论文推荐 | 祝会忠, 雷啸挺, 徐爱功, 等. 顾及GEO卫星约束的长距离BDS三频整周模糊度解算
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本文内容来源于《测绘学报》2020年第9期，审图号GS（2020）4848号。
祝会忠
辽宁工程技术大学测绘与地理科学学院, 辽宁 阜新 123000
基金项目：国家重点研发计划（2016YFC0803102）；辽宁省重点研发计划（2020JH2/10100044）；国家自然科学基金（41904037）
摘要：长距离BDS三频载波相位整周模糊度解算受大气误差残余的影响较大，GEO卫星相对于地球静止也非常不利于载波相位整周模糊度的解算。利用GEO卫星的信号传播路径相对较稳定、大气延迟误差的影响不随卫星空间位置变化的特点，对GEO卫星进行更符合实际情况的大气延迟误差约束研究。利用GEO卫星B2和B3载波相位整周模糊度线性关系，降低测站差分电离层延迟误差残余对模糊度备选值的影响，进行B2和B3载波相位整周模糊度备选值的选择。通过三频载波相位整周模糊度间不包含观测误差影响的线性关系对模糊度备选值组合进行检测，并对模糊度搜索空间进行约束。利用历元间GEO卫星的模糊度备选值判断历元间电离层延迟误差残余的变化，对GEO卫星的参数估计进行更符合实际情况的约束。研究了顾及GEO卫星实际大气延迟变化和整周模糊度约束的长距离BDS三频载波相位整周模糊度解算方法。提出了利用历元间模糊度备选值确定电离层延迟约束值的方法，对GEO卫星历元间随机游走的约束值进行符合实际情况的调整。试验结果表明，本文的方法能够提高三频载波相位整周模糊度解算的效率和测站位置的精度。
关键词：GEO卫星 载波相位整周模糊度 电离层延迟误差 对流层延迟误差 长距离
我国自主研发和具有独立自主产权的北斗卫星导航系统是目前全球唯一一个全星座播发三频观测数据的卫星导航定位系统[1]。为了增强亚太地区的卫星观测条件，BDS采用了GEO卫星，提高区域卫星可见性。由于GEO和IGSO的高轨道特性使其区域可见性优于MEO，能增加观测时段内的卫星数，对增强区域导航性能非常有利，增大了卫星几何强度，提高了用户定位的效率和性能[2]。BDS高精度实时定位需要使用载波相位观测值，其中关键是载波相位整周模糊度的准确确定。但在长基线情况下，与空间相关的观测误差影响载波相位整周模糊度的准确解算。
BDS星座特点和全星座播发三频观测数据有别于GPS，GPS模糊度解算方法不能完全应用于BDS的数据处理，BDS的三频观测数据有助于载波相位整周模糊度的解算[3-4]。三频观测数据改善了观测值的冗余度，有利于提升载波相位整周模糊度的解算性能和效率[5-6]。GPS和BDS长基线多频载波相位整周模糊度解算方面的研究成果较多[7-17]。文献[7]分析了长基线BDS三频信号测距码偏差对模糊度解算的影响；文献[9]提出了一种顾及电离层延迟影响并具有良好自适应抗差特性的改进TCAR算法；文献[10]提出了GNSS网络RTK长距离基线载波相位整周模糊度解算方法；文献[11]介绍了长距离GPS参考站网载波相位整周模糊度单历元的确定，分析了长基线整周模糊度确定的误差影响；文献[12—13]研究了中长距离参考站网的BDS多频载波相位整周模糊度解算方法，对BDS多频载波相位整周模糊度解算的数学模型进行了介绍。以上研究成果对多频载波相位整周模糊度解算和长基线载波相位整周模糊度解算，以及长距离情况下误差残余的影响进行了详细的介绍。GEO卫星的轨道高度较高且具有静地几何特性的特点增加了轨道确定和预报的难度，卫星轨道精度较低，观测卫星的几何构型变化较慢，对多历元的载波相位整周模糊度解算不利。GEO卫星提高了BDS在我国及周边地区的定位导航能力，然而定位能力的提高仅限于精度较低的伪距定位。对于高精度定位来说，观测模型中整周模糊度的存在使得模型存在病态性，病态性的减弱是通过卫星与测站间的几何构型变化实现的。对于高轨的GEO和IGSO卫星，角速度较慢，GEO卫星尤为严重。因此当GEO/IGSO/MEO联合应用于高精度定位时，其定位方程的病态特性是必须首先分析的问题。
