单墫教授谈中小学大纲、教材改革以及中学竞赛
我们正走向21世纪，
在下一个世纪，中国应成为现代化的国家，实现这一目标，需要许多的变革与努力，教育是一个非常重要的方面，四十多年的教育是计划经济下的教育（或许教育是计划经济的最后几块阵地之一），固然也取得很多成绩，但难以适应新世纪的需要，
教育必须改革，
改革不是面壁虚构，应当从现实出发，改革不是另起炉灶，应当利用原有的基础，改革不是全盘否定，应当扬长避短，改革不是追赶时髦，应当保持自己的特色，改革不是鹦鹉学舌，应当百家争鸣，改革不是夸夸其谈，应当勤勤恳恳地办好每一件实事，
非常乐意参加中国数学会教育工作委员会与江苏教育出版社组织的，面向21世纪的中国数学教育一数学家谈数学家教育的讨论，但我虽从事数学教育多年，并未研究过数学教育，只能就中、小学数学教育的大纲与教材谈一点粗浅的想法，
需不需要一个统一的大纲？
这个问题，我想是值得讨论的，中国幅员辽阔，各个地区的发展极不平等，教育水准也必然参差不齐，
如果有统一的大纲，它应当具有相当的弹性，允许因时因地制宜，大纲可以规定最低的标准，促进落后地区赶上去，不必限制先进地区的发展，
大纲是大纲，不必写的过细，
《试用九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》（以下简称现行大纲），规定十字相乘法中的“二次项与常数项的积的绝对值不大于60”，这就太琐细了，
大纲，主要规定知识的范围、教法应有授课教师自己的特点，不必写在大纲里（现行大纲有一节“教学中应该注意的几个问题”），
大纲，应根据数学的发展适时修订，以达到现代化的标准，例如现行大纲中有“会查表求平方根和立方根”，“会查正弦和余弦表、正切和余切表”，随着计算器的普遍使用，这些内容应当删去，
数学教育应使学生掌握基础知识、发展数学能力，
数学教育不是职业教育，因此没有必要强调过于具体专门的应用（如炒股票），
数学的应用日益增多，不可能全在数学课中讲授，相反地，一些专门的应用可以从数学中分裂出去，自立门户，如制图、统计、计算机等，经济数学也可单设一门课程，这样既可使学生对有关问题有较透彻的了解，又保持了数学的“纯洁性”，
现行大纲强调理论联系实际，但从四十年的数学实践看，往往顾此失彼，近来“大众数学”的呼声又高起来，我想我们应当吸取过去（特别是文革）的教训，
科学是没有国界的，开放的中国是世界的一员，我们应当有开阔的胸襟，一视同仁地介绍世界各国的成就，其中也包括本国的成就，不应当搞狭隘的民族主义，更不能学阿Q的“我的祖上比你阔”，
应当介绍古今优秀的数学思想，
现行大纲强调辩证唯物主义，但很多数学家并不是唯物主义，很多数学思想也难以归入辩证唯物主义的范围，不能将他们都关在门外，思想教育应属于教育方针中的德育部分，具体课程的大纲过于强调思想教育，不仅重复，而且使人感觉有点像文革中的“穿靴戴帽”，
除了界定知识范围外，数学大纲如果要强调什么原则，我以为应当指出数学教育必须集中于发展数学能力.
