第75期【怎样学习：微问题】直线方程之确定和表达

一、问题捕捉

作为高三第一轮复习课，在简单讲解了解析几何和函数的数形差异之后，侧重点放在怎样协助学生从学科核心思想来认识关于直线方程的知识。

指令1：一提到直线方程，你知道哪些？请把你想得到的记录在记录本上。

从学生记录来看，A、B两位同学基本公式的记忆比较全，但是缺乏层次，C同学虽然没有写出具体的公式，但是具有框架意识，她的基本知识储备一向不错，而D同学的公式记忆不全，且完全是零散随机的记忆。

由于上海教材的点方向式、点法向式是我原来不熟悉的，于是我请A同学给大家分享一下点方向式怎么来的？A同学表示自己也不知道，只知道这个公式记住了可以做题，反倒是C同学把这个公式的来源讲清楚了。

基于这些信息的呈现，本节课教学任务的设计目标就设定为从数学对象的确定和表达的角度来审视这些零散的公式和相关的习题，协助学生构建相对完整的关于直线方程的思维结构体系。

二、基于学生问题的教学设计

指令2：你认为从哪些角度搞明白了，就算把直线方程搞明白了？注意我们是角度，不是具体的公式或知识点。

大家分享后都接近C同学的框架，我和学生一起修正后搭建的框架为：如何确定一条直线——如何表达一条直线——点和直线的关系——直线和直线的关系。

指令3：在脑海里画一个点，过这个点，可以做几条直线？如果知道直线的方向？可以做几条直线？如果还知道另外一个点，可以做几条直线？

这个指令对于学生是没问题的，目的协助学生确定一条直线需要什么条件？

指令4：在直角坐标系中，如何用数表达点？如何用数表达方向？请观察你的公式，是如何表达点和方向的？

教师分享了点斜式中如何表达点和方向，又是如何从两点确定方向再表达直线的。学生自己梳理点方向式、点法向式，并比较这些表达式在表达方向上的异同。

指令5：呈现一些已知条件，请不动笔，直接写出直线方程，并转化为一般式。

四个同学均能顺利完成。

在此基础上，学生自己弥补完整点到直线距离、两直线平行、垂直、夹角的知识弥补。

三、直线的识别确定表达训练

指令6：呈现习题“已知直线L：2x-y+1=0，点A（3，2），（1）求点A关于L的对称点坐标。”不动笔，请确定解答方案。

学生的描述是：“先求出过点A与L的直线方程，然后求出两者的交点，利用中点公式求出对称点坐标。”

一起整理语言格式，事实上这道题核心的数学结构是两条直线，所以将思考过程用这样的语言格式表达：“直线L确定，过A点与L垂直的直线确定，两直线的交点确定，对称点确定。”然后再考虑每一步的确定和表达具体用什么方法。

顺着前面这个题目的题干，具体展开变形“求直线关于点的对称直线、直线关于直线的对称直线、反射问题等“

指令7：针对这些变形的题目，请你识别出有哪些直线，是否确定？模仿前面的语言表达格式进行表达。

四个同学均顺利完成，顺利完成后完整的自己做一遍。

指令8：拿出练习，笔放在桌上，看题，先判断题目涉及几条直线，再判断这些直线是否确定，不确定如何表达。

四、总结整理

指令9：请回忆这节课，数数脑海里有几幅画面？我们是怎么复习直线的方程的？猜一猜我们下次会怎样复习圆的方程？

四个同学感受最深的是“点、方向”“点、点”确定直线，确定表达的价值她们慢慢感受到了。

学习者按：

数学的学习，就是围绕数学对象展开的，首先是将数学对象复制在学生脑海里，然后是如何确定和表达数学对象，而数学运算工具恰恰是为确定表达数学对象服务的。针对高三一轮复习，如何协助学生从数学对象的确定和表达的角度重新审视构建相应的知识体系，从数学对象的角度看待数学习题，是高三数学复习长期坚持的重点。