长距离BDS三频载波相位整周模糊度和位置参数解算需要考虑大气延迟误差的影响，首先建立附加大气延迟误差参数的BDS长距离多频载波相位参数估计模型，对流层延迟误差和电离层延迟误差采用历元间随机游走的方式进行约束，约束值的大小一般采取经验公式和先验值，模糊度固定通常会受到短期内电离层不平稳波动的影响[18]，使得采用经验公式和先验方差的情况无法适应电离层的这种短期变化特征，难以捕捉实际电离层活动的空间和时间变化，与实际值不符[19]。如果识别出的大气约束条件过大，超过了实际值，会降低大气参数估计的有效性。而过于严格的大气约束会干扰模糊度固定，导致解的不正确[20]。因此，采用符合实际情况的约束值是加快模糊度收敛速度的关键。GEO卫星的信号传播路径相对于MEO卫星和IGSO卫星较稳定，其大气延迟误差主要的影响是时变因素，使得GEO卫星短时间内大气延迟误差变化相对较小，更容易进行大气延迟误差的紧密约束。GEO卫星B2和B3载波相位整周模糊度线性关系受电离层延迟误差较小，可以选择载波相位模糊度备选值，约束模糊度的解算。同时通过相邻历元B2和B3载波相位整周模糊度备选值来确定GEO卫星电离层约束的大小，进行更符合实际情况的GEO卫星大气参数约束。
长距离BDS高精度定位采用站间差分方式得到单差观测值，电离层延迟误差和对流层延迟误差的残余影响较大，必须考虑其对整周模糊度解算和定位的影响，则BDS伪距和载波相位观测方程为
式中，Δ表示单差操作；P为伪距观测值；Φ为载波相位观测值；ρ是站星间几何距离，包含测站位置参数；t是接收机钟差，为参考站和测站接收机钟差的合并项；Bi和Di是接收机的伪距和相位硬件延迟，为参考站和测站的接收机硬件延迟合并项；N是以周为单位的整周模糊度，吸收了接收机的初始相位偏差；λ为载波相位的波长；T表示对流层延迟误差和轨道误差，以对流层延迟误差为主；I表示电离层延迟误差；ε为观测噪声；下标i表示不同频率，i=1、2、3，B1、B2、B3频率分别为f1=1 561.098 MHZ、f2=1 207.140 MHZ、f3=1 268.520 MHZ[3]。
在长距离载波相位定位参数解算时，大气延迟误差无法通过差分方式进行完全消除，需要附加未知的大气延迟误差参数进行估计。采用天顶对流层延迟误差和投影函数表示对流层延迟误差[21-23]，对于参考站A的天顶对流层延迟ZTDA和测站B天顶对流层延迟ZTDB，测站间对流层延迟误差可表示为
式中，m为测站单颗卫星对流层延迟误差的投影函数[24-25]，测站间距在300 km左右或更短时，相邻测站共视卫星的投影函数mA、mB数值相差较小。所以(mA－mB)·ZTDB项可以忽略，则有
式中，RZTD为相对天顶对流层延迟误差。式(1)、式(2)中还存在接收机钟差合并项、接收机硬件延迟合并项及接收机的初始相位偏差，从当前历元n颗卫星当中选择一颗卫星k作为基准，则卫星s与卫星k的解算三频载波相位整周模糊度、相对天顶对流层延迟误差、电离层延迟误差残差参数估计模型为
式中，上标表示卫星，b=[1 －1]T，X是位置参数；a是位置参数的系数矩阵；m是测站相对天顶对流层的系数；I是B1的电离层延迟误差；N1、N2、N3分别为三频整周模糊度向量；Lϕ1、Lϕ2、Lϕ3分别为载波相位观测值对应的已知向量；LP1、LP2、LP3分别为伪距观测值对应的已知向量；根据当前历元n颗卫星，可以得到n-1个公式(8)，消除了接收机端的钟差。整周模糊度和误差残余参数仍是站间单差的形式，以单颗卫星为对象有利于大气延迟误差的约束，同时方便模糊度解算过程中基准卫星变换的操作。GEO/IGSO/MEO卫星的运行角速度不一致，而且同类卫星之间的卫星信号传播路径差异较大，以单个卫星为对象便于大气误差残余的约束。站间差分载波相位观测值的模糊度作为参数进行估计，需要确定一个模糊度基准，采用初始历元高度角较高的卫星k的模糊度作为基准，基准模糊度数值使用初始历元伪距观测值计算。伪距观测方程中包含有与载波相位观测方程中大小相等，符号相反的电离层延迟参数，与载波相位观测方程相同的对流层延迟参数，可加强对测站差分电离层延迟误差残余和对流层延迟误差参数的约束。因伪距观测方程噪声较大，采用和载波相位观测方程1:100的权重，进行法方程叠加后可以对参数进行估计。为避免法方程的奇异性和增强定位解的强度，将对流层和电离层的先验约束作为附加观测值，来表示大气误差随时间的随机游走过程变化，进行大气误差的随机游走约束[26-27]，对天顶对流层延迟误差和电离层延迟误差历元间随机游走的约束为
