计算广告：广告收入的分解
本文是阅读 《计算广告 第2版》 的第 3 篇读书笔记。所有读书笔记请访问这个话题标签：《计算广告》。
本文大量内容由曾嵘自行发挥，很可能不正确，欢迎批评指正。
eCPM 是什么
eCPM 可谓大名鼎鼎，它是计算广告的核心量化指标。《计算广告》这本书大部分计算都围绕它展开，纯广告变现（IAA）游戏最关注这个指标。
eCPM(expected Cost Per Mille) 代表每千次展示期望收入。
曾嵘：
这里介绍一下 mille 这个词，我觉得有点意思。
mille 不单独使用，它会和 per 一同使用组成
per mille，来自拉丁文per mīlle，代表 每千次，有一个专有的关联符号‰，注意，这个符号 不是 百分号%。还有一些变体拼写：per mil, per mill, permil, permill, permille，它们都代表相同的意思。
这个词组在英文中非常少见，不会出现在大部分的主要英文字典中。因为这些正统字典不承认它的拼写。我专门查了一下 Collins、Macmillan 和 Oxford 词典，都无法找到它的解释。
但这个词组在欧洲语言中很常用，一般用于表达 小于 1% 的数字，例如血液中的酒精浓度。但在英语国家中，一般使用百分比来表达同样的数字。
eCPM 意味着在我们的游戏中，展示一千次广告，我们将获得多少收入。
例如，在微信小游戏平台中，一般的 eCPM 是 RMB10~30。而在 iOS 平台的休闲游戏中，一般的 eCPM 是 RMB200~300。
注意：上面的数据仅用于举例，随时可能根据时间和市场状况发生变化，没有参考价值。
流量主和广告主
在微信公众平台中，将在产品中展示广告以获取收益的一方称为 流量主，将投放广告获取流量的一方称为 广告主。
为了方便后面的叙事，我们也使用微信公众平台的这种叫法。
CPM 和 eCPM
CPM(Cost Per Mille) 代表每千次展示成本。
有了前面的名称统一，这里就很好解释 CPM 和 eCPM 的区别了：
CPM 与广告主的投入相关。
eCPM 和流量主的收入相关。
例如，SAGI GAMES 的某个游戏在微信广告平台投放广告，当时 CPM 若为 RMB80，那么若广告获得了一万次展示，SAGI GAMES 需要支付广告费 RMB800：
再如，曾嵘胡扯的地方 公众号中展示了微信公众号的广告，若微信公众号广告的 eCPM 为 RMB10，某篇文章获得了十万+访问，其中广告的有效展示次数是八万，那么该文章可以获取收益 RMB800：
当然，同一个主体可以即是 广告主 也是 流量主。这也是游戏行业的普遍情况。
曾嵘：
有时候人们也会将 RPM(Revenue Per Mille)和 eCPM 混用。大多数情况下，它们的含义都是很相近的。
eCPM 是如何计算出来的
对于 流量主 来说，eCPM 当然是越高越好。那么是什么影响了 eCPM 值？让我们来简单分解一下。
首先要了解几个概念，下面的概念均以游戏行业为例：
落地页 Landing Page：广告主用来展示自己的游戏产品，提供下载链接的网页。
点击率 CTR(Click Through Rate)：广告点击与广告展现的比率。即用户点击广告的次数，与广告展现次数的比值。在下面的公式中，我们使用 u' 表示点击率。
到达率：点击行为成功以后，用户被导向到 落地页，落地页成功打开的次数与广告点击次数的比率就是到达率。
转化率 CVR(Conversion Rate)：用户从落地页开始，进一步下载游戏并安装成功，被称为转化。转化次数与到达次数的比率就是转化率。
点击价值 Click Value：单次点击为广告主带来的收益。在下面的公式中，我们使用 v 来表示点击价值。
上图展示了从 广告页 -> 落地页 -> 转化页 的过程。
需要注意的是，为了提升转化率，绝大多数 iOS 平台上的广告落地页均为 AppStore 下载页面。上图中加入的落地页概念是为了方便理解更一般的流程。
在游戏行业，一般会更关注安装游戏后的首次打开操作。与网页访问即算作转化不同，下载游戏后的第一次打开才是真正的转化。
根据上面的讨论，有下面的公式：
注意：此处使用点乘而非叉乘，因为要将 u' 和 v 考虑成多次行为。
再靠近一点
广告的展示，对于流量主来说是收益，对于广告主来说是成本。我们将其简化为 r 。
r 与广告本身，广告用户，广告展示的阶段上下文均有关系。
曾嵘：
要了解广告展示的六个阶段，请阅读 计算广告的效果与技术 一文。
用 a 表示广告本身，用 u 表示广告用户，用 c 表示广告展示阶段的上下文。r 是 a, u, c 的函数。于是有下面的公式：
合并上面的两个公式：
计算广告的核心问题
计算广告的核心问题，是为一系列用户与上下文的组合找到最合适的广告投放策略，以优化整体广告活动的利润。
如果用 r 表示 总收入，用 q 表示广告主付出的 总成本，用 T 表示广告的 总展示次数，用 i 表示 某一次展示。那么有下面的公式：
从公式中可以看出，我们作为一个合格的广告主，永远应该追求 收入与成本之差（利润） 的最大值。
关于数学公式
写本篇之前，我一直在考虑是不是应该在文中包含数学公式。
最后，我认为学习的原始动力来自于好奇心，对于不熟悉的范畴要尽量去学习和理解。旺盛的好奇心，终生学习 也是 SAGI GAMES 的价值观之二。
而且，《计算广告》 这本书本就包含大量公式。放弃介绍公式，也无法讲清楚这本书的精髓。
数学公式是描述计算问题最准确的表达方式，用语言和文字描述会失去精准度。我也会尽量对原文中的公式进行精简和筛选，力求准确和易懂。
下面的提供了一些学习数学公式的连接，希望能帮助大家熟悉这些 科学的咒语。
参考文章
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数学符号表
咒语入门（数学符号入门）神经网络篇
咒语入门（数学符号入门）
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