论文推荐|何永红：干涉复小波复数域双变量滤波算法

    针对复小波双变量滤波模型仅考虑小波复系数实部，忽略了系数的虚部，导致信号相位噪声的增加而影响滤波效果的问题，提出基于复小波变换的复数域双变量模型干涉图滤波算法。该算法将双变量贝叶斯估计算法从实数域推广到了复数域，用噪声复系数概率密度函数刻画了小波复系数实部与虚部的相关性，根据小波分解复系数来估计噪声方差和信号方差，建立了复小波复数域双变量滤波模型，求得了干涉图复系数的贝叶斯估计。试验结果表明，本算法对干涉图噪声有较强的抑制能力，保留了干涉图的边缘及细节信息，滤波性能优于传统的实数域复小波双变量滤波、Goldstein滤波、单小波滤波和最优化融合滤波方法。

在InSAR数据处理中，干涉图的质量直接关系到数字高程模型的高程精度和地表形变监测^[]的精度，而干涉图往往受到热噪声、时空去相关、多普勒中心频率失相关^[]等因素的影响，含有大量噪声，因此有必要对干涉图相位滤波，为后续相位解缠以及保证地表形变监测精度奠定基础。目前，用于干涉图滤波的方法有很多种，现有的干涉图像滤波方法主要分为频率域滤波、空间域滤波和时频域滤波。经典频率域滤波为Goldstein滤波^[]，算法简单，得到了广泛应用。Goldstein算法虽然能滤除大部分噪声，但也会丢失大量边缘信息，给数字高程模型(DEM)和测量形变带来误差。文献[-]在Goldstein算法基础上又提出了改进算法，这些算法主要是调整了滤波因子，使干涉图滤波效果有所改善。空间域滤波有代表性的是Lee滤波。Lee滤波^[]通过局部解缠，估计中心像素邻域内的坡度并改善中心像素，但局部解缠计算复杂、费时且目视效果差。此外，空间域滤波还发展了复数空间自适应滤波^[]、最优方向融合滤波^[]、数学形态法^[]、EMD自适应滤波^[]等方法，文献[]在梯度计算时只考虑了水平和垂直方向，文献[]进行了改进，有更强的自适应性。文献[]的最优方向融合滤波结合相干性选择线性方向窗口滤波，增强了Lee算法的稳健性。数学形态法^[]在Lee滤波中进行膨胀腐蚀得到边缘，增强了边缘信息，但强噪区滤波效果有待提高。EMD自适应滤波^[]根据信号和噪声经验模态分解后表现的不同特征再进行自适应滤波，但尺度函数和IMF滤波个数的确定计算复杂。干涉图空间域和频率域滤波是以干涉相位的频率特性时不变或统计特性平稳为前提的，但实际干涉信号经常出现非平稳性^[]，因此对其进行空间域或频率域滤波时得不到理想的滤波结果，可以把空间域与频率域分析结合起来，采用时(空)频分析方法对干涉图进行滤波处理，以便于提高精度，增强滤波效果。目前时频分析滤波方法主要小波滤波方法等。文献[]提出矢量分离式小波软阈值滤波方法，能有效地保持干涉图中的相位信息。文献[]提出对各个方向高频系数对应方向的边缘位置先平滑后再作中值滤波，很好地保持了图像的边缘特征。文献[]提出采用小波维纳滤波对相位滤波，能更有效地滤除噪声，然其多次进行的小波维纳滤波，使滤波后的干涉图产生了块状效应。文献[]将双树复小波用于干涉图去噪，去除了噪声还保持了干涉图的细节纹理信息，但在滤波函数模型中没有考虑复小波系数为复数的情况，丢失了虚部信息，导致信号相位噪声的增加影响滤波效果。

本文用复小波进行干涉图滤波，有其特殊的优越性。首先文献[]已证明干涉相位噪声是加性的，而含加性噪声的干涉图经小波变换后，小波系数服从高斯分布，这决定了基于小波变换的干涉图滤波具有一定的优越性。其次是双树复小波(DC-CWT)除具有一般小波的优点外，还具有近似平移不变性、有限冗余性、良好的方向选择性和完全重构性等特点，具有提高精度和保留图像细节信息等优点，比实数小波滤波更有优势。