式中，w(tk)、ψ(tk)为tk到tk+1时刻对流层延迟误差和电离层延迟误差的变化值，qT和qI为相应对流层延迟误差和电离层延迟误差参数的功率谱密度，天顶对流层延迟误差和电离层延迟误差历元之间约束采用随机游走过程的方式[20]。
对流层延迟误差和电离层延迟误差参数，通过历元间随机游走约束的形式将当前历元的大气延迟参数信息传递到下一个历元，以便与下个历元的大气延迟参数进行叠加。在进行两个历元的法方程叠加之后，采用消参算法消去上一个历元的大气延迟误差参数，将本历元的大气延迟误差参数和法方程传递至下一历元。
2.1 GEO卫星三频整周模糊度的约束
忽略载波相位观测噪声，由式(2)可得三频载波相位观测方程为
根据GEO卫星三频载波相位观测方程，进一步挖掘条件约束三频载波相位观测值的参数估计。式(5)采用了卫星k作为基准，引入卫星k的基准模糊度之后，模糊度解算过程中的观测值实际上为双差观测值，因此整周模糊度解算和约束过程消除了硬件延迟的影响。将式(8)和式(9)相减，消除了对流层延迟误差、卫星轨道误差、测站位置参数。观测方程中仅剩测站间差分电离层延迟误差的残余影响，则有
将式(9)和式(10)相减，经过变换有
因为B2与B3频率接近，式(12)中电离层延迟误差残余的系数约为0.094，能够缩小站间差分电离层延迟误差残余的影响。通过变换消除式(11)和式(12)中的电离层延迟误差残余，可得B1、B2、B3频率载波相位整周模糊度间的整数线性关系
式中,
利用式(12)、式(13)中模糊度具备整数特性的限制，增加对三频模糊度备选值搜索空间的约束，提高模糊度搜索效率。IGSO/MEO卫星也可推导出类似式(11)—(13)的三频载波相位整周模糊度线性关系，并且受电离层延迟误差残余的影响。但三类卫星的大气延迟误差变化路径不同，IGSO/MEO卫星大气延迟误差残余随空间位置变化相对较快，多历元载波相位整周模糊度解算时对三频整周模糊度的约束效率大大低于GEO卫星，因此，本文主要是顾及GEO卫星的约束进行三频整周模糊度解算。
式(11)和式(12)中的模糊度为整数，描述了ΔN1和ΔN2整数模糊度备选值、ΔN2和ΔN3整数模糊度备选值之间的线性整数关系。在长距离情况下电离层延迟误差的残余影响较大，式(11)电离层延迟误差残余项的系数约为0.672 4，而式(12)中电离层延迟误差残余项的系数约为0.094倍，能够更好地对ΔN2和ΔN3整数模糊度备选值进行约束。利用法方程估计三频载波相位整周模糊度参数得到的模糊度浮点解和方差确定模糊度搜索空间，通过该式在这个模糊度搜索范围内选取有效的ΔN2和ΔN3整周模糊度备选值，即选择满足式(12)约束的ΔN2和ΔN3整周模糊度备选组合。判断模糊度备选值的依据是双频模糊度整数值带入式(12)之后能够满足线性关系的约束。式(12)误差残余影响越大，则线性关系的约束能力越小，模糊度整数备选值之间的变化间隔越小，反之，模糊度整数备选值之间的变化间隔越大。通过线性关系选择B2/B3载波相位整周模糊度备选值的示意图如图 1所示，各坐标轴以周为单位。
| 图 1 B2/B3载波相位整周模糊度备选值的线性关系 Fig. 1 The linear relationship between B2 and B3 carrier phase ambiguity candidates |
图选项 |
长距离测站间电离层延迟误差有一定的空间相关性，一般在0.094倍站间差分电离层延迟误差残余影响下，也可利用式(12)选择出B2和B3整周模糊度备选组合。确定了B2和B3的整周模糊度备选值组合，就可以根据式(13)判断出是否有B1整周模糊度的整数备选值与之对应。由于式(13)表示的线性关系式中不包括电离层延迟误差(一阶项)和对流层延迟误差、卫星轨道误差的影响，因此正确的三个模糊度备选值组合满足该式的约束。通过式(13)的整数线性关系选择三频载波相位整周模糊度备选值的示意图如图 2所示，各坐标轴以周为单位。
| 图 2 B1/B2/B3载波相位整周模糊度备选值的线性关系 Fig. 2 The linear relationship between B1、B2 and B3 carrier phase ambiguity candidates |