现在已经出现了“一纲多本”，打破全国数学课本统一的局面，这是很大的进步，四十多年，数学课本基本沿袭了苏联吉西略夫的教材，我国自编的教材有很好的，如华罗庚、丁尔陞等先生编审的60年代初一教材，体现了“数形结合”的思想，
但较多的只是修修补补，有些方面还不如原来吉氏的书，
文革中的教材“突出政治”，“理论联系实际”，只含有少量零碎的数学知识，是最劣等的产品，
新的课本，应当有利于发展学生的数学能力，
小学低年级，应强调数的四则运算，培养运算能力，禁止使用计算器，
小学三四年级，通过文字（应用题），培养分析推理能力，应当加强应用题的算术解法，算术解法是我国数学教育的一大特色，算术解法能提高学生们的学习兴趣，在训练思维方面极为重要，这种思维方式与代数解法（列方程）各有千秋，不应当用后者取代前者，
初中阶段，培养学生对代数式进行四则运算与恒等变形的能力，因式分解可以适当加强，因为它有利于培养学生的能力，如判断（能否分解）、分析（怎样分解）与创造（往往不是依样画葫芦）的能力，
平面几何的知识十分重要，
但至少同样重要的是几何学的推理方式，现在平面几何大大削弱，甚至限定推理步骤不超过三步，这是不妥当的，一般说来中国学生在数学学习上超过欧美学生，没有必要降低水准，
如果课时不够，可以只在某一章，例如全等三角形，花较多的时间进行推理方面的训练，而其他部分则以介绍知识（不必详细论证）为主，50年代，初中不学相似形，但初中生已经具备了几何推理的能力，这样的经验值得利用，
平面几何削弱后，用什么取代它以培养逻辑推理的能力？
长期来没有解决，方案不只一个（例如莫绍揆先生提出用数理逻辑带代替），但均不易实行，
现在看来，可以用组合数学，
实践（特别是各种竞赛活动）表明，组合数学中很多内容，如抽屉原理、奇偶分析、分类等，学生喜爱易于接受（小学生都懂得从三只白袜子、五只黑袜子中随意抽出四只必有两只同色），
组合数学灵活，有众多的应用，它的推理方式比起平面几何更加接近现代数学，因此可将一些组合数学的内容分布于各个年级，取代平面几何，当然平面几何不能完全取消，它不仅介绍“形”的知识，而且几何推理也是一种独特的推理，
公理化的思想也很重要，
吉西略夫的书，特别是立体几何，脉络分明，论证严谨，仍值得借鉴，为了节省课时，可以将一些定理充作公理，但应慎重选择，形成比较合理，易于接受的体系，课本可适当采用圆周式，略有重复，有些内容，如应用题，可将代数解法与算术解法比较，使学生有更好的领悟，
各种能力的培养都必须通过练习，
因此教材应包含大量的习题，有纯粹为巩固知识的简单练习，有应用所学知识来解决问题，也有创造性较高的难题，
按波利亚的说法，数学教育的目的是教学生思考，而思考即解题，
至少，数学教育中应包含解题的教育，而有的课本却忽视这一点，只有少量例、习题，教师学生均感不便（吉西略夫的书有大量的习题）.
数学（数学教育）是什么？
众说纷纭，有的说数学是算学，应强调计算，有的说数学是思维的体操，应培养逻辑推理，小平邦彦则说数学是一种感觉，高斯推崇数学为自然科学的皇后，亦有人认为数学只不过是一种工具，是科学的奴仆，
有人认为“数学是模式的科学”，有人认为“应用数学是丑陋的数学”，国内常常引用“数学是研究现实世界的空间形式与度量关系的科学”，而在西方，也曾流行“数学是符号的游戏”，“数学是这样的，研究它的人也不知道自己在做什么”，
近年有人提出“大众数学”，强调数学教育应为就业服务，也有人提出“数学是一种文化”......