一种好的滤波方法除了变换的方法具备良好的性能外，还应该对变换系数有一个好的统计以及好的系数修改算法，而双变量贝叶斯估计算法正满足此要求。本文将复小波变换与双变量收缩函数相结合，给出了表达复噪声系数实部与虚部的相关性的概率密度函数，推导了复噪声系数概率密度函数、分解系数与其父节点系数的联合概率密度函数、复数域双变量收缩函数过程，给出了含噪信号小波复系数方差、噪声方差等，把双变量模型干涉图滤波函数模型从实数域推广到了复数域，得到了不错的效果。

复小波变换是通过两个或多个实小波变换平行对信号处理，一维双树复小波变换表示为^[]

对于二维双树复小波变换

本文提出的复小波域复数双变量模型干涉图滤波的步骤如下：

(1) 取干涉相位的实部和虚部进行双树复小波分解，每层分解为2个低频子带和6个高频子带，6个高频子带分别对应图像中的6个方向(±15°，±45°，±75°)的复系数。

(2) 对每一个尺度下的6个高频子带的复系数按照式(19)—式(22)进行如下步骤的处理：①计算各尺度下复系数子带的噪声标准差，其算法按照式(21)计算，然后计算噪声方差;②按式(20)计算出各尺度下含噪信号小波复系数的方差，窗口大小为7×7;③按式(22)计算出各尺度下原始影像小波复系数方差;④按式(19)进行复小波系数的收缩，得到高频复信号系数的估计。

(3) 进行复小波逆变换，得到去噪后的复系数并生成干涉图。

采用模拟干涉图比较，相当于知道干涉图的真值，可以更有效的判断本文算法的性能。为模拟干涉图各种方法滤波结果，其大小为592×592像素。Goldstein滤波的滤波参数根据经验选取为0.5，Sym4小波滤波、实数域复小波双变量滤波以及本文算法小波分解尺度皆为3层，实数域复小波双变量滤波(以下简称复小波双变量滤波)只考虑了小波复系数的实部，未考虑虚部，以便于与本文算法比较。其中采用的噪声方差、信号方差估计、双变量收缩函数只考虑复数的实部;该方法考虑了干涉图的相干性。从目视效果看，Goldstein滤波、复小波双变量滤波去噪效果不理想，去噪不均匀，部分区域存在大量噪声，局部地区的细节信息淹没在噪声中;最优化融合方向滤波和Sym4小波滤波去噪效果较好，去除了大部分噪声，细节信息保持较好，但在局部地区还存在明显的噪声斑点;复小波双变量滤波与本文算法相比，复小波双变量滤波由于忽略复小波系数的虚部，未考虑实部与虚部的相关性，导致信号相位噪声的增加影响滤波效果。本文算法考虑了复小波分解后小波系数虚部对干涉图的影响，整体去噪平滑，不存在明显噪声斑点，且细节信息保持良好，与未含噪相位图即真实值相接近。

模拟干涉图滤波结果

模拟干涉图滤波结果第510行剖面图

     本文提出了复数域双变量模型干涉图滤波算法，该算法具有以下特点：①将复小波的双变量去噪模型从实数域推广到复数域，考虑了复数的实部与虚部对信号方差、噪声方差的影响，建立了复小波复数域双变量模型;②从干涉图滤波结果可以看出，二维双树复小波具有的多方向选择性，可提高图像滤波的精度和保留图像细节信息如边缘等，单小波由于缺乏平移不变性在信号突变点附近存在较大的震荡，而复小波由于具有的平移不变性使信号更为平滑;③对各种方法的滤波结果研究对比表明，无论是从目视效果还是定量评价指标来看，本文方法优于其他方法，残差点减少率高达90%以上，均方误差更小，更接近于真实值，达到了滤波的目的。

基金项目：国家自然科学基金(41274010; 41474008); 湖南省自然科学基金(14JJ2131)

第一作者简介： 何永红(1978—)，女，博士生，副教授，研究方向为遥感数据处理及应用。

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