图选项 |
在B2和B3整周模糊度备选值的搜索空间中，式(12)选择的B2和B3整周模糊度备选值可能是多组。将B2和B3整周模糊度备选组合代入式(13)，如果有与之对应的B1模糊度整数备选值，则该组B2和B3整周模糊度备选组合和对应的B1整周模糊度备选值被确定为模糊度的搜索空间。但如果模糊度搜索范围较大，则有可能出现满足式(12)和式(13)的三频模糊度备选值不是正确的模糊度，而所有满足两个线性关系的三频模糊度备选值全部进入模糊度搜索范围中。因为这些模糊度的备选值之间有整周间隔，能够改进三频载波相位模糊度搜索空间。在法方程解算和搜索的基础上，该模糊度搜索空间的使用有利于GEO卫星载波相位模糊度的搜索和确定。
2.2 GEO卫星整周模糊度备选值调整后的大气参数约束
在长距离BDS载波相位参数解算模型中，在符合大气延迟误差实际变化的前提下，大气延迟误差的约束越紧，越有利于参数的估计。测站观测GEO卫星的信号传播路径和几何构型变化较小，对多历元三频载波相位整周模糊度解算非常不利。但是GEO卫星相对于MEO和IGSO卫星的信号传播路径较稳定，其大气延迟误差的主要影响是时变因素，而短时间内的大气延迟误差变化相对较小，有利于进行GEO卫星大气延迟误差的约束。
GEO卫星信号传播路径误差特点与IGSO和MEO不同，大气延迟参数估计中进行区别考虑，对于GEO卫星，解算三频载波相位整周模糊度、测站间差分对流层延迟误差和电离层延迟误差残余的观测方程为
式中，g表示GEO卫星，其他符号与式(5)相同，与式(5)不同的是不使用投影函数和相对天顶对流层延迟误差表示对流层延迟误差参数，直接对传播路径上的站间差分对流层延迟误差参数进行估计。并与IGSO和MEO卫星参数估计模型联合进行参数估计。因为大气延迟误差残余参数和模糊度参数是以卫星为对象的测站间单差形式，可单独以GEO卫星为对象进行大气延迟误差约束，因此GEO卫星的基准星选择可以与式(5)相同。GEO卫星短时间内大气延迟误差变化相对较小，更容易进行大气延迟误差的紧密约束。短时间内GEO卫星的站间差分对流层延迟误差参数可以进行强约束，改善GEO卫星几何构型不变带来的负面影响。在当前历元进行三频载波相位整周模糊度解算，模糊度搜索空间通过整周模糊度参数的方差和浮点解确定，并进行模糊度搜索和确定。
没有周跳发生时，相邻历元之间的式(12)对B2和B3模糊度的约束十分接近，相邻历元间或者短时间内各历元的式(12)对模糊度备选值的选择能力相似，影响各历元线性关系约束能力的是电离层延迟误差残差。一个较短的观测时段内相邻历元的模糊度备选值组合如果相同，则说明历元之间电离层延迟误差的残差十分接近，对电离层延迟误差参数附加强约束。如果不能通过式(12)和式(13)获得满足约束的三频模糊度搜索空间，而在相同的模糊度搜索空间中，相邻历元式(12)选择B2和B3模糊度备选值组合如果相同，则仍能够说明相邻历元的电离层残余一致，可对电离层延迟误差参数进行强约束，加快模糊度和其他参数的求解速度。对于IGSO和MEO卫星可以采用式(12)和式(13)对模糊度备选值进行约束和选择，如果能够选择出有效的三频模糊度备选值，即能提高模糊度搜索的效率。同时也可以利用历元之间的模糊度备选组合对电离层延迟误差参数进行判断，改进电离层延迟误差参数的约束。理论上，在符合大气延迟误差实际变化的情况下，大气延迟误差的约束越紧，越有利于待估参数的估计。历元间的观测时间间隔越小，越能反映实际的电离层变化情况，估计精度将越高，但是随着附加参数的增多，方程解算的强度降低，过多的参数还可能导致方程的病态。因此，短时间内对GEO卫星站间差分对流层延迟误差残差和电离层延迟误差残余的强约束，有利于三频载波相位整周模糊度的解算。
3.1 试验数据
利用长距离实测BDS三频观测数据和广播星历进行算法试验，基线长度都超过100 km，数据采样间隔为1 s，试验数据的信息如表 1所示。为了分析本文算法在模糊度收敛速度及在定位精度上的提升，与采用经验值的随机游走定位算法进行比较，从采用经验值的大气参数约束试验、GEO卫星整周糊度备选值的选择与大气延迟误差的关系、GEO卫星整周模糊度备选值约束的解算试验进行分析。