或许数学就是数学，不应对它有过奢的希望，也不应当忽视它自己的特点，
一门钢琴课应以学会弹琴为主要目的，至于能否赚钱，为谁服务等，大概不是钢琴课本身的任务，想起一个著名的故事“瞎子摸象”，这个故事并非嘲笑残疾人，而是说站在不同的位置，每个人都有可能发现部分的真理，但只有综合起来，才能得到完整的认识。
单墫教授还谈怎样搞数学竞赛？
搞竞赛要找好苗子，他(她)应该是有热情的，勤奋的，更应该是有抱负的，不畏艰难的；不能搞抱佛脚的事。冰冻三尺，非一日之寒。应该从高一前的暑假就开始不停的学习、训练。细细地说来，注意事项还有很多。在此先说一些，挂一漏万，请见谅。
一、在进度方面：
要在高一开学之前的那个暑假里把整个高中的数学内容全部学完，并在高一上学期应该完成像高三一样的两轮复习，基础太重要了，第一试占了150分，不可小视。然后，就是竞赛内容了，不要以为看几本竞赛书就可以了，因为那些书上讲得太粗略；这时候，对老师的要求就更高。老师不但要对竞赛内容非常熟悉，还要不断地总结重要的思想方法，使学生能够灵活运用。
二、必读书目：
开始阶段（专题）：
01、*《组合几何》（单墫） 02、*《函数方程》
03、*《怎样证明三角恒等式》 04、*《柯西不等式与排序不等式》（南山）
05、*《抽屉原则与涂色问题》 06、*《覆盖》（单墫）
07、*《初等数论》（三册） 08、 《数论妙趣》
09、*《基础数论典型题解300例》（王元等） 10、*《几何不等式》
11、 《趣味的图论问题》（单墫） 12、*《数学竞赛中的图论方法》
13、*《计数》 14、*《组合数学理论与题解》
15、 《组合计数方法及其应用》 16、 《组合分析的原理 方法 技巧》
17、*《集合及其子集》（单墫） 18、*《几何变换与几何证题》（萧政纲）
19、 《近代欧氏几何学》（R.A.Johnson） 20、 《平面几何中的小花》（单墫）
复习阶段（综合，针对思想方法）：
21、*《从特殊性看问题》（苏淳） 22、 《组合恒等式》（史济怀）
23、 《解析几何的技巧》（单墫） 24、*《算两次》（单墫）
25、*《构造法解题》（余红兵 严镇军） 26、*《漫话数学归纳法》（苏淳）
上面那些书（基本上是数学家写的）应该要学完（特别是打*的）；虽然有点多，但这些书实在太好了，把很多问题都讲得很透彻。然后，该看些竞赛书了，当然，这个时候阅读起来会很轻松的。《第一届数学奥林匹克国家集训队资料》是一本很好的资料。
再推荐一些非常有用的课外读物：
27、《通俗数学名著译丛 数学游戏与欣赏》（鲍尔）
28、《通俗数学名著译丛 数学娱乐问题》（J．A．H．亨特 J．S．玛达其）
29、《通俗数学名著译丛 圆锥曲线的几何性质》（科克肖特 沃尔特斯）
30、《圆锥曲线》
31、《圆与球》（W．伯拉须凯）
32、《棋盘上的组合数学》（冯跃峰）
33、《几何》（笛卡尔）
34、《几何的有名定理》（矢野健太郎）
对于竞赛教练员来说，我认为以上所有的书都应该熟读，这样一个直接的好处就是了解题目的背景。当然，数学水平也会上升一个档次。对于参加竞赛的，也提出了极高的要求，要在短时间内学完这么多书。如果时间安排得好的话，看完了这些书（或者已经基本看完了），联赛也马上就开始了，这时是高二开学后一个月左右（有些省设了初赛，可能还要早些），即使考得不理想，我想拿个二等奖问题不大，不必灰心，更不必太悲观，因为还有高三一次机会，还有足足一年的时间精心准备，等到一年之后，收获之时到矣。
以上均为个人意见，请慎重听取。这篇文章对多数学生来说是没什么价值的。能进入国家集训队的一个学校能出一个就值得大书特书了。
发在这里的目的是让各位家长看看，如果要做到最好需要付出多大的努力。我一直说，智商在整个中学学习中是个次要的因素。努力、进取、方法才是决定学生成功与否的关键。往往我们只看到了国家集训队学生遇到难题时的从容不迫，于是我们把他们定义为天才。事实上他们付出的是成倍的努力。
