成长的路上，

我们与您同行！

长按↓↓三秒即可关注

特别声明：

本微信公众账号分享的资源版权属于原出版机构或影像公司，本资源为电子载体，传播分享仅限于家庭使用与交流心得、参考和辅助购买决策，不得以任何理由在商业行为中使用，若喜欢此资源，建议购买实体产品。