表 1 试验数据Tab. 1 Test data
| 试验数据 | 基线长度 | 观测时间 | 地点 | 采样间隔/s | 时段长度/h |
| 基线1 | 160 km | 2017-08-06 | 辽宁 | 1 | 8 |
| 基线2 | 110 km | 2017-08-06 | 辽宁 | 1 | 7 |
| 基线3 | 170 km | 2020-06-10 | 黑龙江 | 1 | 8 |
| 基线4 | 103 km | 2020-04-28 | 浙江 | 1 | 6 |
表选项
3.2 采用经验值的大气参数约束试验
将4组试验数据分成1 h观测时长的数据段，每个数据段从起始历元开始进行三频载波相位模糊度和未知参数的解算，以验证模糊度解算和定位的效率。按照式(5)的参数估计模型对三类卫星不做区分进行参数估计，都使用相对天顶对流层作为未知参数，并采用随机游走方式对历元间的相对天顶对流层参数和测站间差分电离层延迟误差参数进行约束。对流层和电离层参数的功率谱密度按照经验值设为
| 图 3 基线1定位偏差 Fig. 3 The bias of positioning for baseline 1 |
图选项 |
| 图 4 基线3定位偏差 Fig. 4 The bias of positioning for baseline 3 |
图选项 |
从图 3、图 4可以看出三频载波相位整周模糊度解算的速度较慢，模糊度解算固定的收敛时间较长，最长的收敛时间接近2000个历元。模糊度固定之后平面定位精度能够达到厘米级，但是高程方向定位精度不稳定。虽然通过随机游走约束方式能实现三频载波相位模糊度的解算和长距离测站间的差分定位，但三频载波相位整周模糊度解算效率和定位精度较低。
3.3 GEO卫星整周糊度备选值的约束
利用GEO卫星的轨道特点进行有别于IGSO和MEO卫星的大气延迟误差约束方式，能够利用GEO卫星的特点，克服GEO卫星相对于地球静止的缺点。通过式(12)在已有的模糊度搜索空间中选择模糊度备选值，并利用历元间的模糊度备选值判断电离层延迟误差残余的时间变化情况，以对测站间电离层延迟误差参数进行约束。通过式(13)判断B2和B3整周模糊度备选组合是否正确，以形成更有效的三频载波相位整周模糊度搜索空间。以基线1前两个历元为例，对GEO卫星的三频载波相位模糊度备选值进行约束，其中C01第1个历元B2/B3载波相位整周模糊度备选值的选择如图 5，横轴为B2整周模糊度备选值，纵轴为B3整周模糊度备选值，各坐标轴以周为单位。在法方程估计之后得到的三频模糊度搜索空间中，确定满足式(12)的B2/B3整周模糊度备选组合。将直线关系附近的B2模糊度备选值所对应的B3模糊度备选值代入式(12)，能够满足整数线性关系约束的B2/B3模糊度备选值才是有效的模糊度备选组合。图 5中灰色点即为满足线性整数关系约束的模糊度备选组合。当前历元GEO卫星整周模糊度备选值见表 2。
| 图 5 B2/B3载波相位整周模糊度备选值的选择 Fig. 5 The selecting of B2/B3 carrier phase ambiguity candidates |
图选项 |
表 2 第1、第2个历元B2/B3模糊度备选值Tab. 2 The ambiguity candidates of B2/B3 on first and second epoch
| 历元 | 卫星 | 双频整周模糊度备选组合 | 历元间电离层残余差值/m |
| 第1历元 | C01 | -30/-26、-25/-22、-20/-18、-15/-14、-10/-10 | - |
| C02 | -17/-17、-13/-14、-9/-11、-5/-8、-1/-5、3/-2 | - | |
| C03 | -11/-10、-6/-6、-1/-2、4/2、9/5、14/9 | - | |
| C04 | 9/-15、14/-14、18/-9、23/-5、28/-1、33/3 | - | |
| C05 | -25/-17、-20/-13、-15/-9、-10/-4、-5/0、0/4 | - | |
| 第2历元 | C01 | -30/-26、-25/-22、-20/-18、-15/-14、-10/-10 | 0.003 |