我一个同事是科大第一届少年班的毕业生。在旁人看来是绝对的天才。可他自己告诉我们，平时没事的时候就会将相对论从头至尾推导一遍。这种付出有几人能够做到？
举个例子吧，每年高一的学生中希望搞数学或者物理竞赛的学生，我都会带他们去拜访往年的成功考生．回来后新生都充满信心：以物理竞赛为例（数学竞赛得看小学初中的基础，物理竞赛从高一才开始，初中内容相对容易），往年的学生给出的经验是：只要把程稼夫的三本书做完至少可以拿到省一．听上去多么容易啊，只需要做完三本书．在优秀学校里，在教练的辅导下完成三本书从难度上来说不是特别的大．可往往一年下来，所有的学生都打了退堂鼓。
如果说天赋很重要，我个人认为能够坚持到最后永不放弃的这种恒心才算是天赋．在外人看来优秀学生的遥不可及的能力是日积月累而成的结果。至于夺得金牌，在相应领域成为最棒的科学家是进一步的事情，不是几句话说的清的．
推导相对论不像大家想的那么困难。学过广义相对论以后对照书本推导一次，往后离开书本自己推导完全是可以的。难就难在推导一次相对论需要花费非常多的时间（大半天的时间），试问有几人能坐得住呢。至少我不能。
同样是我这个同事，他将有名的吉米多维奇习题集（大约4-5本，每本400页左右。无解答，全是题目，题目量可想而知）全解过一遍（是否全解出我不清楚）。这种努力是多么的难得。
最好的学生一定是会用功的学生。他们比多数学生都睡的早，但不表示他们不勤奋。在勤奋的基础上，由于方法不同也会有高下之分。
发这个帖子的目的原本并不是讨论天才和勤奋哪个更重要（但我一直强调勤奋很重要，因为这是后天的，是我们能把握的）。主要是想说，不要为学习成绩不好去找一些天赋上的借口。诚然天赋的高低会决定你是进省队还是国家队，在这种顶尖竞赛中天赋是重要的。但天赋的高低不会影响你中高考成绩是否优秀。
勤奋、态度、方法，这些是我们后天可以做到的，对待任何事情都应该勤奋；勤奋之余寻求好的方法改进自己的学习习惯。这是主动迎接学习挑战迎接人生挑战的积极态度。在天赋上抓住不放从态度上就显得消极得多。还没开始学习从心态上就输了半截。
这个老帖子今天又看到，真是感慨颇多。回想自己的中学大学研究生的求学生涯。多少的聪明人因为态度上的问题早早折戟沉沙，而像我这样愚钝之辈通过自己的努力总算能在社会谋取一席之地。
以上均是肺腑之言，没有任何人身攻击的意味。如有冒犯请海涵。版里很多家长都在谈论竞赛。随着孩子年龄的增长，家长们的关注点从小学转向了中学。作为一个长期从事数学辅导的教师，我倒是建议一些家长、同学可以将注意力多多放在物理竞赛上。数学竞赛所需的时间很多，需要大量的阅读，对平时功课的影响较大。而且比较依赖于小学的奥数基础。
而物理竞赛完全可以从初二开始，且所需的课程数远少于数学。在高中保送时也更占优势一些。竞赛不是最需要的东西。不过版里关注的家长很多，并且都以高中保送和提前考试资格为目标。
如果是数学竞赛。到了初中再起步就晚了。如果是物理竞赛。到了初三再开始也是来得及的。孩子是否有很强的毅力是非常重要的。奥赛是需要投入大量时间的，天赋再好，不能吃苦的学生是没法取得理想成绩的。另外，孩子是否在相应的学科表现出一定的天赋（通常通过平时考试成绩判定）也是需要注意的因素。
初中物理如果以高中奥赛为目标，现在的8成培训中心的课程是不合格的。这与数学的反差很大，很多机构的数学培训做的都比较有特色。当然，这跟中考的指挥棒关系密切。
我个人认为，初中物理的力学、电学，完全应该采用高中的模式教学。而不是停留在初中的层面上。但这点多数老师做不到，主要原因是，高中的力学电学需要比较多的二次函数、三角函数的基础。初中的物理老师在辅导这方面问题时，能力上存在一定的缺失（恕我直言）。
言归正传，目前初中竞赛课程多数培训机构就是跟着课本走的。难度加深了一些。换言之，叫做提优更准确些。
顺便说一下高中物理竞赛的课程：
1、力学（需学习微积分等大学知识）
