【微课堂】苏教版数学六下：2.3 《圆柱的体积》
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知识点
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第二单元 圆柱和圆锥
知识点一：圆柱、圆锥的认识
相关概念：
①圆柱由一个上底面、一个下底面和一个侧面组成。上下底面是两个完全相同的圆形；侧面是一个曲面。
②圆柱的高：上下底面之间的距离。圆柱有无数条高，每条高相等。
③圆锥由一个底面和一个侧面组成。底面是一个圆形；侧面是一个曲面。
④圆锥的高：圆锥的定点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高。
知识点二：圆柱侧面积的计算方法
理解掌握：
圆柱的侧面展开图：有可能是长方形，也有可能是正方形。
①假如是长方形，那么长方形的长a，就是圆柱底面的周长C，宽b就是圆柱的高h。
长方形的面积 S=a×b=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。
②假如是正方形，那么正方形的边长a既等于圆柱底面的周长C，也等于圆柱的高h，也就是说底面周长和高相等。
正方形的面积 S=a×a=C×h=2πr×h=2πrh，就是圆柱的侧面积。
所以圆柱的侧面积公式=Ch或者=2πrh或者=πdh
知识点三：圆柱表面积的计算方法
理解掌握：
圆柱的表面积由一个侧面加上两个底面组成，计算方法是S表=S侧+2S底，因为S侧=Ch，S底=πr2，所以S表=Ch+2πr2 =2πrh+2πr2
用乘法分配率得圆柱的表面积公式 =2πr(h+r)
例1：一个圆柱形的罐头盒，高是12.56厘米，它的侧面展开图是一个正方形，做一个这样的罐头盒需要多少铁皮?
解析：本题中罐头盒的侧面展开图是正方形，说明圆柱的底面周长和高相等，都等于12.56厘米，可以根据圆的周长公式C=2πr，把r先求出，最后再用圆柱的表面积公式。
解：12.56÷3.14÷2=2(厘米)
2×3.14×2×(12.56+2)=182.8736平方厘米
答：做一个这样的罐头盒需要182.8736平方厘米铁皮。
知识点四：圆柱体积的计算方法
理解掌握：
利用我们以前学过的长方体的体积公式V长方体=S底×h，可以得到圆柱的体积公式V圆柱= S底×h，长方体的底面积是长方形或正方形，而圆柱的底面积是圆。
相关公式：①已知半径和高，V圆柱=πr2h
②已知直径和高，V圆柱=π(d÷2)2h
③已知周长和高，V圆柱=π(C÷2π)2h
难点解析：把圆柱的底面平均分成n份，切开后平成一个近似的长方体。
得到的结论：圆柱的底面周长等于长方体的两条长的和;
圆柱的半径等于长方体的宽;
圆柱的高等于长方体的高;
圆柱的体积等于长方体的体积;
★圆柱的侧面=长方体的前、后两个面积的和(长×高)；圆柱的上、下底面和等于长方体的上、下底面和(长×宽)，所以圆柱的表面积比长方体的表面积少左右两个侧面(宽×高)。
知识点五：圆锥体积的计算方法
理解掌握：
根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。
用字母表示为V圆柱=3V圆锥或者V圆锥=1/3V圆柱。
相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。
①已知半径和高，V圆锥=1/3πr2h
②已知直径和高，V圆锥=1/3π(d÷2)2h
③已知周长和高，V圆锥=1/3π(C÷2π)2h
重点解析：
在一个圆柱里面挖一个最大的圆锥，圆锥的体积和剩余部分的体积比是1：2。
例1：工地上的沙堆成近似的圆锥形，底面周长是12.56米，高是1.5米，每立方米沙子约重1.7吨，这堆沙子共重多少吨?
解析：根据题目中的条件，可以用公式V圆锥=1/3π(C÷2π)h
1/3×3.14×(12.56÷2÷3.14)2×1.5=6.28立方米
1.7×6.28=10.676吨
答：这堆沙子共重10.676吨。
知识点七：圆柱和圆锥的横截面
理解掌握：★圆柱横截面的分割方法：
① 按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。
② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。
圆锥横截面的分割方法：
① 按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。
② 按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。
练习提升
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练习1
一、填空
1．圆柱体的体积等于（ ）乘（ ），用字母表示它的计算公式是（ ）。
2．把一个底面直径和高都是2分米的圆柱，切拼成一个近似的长方体，这个长方体底面的长约是（ ）分米，宽约是（ ）分米，底面积约是（ ）平方分米，体积约是（ ）立方分米。
3．一个圆柱体的底面积是105平方分米，高是40厘米，体积是（ ）。
二、判断题
1．长方体、正方体、圆柱体的体积都可以用底面积乘高的方法来计算。（ ）
2．圆柱体的底面积和体积成正比例。（ ）
3．圆柱的体积和容积实际是一样的。（ ）
四、解下列应用题
1．一个圆柱形的粮囤，从里面量得底面周长是9.42米，高2米，每立方米稻谷约重545千克，这个粮囤约装稻谷多少千克？（得数保留整千克数）
2．一个圆柱的体积是150.72立方厘米，底面周长是12.56厘米，它的高是多少厘米？
3．把一根长4米的圆柱形钢材截成两段，表面积比原来增加15.7平方厘米．这根钢材的体积是多少立方厘米？
参考答案
一、填空
1．圆柱体的体积等于（ 底面积 ）乘（ 高 ），用字母表示它的计算公式是（ ）
2．把一个底面直径和高都是2分米的圆柱，切拼成一个近似的长方体，这个长方体底面的长约是（ 3.14 ）分米，宽约是（ 1 ）分米，底面积约是（ 3.14 ）平方分米，体积约是（ 6.28 ）立方分米。
3．一个圆柱体的底面积是105平方分米，高是40厘米，体积是（ 420立方分米 ）。
二、判断题
1．长方体、正方体、圆柱体的体积都可以用底面积乘高的方法来计算。（ √ ）
2．圆柱体的底面积和体积成正比例。（ × ）
3．圆柱的体积和容积实际是一样的。（ × ）
三、求下列圆柱的体积
1．底面半径：8÷2＝4（厘米） 底面面积：3.14×4×4＝50.24（平方厘米）
圆柱体积：50.24×12＝602.88（立方厘米）
答：圆柱的体积是602.88立方厘米。
2．底面半径：1.2÷2＝0.6（厘米） 底面面积：3.14×0.6×0.6＝1.1304（平方厘米）
圆柱体积：1.1304×0.8＝0.90432（立方厘米）
答：圆柱的体积是0.90432立方厘米。
四、解下列应用题
1．底面半径：9.42÷3.14÷2＝1.5（米）底面面积：3.14×1.5×1.5＝7.065（平方米）
体积：7.065×2＝14.13（立方米）
545×14.13＝7700.85≈7701（千克）
答：这个粮囤约装稻谷7701千克。
2．底面半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）底面面积：3.14×2×2＝12.56（平方厘米）
高：150.72÷12.56＝12（厘米）
答：它的高是12厘米。
3．15.7÷2×4＝31.4（立方厘米）
答：这根钢材的体积是31.4立方厘米。
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