| C02 | -17/-17、-13/-14、-9/-11、-5/-8、-1/-5、3/-2 | 0.007 | |
| C03 | -11/-10、-6/-6、-1/-2、4/2、9/5、14/9 | 0.002 | |
| C04 | 9/-15、14/-14、18/-9、23/-5、28/-1、33/3 | 0.005 | |
| C05 | -25/-17、-20/-13、-15/-9、-10/-4、-5/0、0/4 | 0.001 |
表选项
从表 2中可知前两个历元C01到C05的B2/B3模糊度备选值完全一致。根据整数模糊度备选值完全一致的信息，利用式(12)获得历元间测站差分之后电离层延迟误差的差值，即电离层变化信息，并作为约束条件添加到三频载波相位模糊度和未知参数解算的法方程中。根据式(12)选取B2/B3载波相位整周模糊度备选值组合，并逐一代入式(13)，判断模糊度备选值的依据是双频模糊度整数值能够满足式(13)的约束，即能否获得B1模糊度的整数备选值。各卫星的B2/B3整周模糊度备选值对应的B1整周模糊度备选值见表 3。
表 3 三频整周模糊度备选值Tab. 3 The ambiguity candidates of B1/B2/B3
| 历元 | 卫星 | 式(13)对应的三频模糊度备选值(B1/B2/B3) | 式(13)检验的B1模糊度及残差 |
| 第1历元 | C01 | -29/-25/-22、-20/-15/-14 | -29/0.021、-20/0.015 |
| C02 | -18/-13/-14、-11/-5/-8、-4/-3/-2 | -18/0.03、-11/0.028、-4/0.029 | |
| C03 | -8/-6/-6、1/4/2、10/14/9 | -8/0.027、1/0.027、10/0.028 | |
| C04 | 15/14/-14、23/23/-5、31/33/3 | 15/0.019、23/0.022、31/0.021 | |
| C05 | -31/-25/-17、-22/-15/-9、-13/-5/0 | -31/0.02、-22/0.017、-13/0.023 | |
| 第2历元 | C01 | -29/-25/-22、-20/-15/-14 | -29/0.017、-20/0.022 |
| C02 | -18/-13/-14、-11/-5/-8、-4/-3/-2 | -18/0.031、-11/0.027、-4/0.030 | |
| C03 | -8/-6/-6、1/4/2、10/14/9 | -8/0.026、1/0.027、10/0.026 | |
| C04 | 15/14/-14、23/23/-5、31/33/3 | 15/0.021、23/0.033、31/0.021 | |
| C05 | -31/-25/-17、-22/-15/-9、-13/-5/0 | -31/0.023、-22/0.031、-13/0.033 |
表选项
满足式(12)和式(13)的三频模糊度备选值有多组，所有满足两个线性关系的三频模糊度备选值全部进入模糊度搜索范围中，从表 3中可知这些模糊度的备选值之间有一定的整周间隔，能够改进三频载波相位模糊度搜索空间。第1、第2历元之间没有周跳发生，在相同的模糊度搜索空间中，这两个历元的模糊度备选值组合相同，说明式(12)对B2和B3模糊度的约束能力相同，历元之间电离层延迟误差残余十分接近，表 2中历元间电离层延迟误差残余的差值很小，其中还有载波相位观测值噪声的影响，对电离层延迟误差参数附加强约束。对于连续多历元观测数据，通过这样的方式约束GEO卫星模糊度搜索空间和电离层延迟误差参数。如果不能通过式(12)和式(13)获得有使用价值的三频模糊度搜索空间。在相同的模糊度搜索空间中，如果相邻历元B2和B3模糊度备选值组合相同，则仍能够说明相邻历元的电离层残余变化很小，可对电离层延迟误差参数进行强约束。