2、电磁学（需微积分知识）
3、热学
4、光学
5、近代物理（相对论、原子物理等等都可包括在内）
所以我说，从课程来说并不多。而且主要以力学和电磁学为主，相比数学轻松许多。物理方面的初中奥赛教材比较有名的是张大同老师主编的绿皮书。但与江苏的教材有些脱节。目前比较好的物理竞赛教材十分匮乏。市面上多数教材只能算是提优教材。物理竞赛初三开始也不晚。由于物理对数学要求很高，最好能将数学的课程尽可能向前学。
高一学生除非成绩极好，自学过电磁学，否则不用参加集训了。我们的课程多是大学教授讲授，难度较大。会影响到学生的自信心。
另外我多说几句：物理竞赛的意义不仅仅在于得奖，还在于能力的提升。能够通过初赛的学生，在高考中的压轴题也可以轻松应对。这方面的意义也许对多数学生更重大些。就像很多大学生考英语6级，实际上没有什么意义。但是6级的难度相当于考研英语，6级能及格的同学稍加努力，考研英语也不会有什么问题了。
发这么一个关于高中物理竞赛的帖子，我有义务将物理竞赛直至自主招生考试的流程解释清楚。如家长有疑问可以留言，关于这次集训的或者关于物理奥赛的均可（数学恕不解答）
问题一、现在初中是否有正规的物理竞赛
答：据我所知，江苏省物理学会是没有针对初中的物理竞赛的。南京市物理学会（也就是我们这边，由另一位老师负责）每年年底组织一次南京市中学生物理竞赛。往年的参赛人数在2000人左右，应该算是目前最为正式的初中物理竞赛了。但近年明确规定初中不允许组织竞赛，所以可以说目前南京没有正规的物理竞赛了。至于一些培训中心内部考试，打着物理竞赛的名头，实际上仅仅是对内的一次期中（末）考试测验而已。事实上目前所有的初中竞赛都是民间的。
问题二、高中物理竞赛与初中相比的区别
答：天差地别。高中的物理竞赛课本有兴趣的同学可以翻阅，与初中完全是南辕北辙的两条路。
问题三、物理竞赛的意义
答：高中物理竞赛的意义在于：
1.拿到高中物理竞赛省一等奖前50名（如果是全国奖可以直接签约，跳过考试），可拿到大学的自主招生考试资格。每年南京都有大量学生通过这个渠道考取中国最一流的大学。相关数据我印象版里是有的。
2.目前高考物理试题压轴两题难度很大，基本相当于竞赛初赛难度。学习物理竞赛对解答高考难题有很大帮助。据我了解，近几年附中高考成绩最突出的学生都是学习过竞赛的。
问题四、数学竞赛与物理竞赛的取舍
答：我前些年一直在做数学竞赛的工作。目前工作调到到物理学会培训中心。对两者都有一定的了解。个人认为，如果想搞数学竞赛，必须开始得很早，最好是小学就很优秀。且初中得提前学完高中（至少高一）的课程，这样从时间上才来得及。且需学习的课程较多。南京数学竞赛比较突出的是金中。物理竞赛可开始得稍晚，初三结束开始时间也足够，中考后得提前学习微积分初步以及高中力学。相对数学，物理需要的科目少一些。另外，数学竞赛的参赛人数多，获奖率低。相对没有物理稳定。南京物理竞赛比较优秀的是附中。南外由于高二大量学生忙着出国，对竞赛成绩有不小影响。从自主招生名额来说，两者差别不大。现在比较多的学生在高中都会采取数学+物理的双竞赛路。通过平时的学习情况再进行取舍。目前物理学会和物科院没有组织相应的初中培训。往年高中也只针对夏令营表现出色的少数学生进行进一步的培训，以提高南京市物理奥赛的竞争力。公开招生一直没有开展过。从今年9月份开始，物理学会培训中心将针对南京的高中生进行一次招生，选拔1-2个班进行物理奥赛课程的辅导。有意愿的高一新生以及即将高二的基础较好的学生可以关注。特别再次说明，之前物理学会培训中心除了夏令营以及集训课程外，未针对高中进行过任何公开招生（以后类似问题不再重复了）。另外，虽然初中竞赛严令禁止，各培训中心的初中奥数、奥物课程课程还是存在的。优秀学生仍然是有这方面的需求的。
文章转载自公众号《数学中国》
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