三维坐标系间的变换（多公式）

1三维坐标系间的变换

参心←→参心空间直角坐标系间（如：克氏椭球←→IAG75椭球）

参心←→地心空间直角坐标系间（如：克氏或IAG75椭球←→WGS-84椭球）

 三个变换公式（布尔莎、范士、莫洛金斯基）对于坐标换算而言等价，推导布尔莎公式如下：         

如图所示，Pi在不同坐标系中的坐标

               XT＝⊿X0＋(1＋dK)R(e )X          （10-28）

式中  XT——Pi在坐标系OT —XTYTZT中的坐标向量

          X——Pi在坐标系O —XYZ中的坐标向量

         ⊿X0——原点平移向量，⊿X0＝(⊿X ⊿Y ⊿Z)T

          dK——尺度变化系数

          R(e )——旋转矩阵 

当已知转换参数⊿X0、dK、R(e )时，可按上式将Pi点的X坐标系坐标换算为XT坐标系的坐标。

按最小二乘原则求解转换参数⊿X0、dK、R(e )如下。

 因旋转角e 很小，有sine=e 和cose=1，若忽略e 二阶微小量，则旋转阵

 代入（10-28）式，忽略二阶微小量dKQXi得

                                       XTi＝⊿X0＋R(e)dKXi＋R(e)Xi

                                            ＝⊿X0＋(E＋Q)dKXi＋(E＋Q)Xi

                                            ＝⊿X0＋dKXi＋Xi＋QXi

    顾及 

则（10-28）式为  

（此即用于两空间直角坐标系相互变换的布尔莎七参数公式）

    若上式中eX＝eY＝0，eZ≠0，则上式为五参数转换模型。若再有eZ＝0，则上式为四参数转换模型。若尺度比参数亦为零，则得三参数转换模型 

三参数转换公式是在假设两坐标系间各坐标轴相互平行，即轴系间不存在欧勒角的条件下导出的，这在实际情况中往往是不可能的。在欧勒角不大，求得欧勒角误差和欧勒角本身数值属同一数量级时，可以近似地这样处置。此种情况在国内外一些坐标换算中屡见不鲜，如北美坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0=-22m，Y0＝157m，Z0=176；欧洲坐标系相对于地心坐标系的三参数是X0＝-84m，Y0＝-103m，Z0＝-127m等。我国地心坐标系转换参数（DX1）也属三个转换参数。 

当根据多个公共点按最小二乘法求解转换参数时，对每个点有观测方程 

假设

2不同大地坐标系间的换算 

不同大地坐标系间的换算除了具有原点平移、欧勒角、尺度比七个转换参数，还有两个系统采用不同椭球产生的两个地球椭球转换参数。不同大地坐标系统的换算公式又称大地坐标微分公式。介绍大地坐标换算的布尔莎公式如下。  

X，Y，Z是B，L，H，a，a 的函数，全微分有 

顾及到 

有

上式中

顾及全部七参数和椭球变化的广义大地微分公式为

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