仍以长度最长的基线1和基线3为例，两条基线GEO卫星测站差分对流层延迟误差残余和电离层延迟误差残余如图 6—图 9所示。GEO卫星的对流层延迟误差和电离层延迟误差相邻历元间的变化较小，电离层延迟误差残余可以通过相邻历元的模糊度备选值对比反映其变化。在三频载波相位整周模糊度初始固定的较短观测时间内可以对对流层延迟误差残余附加强约束。通过对GEO卫星大气延迟误差残余的约束，可加快三频载波相位整周模糊度和位置参数的求解速度。对于同区域测站，虽然站间距离较长时对流层延迟误差和电离层延迟误差的站间单差误差相对较大，但一般情况同颗卫星两个站的大气延迟误差变化趋势也相似，站间单差大气延迟误差的相邻历元间变化相对平稳。图 6—图 9给出的是GEO卫星的站间单差大气延迟误差，主要影响是时变因素，卫星信号传播路径的空间变化相对于IGSO和MEO较小，部分卫星站间单差对流层延迟误差的历元变化在0.1 m以内、单差电离层延迟误差的历元变化达到0.1 m以上。测站间差分大气延迟误差的绝对误差数值较大，都在0.3~1.0 m之间。
| 图 6 基线1 GEO电离层延迟误差 Fig. 6 The ionospheric delay of GEO for baseline 1 |
图选项 |
| 图 7 基线3 GEO电离层延迟误差 Fig. 7 The ionospheric delay of GEO for baseline 3 |
图选项 |
| 图 8 基线1 GEO对流层延迟误差 Fig. 8 The tropospheric delay of GEO for baseline 1 |
图选项 |
| 图 9 基线3 GEO对流层延迟误差 Fig. 9 The tropospheric delay of GEO for baseline 3 |
图选项 |
3.4 GEO卫星整周模糊度备选值和大气参数约束的参数解算
由相邻历元的模糊度备选组合可对历元间电离层延迟误差残余进行判断，从而对电离层延迟误差进行更符合实际大气延迟误差变化的约束。GEO卫星对地球静止特性使得大气延迟误差主要受时变因素影响，短时间内大气延迟误差变化相对较小，更加适合于通过历元间的模糊度备选值进行约束。另一方面，直接对GEO卫星传播路径上的站间差分对流层延迟误差参数进行估计，不采用投影函数和相对天顶对流层延迟误差的形式。
通过对GEO卫星三频模糊度备选值和大气延迟误差的约束，进行GEO/IGSO/MEO卫星的长距离三频载波相位整周模糊度和未知参数的解算。同时对于IGSO和MEO卫星也可以采用与GEO卫星相似的方法进行模糊度备选值和电离层延迟误差残余的约束，如果能够选择出有效的三频模糊度备选值，也可以提高模糊度搜索的效率。但是相对于GEO卫星，IGSO和MEO卫星信号传播路径变化快，对流层延迟误差采用相对天顶对流层延迟误差和投影函数的方式更有利于参数估计，而电离层延迟误差的约束也不如GEO卫星效率高。基线1和基线3试验数据的三频模糊度解算和定位结果偏差时间序列如图 10、图 11所示。
| 图 10 基线1定位偏差 Fig. 10 The bias of positioning for baseline 1 |
图选项 |
| 图 11 基线3定位偏差 Fig. 11 The bias of positioning for baseline 3 |
图选项 |
从图 10、图 11的三频模糊度解算耗时和定位结果偏差来看，通过对GEO卫星的约束明显优于图 3、图 4的解算结果。三频载波相位模糊度解算耗时统计信息如图 12、图 13所示，三频载波相位整周模糊度固定之后定位结果与已知值偏差的RMS如图 14、图 15所示，定位结果偏差RMS的均值如表 4所示。
| 图 12 基线1模糊度解算耗时 Fig. 12 The time ofambiguity resolution for baseline 1 |
图选项 |
| 图 13 基线3模糊度解算耗时 Fig. 13 The time ofambiguity resolution for baseline 3 |
图选项 |
| 图 14 基线1定位误差RMS Fig. 14 The RMS of positioning bias for baseline 1 |
图选项 |
| 图 15 基线3定位误差RMS Fig. 15 The RMS of positioning bias for baseline 3 |
图选项 |
