数学卷12题、16题分析

本文就高考第12题和第16题进行分析和拓展，力图呈现得简洁易懂。这两题细细分析起来，终于窥到了这张试卷的美妙之处。

☆ 第12题 ☆

【解析】四个点要分布在一条直线的两侧，且两侧的点到直线的距离之和要相等，那么这条直线有什么特点呢？我们大致可以从以下两种情况分析：

第一种情况：两侧各两点

图中，E、F、G、H是ABCD各边中点

由初中知识可得EFGH为平行四边形

（EH平行且等于BD的一半，

GF平行且等于BD的一半）

我们用h(A)表示A到直线的距离，

以此类推h(B)、h(C)、……

若h(A)+h(B)=h(C)+h(D)，

根据中位线的原理，h(E)=h(G)

即点E到直线的距离等于点G到直线的距离

根据全等三角形，可知直线会经过EG的中点

同理，直线会经过FH的中点

即直线会经过EG和FH的交点

第二种情况：一侧三个点，一侧一个点

即h(D)+h(A)+h(B)=h(C)，

∴ h(D)+h(A)=h(C)－h(B)

由初中几何知识，可得h(H)=h(F)

（h(F)=[h(C)+h(B)]÷2－h(B)=[h(C)－h(B)]÷2）

根据全等三角形，可得直线经过FH的中点

同理可得，直线会经过EG的中点

即直线会经过EG和FH的交点

综上两种情况，即满足已知条件的直线肯定要经过EG和FH的交点，那么问题就变得简单了，如下图，EG和FH的交点正是P2

也就是符合条件的直线一定经过点P2，

经过点P2的直线有无数条；

同时经过点P1和P2的直线仅有一条，

同时经过点P3和P2的直线仅有一条，

同时经过点P4和P2的直线仅有一条，

所以符合条件的点为P1、P3、P4

当然，本题也可以以P2为坐标原点，建立坐标系证明经过点P2的直线符合条件，设直线为y=kx，同样分情况分类讨论即可，这就不展开证明了，因为几何证明已经足够简洁完美~

☆ 第16题 ☆

方法一：柯西不等式

设P(a,b)，Q(m,n)，

由向量模的乘积≥向量数量积，

|OP|·|OQ|≥OP·OQ（向量数量积）

可得：（a²+b²）（m²+n²）≥am+bn

（即柯西不等式的向量证明，

等号成立条件为a/b=m/n）

∴套公式得(a²/36+b²/4)(m²+n²/9)≥(am/6+bn/6)

即1≥（am/6+bn/6），∴ am+bn≤6，

数量积最大值为6，

等号成立的条件为a/b=9m/n，

即只要满足OP斜率为OQ斜率的9倍，

数量积可取到最大值，

这样的P、Q有无穷个

方法二：参数方程

设P(6cosα，2sinα)，Q(cosβ，3sinβ)

数量积OP·OQ=6cosαcosβ+6sinαsinβ

=6cos(α－β)≤6，

即数量积最大值为6

等号成立条件为α－β=2kπ（k∈Z）

即符合条件的角α、β有无穷个，选D

对于我之前说到的困惑，很多人已帮我解惑

即椭圆参数方程中的角的几何意义，

和圆的参数方程中的角是不一样的

哪怕是两个椭圆的公共点，

对应的角其实也可以是不一样的

其几何意义如下图所示：

红色曲线为椭圆，P为椭圆上的点，

过P作x轴的垂线，交x轴于E，

交半径为a的圆于A，联结OA

交半径为b的圆于B，∠AOE=θ

可知P点横坐标OE=OAcosθ=acosθ

P点横坐标BF=OBsinθ=bsinθ

∴P点坐标（acosθ，bsinθ）

即θ角并不是OP与x轴正半轴所形成的角

题目分析：谭峰

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