刘谦春晚魔术揭秘：约瑟夫环的数学魅力，JS实现下！

转自：程序员Sunday

今年春晚刘谦的魔术堪称惊艳全场，那么他这个魔术实现的原理是什么呢？今天，就让咱们使用 JS 是实现这个魔术。

约瑟夫环问题简介

约瑟夫环问题源自古罗马，由历史学家约瑟夫斯提出，而其数学模型则在19世纪被命名。问题设定如下：n个人围成一圈，从第一人开始报数，每报到第k个人，该人就会被淘汰。游戏继续进行，直到最后只剩下一个人。我们的目标是找出这个幸存者的编号。

用扑克牌解读约瑟夫环

情景一：最简单的情况

设想我们有两张牌，编号为1和2。我们先将1号放到底部，然后移除2号。结果，最初位于顶部的1号牌幸存下来。

情景二：牌数为2的n次幂

设想有8张牌，编号从1到8。在第一轮中，我们会移除所有偶数编号的牌（2、4、6、8），剩余1、3、5、7。这些剩下的牌按顺序放到底部，问题就变成了4张牌的情况。

重复这个过程，最终我们发现，如果牌数是2^n张，幸存的总是最初位于顶部的那张牌。

情景三：任意数量的牌

对于任意数量的牌（比如11张），我们可以将其表示为2^n+m（在这个例子中是8+3）。通过重复上述过程，我们会发现最终幸存的牌是最初位于顶部第m+1位的牌（在这个例子中是7号牌）

见证奇迹的时刻！

1. 从4张牌开始，对折撕成8张排成ABCDABCD。
2. 根据名字长度将顶部牌放到底部，位置变化不影响结果。譬如2次，最后变成CDABCDAB；譬如3次，最后换成DABCDABC。但无论怎么操作，第4张和第8张牌都是一样的。
3. 将顶部3张牌随意插入中间，确保第1张和第8张牌相同。这一步非常重要！因为操作完之后必然出现第1张和第8张牌是一样的！以名字两个字为例，可以写成BxxxxxxB（这里的x是其他和B不同的牌）。
4. 拿掉顶上的牌放到一边，记为B。剩下的序列是xxxxxxB，一共7张牌。
5. 南方人/北方人/不确定，分别拿顶上的1/2/3张牌插到中间，但是不会改变剩下7张牌是xxxxxxB的结果。
6. 男生拿掉1张，女生拿掉2张。也就是男生剩下6张，女生剩下5张。分别是xxxxxB和xxxxB。
7. 循环7次，把最顶上的放到最底下，男生和女生分别会是xxxxBx和xxBxx。
8. 最后执行约瑟夫环过程！操作到最后只剩下1张。当牌数为6时（男生），剩下的就是第5张牌；当牌数为5时（女生），剩下的就是第3张牌。Bingo！就是第4步拿掉的那张牌！

下面是完整的 JavaScript 代码实现：

// 定义一个函数，用于把牌堆顶n张牌移动到末尾
function moveCardBack(n, arr) {
    // 循环n次，把队列第一张牌放到队列末尾
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const moveCard = arr.shift();  // 弹出队头元素，即第一张牌
        arr.push(moveCard);            // 把原队头元素插入到序列末尾
    }
    return arr;
}

// 定义一个函数，用于把牌堆顶n张牌移动到中间的任意位置
function moveCardMiddleRandom(n, arr) {
    // 插入在arr中的的位置，随机生成一个idx
    // 这个位置必须是在n+1到arr.length-1之间
    const idx = Math.floor(Math.random() * (arr.length - n - 1)) + n + 1;
    // 执行插入操作
    const newArr = arr.slice(n, idx).concat(arr.slice(0, n)).concat(arr.slice(idx));
    return newArr;
}

// 步骤1：初始化8张牌，假设为"ABCDABCD"
let arr = ["A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D"];
console.log("步骤1：拿出4张牌，对折撕成8张，按顺序叠放。");
console.log("此时序列为：" + arr.join('') + "\n---");

// 步骤2（无关步骤）：名字长度随机选取，这里取2到5（其实任意整数都行）
const nameLen = Math.floor(Math.random() * 4) + 2;
// 把nameLen张牌移动到序列末尾
arr = moveCardBack(nameLen, arr);
console.log(`步骤2：随机选取名字长度为${nameLen}，把第1张牌放到末尾，操作${nameLen}次。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤3（关键步骤）：把牌堆顶三张放到中间任意位置
arr = moveCardMiddleRandom(3, arr);
console.log(`步骤3：把牌堆顶3张放到中间的随机位置。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤4（关键步骤）：把最顶上的牌拿走
const restCard = arr.shift();  // 弹出队头元素
console.log(`步骤4：把最顶上的牌拿走，放在一边。`);
console.log(`拿走的牌为：${restCard}`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤5（无关步骤）：根据南方人/北方人/不确定，把顶上的1/2/3张牌插入到中间任意位置
// 随机选择1、2、3中的任意一个数字
const moveNum = Math.floor(Math.random() * 3) + 1;
arr = moveCardMiddleRandom(moveNum, arr);
console.log(`步骤5：我${moveNum === 1 ? '是南方人' : moveNum === 2 ? '是北方人' : '不确定自己是哪里人'}，\
把${moveNum}张牌插入到中间的随机位置。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤6（关键步骤）：根据性别男或女，移除牌堆顶的1或2张牌
const maleNum = Math.floor(Math.random() * 2) + 1;  // 随机选择1或2
for (let i = 0; i < maleNum; i++) {  // 循环maleNum次，移除牌堆顶的牌
    arr.shift();
}
console.log(`步骤6：我是${maleNum === 1 ? '男' : '女'}生，移除牌堆顶的${maleNum}张牌。`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤7（关键步骤）：把顶部的牌移动到末尾，执行7次
arr = moveCardBack(7, arr);
console.log(`步骤7：把顶部的牌移动到末尾，执行7次`);
console.log(`此时序列为：${arr.join('')}\n---`);

// 步骤8（关键步骤）：执行约瑟夫环过程。把牌堆顶一张牌放到末尾，再移除一张牌，直到只剩下一张牌。
console.log(`步骤8：把牌堆顶一张牌放到末尾，再移除一张牌，直到只剩下一张牌。`);
while (arr.length > 1) {
    const luck = arr.shift();  // 好运留下来
    arr.push(luck);
    console.log(`好运留下来：${luck}\t\t此时序列为：${arr.join('')}`);
    const sadness = arr.shift();  // 烦恼都丢掉
    console.log(`烦恼都丢掉：${sadness}\t\t此时序列为：${arr.join('')}`);
}
console.log(`---\n最终结果：剩下的牌为${arr[0]}，步骤4中留下来的牌也是${restCard}`);

通过上述代码，我们可以模拟刘谦春晚魔术的整个过程，并验证其背后的数学逻辑。

以下为执行结果：

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