论文推荐|沈敬伟：面向带洞面状对象间的拓扑关系描述模型
为研究带洞面状对象间的拓扑关系，提出了一种25IM(25交集模型)。以点集拓扑理论为基础，对带洞面状区域的内部、边界和外部进行定义。分析了9IM(9交集模型)在表达带洞面状对象间拓扑关系方面存在的问题，将带洞面状对象分为内部、外边界、内边界、外边界外部、内边界外部共5部分，提出了一种5×5的矩阵模型，即25IM。基于点集拓扑理论，定义了8条规则来排除不符合逻辑的拓扑关系。基于25IM，对8种基本拓扑关系：相离、相接、重叠、覆盖、包含、相等、被覆盖和被包含，进行细分描述。结果表明，本文提出的25IM能够更为详细地表达带洞面状对象间的拓扑关系。
拓扑关系是指拓扑变换下的拓扑不变量，对于空间数据处理和空间分析具有重要的意义。拓扑关系描述方法一直是国内外研究的热点。目前，拓扑关系描述主要有基于逻辑的公理化拓扑理论和传统的数学拓扑两大类方法，其中最有代表性的是RCC(区域连接演算)形式化模型[-]和4IM(四交集模型)/9IM(九交集模型)[-]，另外还有许多学者提出的改进方法[-]。其中，点集拓扑法建立在点集拓扑理论基础之上，具有简洁和完备的特点，并且具有维度无关性，广泛应用于拓扑关系描述。
空间带洞面状对象是一类常见的空间对象，其拓扑关系描述方法也有一些成果。4IM/9IM区分了8种面/面拓扑关系[-]，基于Voronoi图的拓扑关系描述模型区分了18种面/面拓扑关系[]，虽然上述3种拓扑关系模型能够区分一些拓扑关系，但是对带洞拓扑关系的描述仍不够详细，基于Voronoi图的拓扑关系描述模型还存在计算相对复杂的问题。文献[]将空间带洞对象A和B的拓扑关系描述为：A的整体和B的整体、A的整体和B的每一个洞、A的每一个洞和B的整体、A的每一个洞和B的每一个洞之间的拓扑关系，然而，对于具有多个空洞的对象，该方法较为复杂。此外，简单面目标与带孔洞面目标间的拓扑关系[-]、带双洞区域与简单区域间的拓扑关系[-]、凹形区域和带单洞区域间的拓扑关系的拓扑关系[]、双嵌套区域与简单区域间的拓扑关系[]、互相包含洞的区域与简单区域间的拓扑关系[]，也有一些研究进展。然而，上述研究限制了洞的个数，并没有针对带任意多个洞的面状对象。文献[]提出了一种扩充矩阵的维数，研究内部带有空洞的复杂不确定区域间的拓扑关系，但是并没有证明拓扑关系完备性。文献[19-20]提出了D9交集模型，研究带洞面状对象之间拓扑关系，然而，D9交集模型需要反复编码和解码，较为复杂。
综上所述，空间带洞面状对象之间的拓扑关系描述已经有一些研究成果，但是仍存在拓扑关系描述不够详细、拓扑关系描述和计算复杂度较高等诸多问题。为此，本研究针对带任意多个洞的面状对象之间的拓扑关系描述问题展开论述。
基于点集拓扑理论，给出拓扑空间给定集合的内部、外部和边界的定义[]。
定义1：设X是一个拓扑空间，A⊂X。如果A是点x∈X的一个邻域，即存在X中的一个开集V使得x∈V⊂A，则称点x是集合A的一个内点。集合A的所有内点构成的集合称为集合A的内部，记为Ao。
定义2：设X是一个拓扑空间，A⊂X。点x∈X，如果满足条件：在x的任何一个邻域U中，U∩A=φ，则称x是集合A的一个外部点。集合A的全体外部点构成的集合称为集合A的外部，记为A－。
定义3：设X是一个拓扑空间，A⊂X。点x∈X，如果满足条件：在x的任何一个邻域U中既有A中的点又有A－中的点，即既有U∩A≠φ又有U∩A－≠φ，则称x是集合A的一个边界点。集合A的全体边界点构成的集合称为集合A的边界，记为∂A。
带洞面状对象为二维空间中的平面，有1个外边界、0到多个内边界组成，每个内边界形成面上的空洞，组成面的任何两个边界都不相交。边界用环来表达，其中，外边界称为外环，内边界称为内环。基于点集拓扑理论，描述了带洞面状对象的内部、边界和外部()。
带洞面状对象的内部、边界和外部
本研究涉及的带洞面状对象可以包含多个洞，且满足以下性质。
性质1：带洞面状对象是一个二维连通闭子集，其内部为内边界和外边界之间的区域。
性质2：带洞面状对象的内环严格在外环的内部，即内环的边界与外环的边界不能出现相交、相切或者包含等情况。
性质3：带洞面状对象的内环之间不相交。
无效的带洞面状对象
简单面/面空间拓扑关系描述
本文基于点集拓扑理论，提出了一种25IM，对带洞面状对象的拓扑关系进行描述。研究结果表明：①相对于9IM，25IM模型能够区分更多的拓扑关系类型；②提出的8种拓扑关系规则，能够用于排除不符合逻辑的拓扑关系；③基于25IM，对8种基本拓扑关系进行细分描述，进一步验证了25IM的描述能力。
本文研究的下一步工作是将25IM应用于带洞面状对象间的拓扑关系查询、计算、推理等方面，进一步验证和改进25IM模型。此外，基于25IM研究带洞体状对象间的拓扑关系也是下一步的工作重点。
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西南大学地理科学学院，重庆 400715
收稿日期：2015-07-06； 修回日期：2016-01-06
基金项目：国家自然科学基金(41301417)；重庆市基础与前沿计划(cstc2014jcyjA20017)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(XDJK2015B022)
第一作者简介： 沈敬伟(1984-)，男，博士，副教授，硕士生导师，研究方向为空间关系理论、空间数据挖掘等。
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