论文推荐|赵俊：部分变量误差模型的整体抗差最小二乘估计

     部分变量误差模型(partial EIV model)的加权整体最小二乘(weighted total least-squares, WTLS)估计不具备抵御粗差的能力。鉴于粗差可能同时出现在观测值和系数矩阵中，本文在提出部分变量误差模型WTLS估计的两步迭代解法的基础上，运用抗差M估计的等价权方法，发展了一种整体抗差最小二乘(TRLS)估计方法，并采用一致最大功效统计量确定降权因子。针对WTLS估计两步迭代解法的特点，设计了两个不同的降权方案：第1个方案是在估计系数矩阵元素时，不对观测值降权，仅对系数矩阵降权；第2个方案是在估计系数矩阵元素时，既对系数矩阵降权，同时也对观测值降权。通过对模拟2D仿射变换和线性拟合实例进行计算和分析，结果表明第1方案优于第2方案，并且优于基于残差和验后单位权方差的抗差估计和现有的变量误差模型抗差估计。

最近几年，作为变量误差模型(errors-in-variables,EIV)的参数估计方法，整体最小二乘(total least-squares,TLS)或加权整体最小二乘(weighted TLS,WTLS)方法在大地测量领域获得了广泛关注^[, ]，但大多数学者的工作主要集中于WTLS估计的算法研究^[-]。WTLS估计是在一般的变量误差模型中引入观测误差和系数矩阵误差的方差-协方差矩阵的参数估计方法^[]。事实上，变量误差模型中并不是所有的系数矩阵元素都是随机的。例如，在坐标变换中，一些元素不含误差，可以认为是固定的，而另外一些元素则是由观测值所组成的，可以认为是随机的。顾及这一事实，通常考虑的变量误差模型被推广到更一般的部分变量误差模型^[]。部分变量误差模型的WTLS估计方法，其优势在于不用拉格朗日乘子且法方程未知参数的个数大大减少，因而获得了更多关注^[, ]。但是，WTLS估计与经典的LS估计一样，对粗差很敏感，不具有抵御粗差影响的能力^[-]。

如何有效地处理观测数据中的粗差一直是测量领域关注和研究的热点^[, ]，抗差估计是一种处理粗差的有效方法，并且针对Gauss-Markov模型的抗差估计成果较多^[-]。虽然针对变量误差模型，文献[-]提出了为数不多的几个抗差估计，但这些估计均采用残差和验后单位权方差确定降权因子，易受粗差的影响，进而影响其抗差功效。由于部分变量误差模型的系数矩阵也可能含有粗差，所以经典的抗差估计方法并不能直接应用于部分变量误差模型，更为有效的方法值得研究。为此，本文将在提出部分变量误差模型WTLS估计的两步迭代解法的基础上，运用抗差LS估计的等价权方法，提出一种整体抗差最小二乘(TRLS)估计方法，并构建一致最大功效统计量确定降权因子。针对WTLS估计两步迭代解法的特点，设计两个不同的降权方案：第1方案是在估计系数矩阵元素时，不对观测值降权，仅对系数矩阵降权;第2方案是在估计系数矩阵元素时，既对系数矩阵降权，同时也对观测值降权。

各方案计算得到的变换参数估值与参考值之间的欧氏距离(单个粗差情形)

单位权方差的估值(单个粗差情形)

(1) 部分变量误差模型的WTLS估计同LS估计一样，对粗差很敏感，即抗差性能很差。

(2) 提出了部分变量误差模型WTLS估计的一种两步迭代解法，该解法的计算公式均是在LS框架下推导得到的，具有易于理解和可操作性强等特点，为构建部分变量误差模型的整体抗差估计奠定了基础。

(3) 利用部分变量误差模型的两步迭代解法，构建了与抗差LS估计相类似的TRLS解式，保持了传统的数据处理方式，并构造了一致最大功效统计量以确定降权因子，其中未知的单位权方差可采用具有高崩溃污染率的LMS方法进行估计。

(4) 结合部分变量误差模型两步迭代解法的特点，设计了两个降权方案：第1个方案是在估计系数矩阵元素时，不对观测值进行降权，仅对系数矩阵降权，而第2个方案则是在估计系数矩阵元素时对观测值和系数矩阵同时降权。

(5) 2D相似变换模拟算例的计算结果表明，单个粗差情形下两种不同降权方案的TRLS估计均具有一定的抗差能力，但方案1的抗差功效更优。多个粗差情形下，方案2的TRLS估计基本上不具有抗差性。因此，处理部分变量误差模型中的粗差时，应采用方案1的TRLS估计。线性拟合实测数据的计算结果表明本文方法优于现有变量误差模型的抗差估计方法。

(6) 需要注意的是，统计量(式(20)、式(21))并非严格意义上的一致最大功效统计量，因此，部分变量误差模型的整体抗差估计及其算法值得进一步研究。

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