表 4 定位结果偏差的RMS均值Tab. 4 The RMS mean of positioning bias
| 基线 | 模式 | 平均模糊度收敛时间/s | N/m | E/m | U/m |
| 基线1 | 随机游走 | 1218 | 0.019 | 0.020 | 0.054 |
| GEO约束 | 381 | 0.011 | 0.015 | 0.032 | |
| 基线2 | 随机游走 | 819 | 0.018 | 0.022 | 0.045 |
| GEO约束 | 364 | 0.015 | 0.018 | 0.029 | |
| 基线3 | 随机游走 | 822 | 0.015 | 0.013 | 0.066 |
| GEO约束 | 298 | 0.012 | 0.007 | 0.021 | |
| 基线4 | 随机游走 | 947 | 0.020 | 0.025 | 0.052 |
| GEO约束 | 425 | 0.013 | 0.017 | 0.038 |
表选项
从上述试验可以看出，对GEO卫星约束的方法不仅可以实现长距离三频载波相位模糊度的快速解算，而且对GEO卫星大气延迟误差残余的参数估计更优，长距离测站的差分定位结果精度较高。基线1三频载波相位整周模糊度最快可以约4 min(241 s)准确确定，最慢需要约10 min(572 s)，基线3三频载波相位整周模糊度准确确定快速约2 min(131 s)，最慢需要不到7 min(409 s)。从图 14、图 15和表 4来看，通过GEO的约束三频载波相位整周模糊度确定之后的定位精度也有所提升，特别是高程方向精度提升非常明显，在使用广播星历的情况下，部分时段1 h的平面定位结果可以达到毫米级。本文随机游走的方差采用是经验值，经验值的使用能够在一定程度约束历元间的大气延迟误差变化，不能完全反映的历元间实际大气延迟误差的变化情况。本文利用历元间模糊度约束信息反映的电离层延迟误差残余的实际变化情况，对GEO卫星测站差分大气延迟误差残余进行约束，同时利用GEO卫星三频载波相位整周模糊度备选值对模糊度搜索空间进行约束。相比与随机游走方差采用经验值的方式，对GEO大气延迟误差的约束更符合实际情况，而对模糊度搜索空间的约束进一步提升了模糊度解算的性能。在模糊度解算性能提升的基础上，GEO卫星大气延迟误差的约束和参数估计效率更高，对定位结果也有一定的提升作用。从表 4中4组观测数据基线的模糊度解算效率和定位结果来看，GEO卫星约束的模糊度收敛时间和定位精度都有较大的提升。试验结果证明了本文对GEO卫星三频载波相位整周模糊度备选值和测站差分大气延迟误差残余的约束，能够提升三频载波相位整周模糊度和未知参数解算的效率，提高了测站定位精度。
本文实现了顾及GEO卫星实际大气延迟变化约束和整周模糊度约束的长距离BDS三频载波相位整周模糊度解算方法。根据GEO/IGSO/MEO不同的动力学特点和卫星信号的路径传播误差变化也不同的实际情况，分别建立附加测站差分大气延迟误差残余的参数估计模型。IGSO和MEO卫星使用相对天顶对流层延迟误差和投影函数表示对流层延迟误差参数。GEO卫星的信号传播路径相对较稳定，对流层延迟误差采用直接估计测站间对流层延迟误差残余的方式，短时间内GEO卫星站间差分对流层延迟误差参数可以进行强约束。利用GEO卫星B2/B3载波相位整周模糊度线性关系，降低测站间差分电离层延迟误差残余的影响，进行B2和B3载波相位整周模糊度备选值的选择。通过三频载波相位整周模糊度间不包含误差影响的线性关系对模糊度备选值组合进行判断。根据历元间B2/B3载波相位模糊度备选值判断历元间电离层延迟误差残余的变化，对GEO卫星的参数估计进行更加符合实际大气延迟变化的约束。试验结果表明本文的方法能够提高三频载波相位整周模糊度解算的效率和测站位置的精度。本文重点研究实现了对GEO卫星的约束，下一步需要研究和完善长距离IGSO和MEO卫星大气延迟误差和三频整周模糊度约束的载波相位整周模糊度解算方法。
第一作者简介：祝会忠(1983-), 男, 副教授, 研究方向为高精度GNSS定位算法与应用。E-mail:zhuhuizhong@lntu.edu.cn
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