今天的儿童还有可能“创造数学，发明数学”吗？（2）
其实，当我在描述数学发展史的时候，我们也是在描述一个儿童从0岁到18岁建构数学观念的“历史”。
我们知道，刚刚诞生的婴儿只拥有几项有限的先天本能，如：吮吸、注视、抓握等。一开始，他就是他的全部世界，他的全部世界就是他自己，他是一个绝对的“自我中心主义者”；但是，这一切于他而言都是无意识的，他并不知道自己的“处境”。随后，他出于本能开始吮吸母乳，当解决饥饿问题成为他的“主题”时，事实上，他已经开始基于吮吸本能而将吮吸、注视和抓握等本能性动作初步的“协调”起来，从而形成一个“吮吸的世界”；这是一个基于生物本能的、混沌一片的成长阶段，类似于史前“人类”的混沌期（大约250万年以前）。
不过，即便在无意识的感知运动阶段，儿童动作的分化与整合也总是循环甚至是同步进行的。某一天，儿童会发现母亲的乳头或者装有奶水的奶嘴可以“充饥”，而其它的诸如大拇指、空奶瓶的奶嘴、脚趾头或者其它的某些物体并不能解决饥饿问题时，最初的“吮吸世界”就会分化为“可吮吸世界”和“不可吮吸世界”；当他能够区分自己饥饿和不饥饿的时候，他就会在不饥饿时好奇的注视他的周围世界，把玩、拖拽他周围的物体，直到有一天，当他发现他的玩具被一块红布盖住而“不见了”的时候，他关于一个不同于他自己的客观性的物体的意识开始萌芽；有一天，当同样的事情发生时，他不哭了，而是自己拽开红布重新找到自己的玩具，于是，他就颇为神奇的建构生成了“永久客体”的观念，这是儿童认知发展史上的大事——从绝对的“自我中心主义者”转向“客观世界”，是伟大的“哥白尼式的转向”。与此同时，当他能够通过实施某个动作从而达到自己的目的时，手段和目的就能够得以分化，儿童的动作就不再是纯粹本能性的，而成为“智慧性的动作”；儿童的这个成长阶段就类似于人类进化史上的“旧石器前期”。
随后，大约在2岁~5岁期间，儿童获得了初期绘画、游戏、模仿，特别是语言等重要的“表象”工具，他们可以不借助眼睛而“看到”某物，也就是在大脑中纯粹依靠想象而“看到”某物的形象，并通过模仿的方式制作他们想要的玩具或工具；在各种游戏活动中，他们能够对给定物体进行分类，或者依据某个标准进行排序。这个阶段类似于人类进化史上的“旧石器后期”。
大约在6岁~7岁期间，儿童的想象力和实际动手操作能力都得到了进一步发展。他们画月亮的时候，会给月亮加上“一双翅膀”，这是因为“我希望晚上月亮能够飞进我的梦里，跟我一起玩”；他们画一家人的时候，会给爸爸、妈妈和自己都添上一条漂亮的鱼尾巴，这是因为他刚刚看过美人鱼的故事，他觉得“美人鱼特别漂亮”；他们喜欢各种手工制作、陶艺、积木搭建、乐高，他们的想象力可以在这些活动中得到自由的驰骋……但是，他们画不出一只“吉祥的麒麟”，也画不出“玉皇大帝”的样子……这些现象说明，他们可以在一定程度上摆脱视觉的局限而依据想象去描绘或创造他们“想要的东西”，但是，如果他们还不能“彻底”摆脱日常生活经验而进行“无中生有”式的创作。这个阶段类似于人类进化史上的“新石器前期”。
大约在8岁~11岁期间，儿童不仅开始系统学习有关自然数、分数和小数的加、减、乘、除四则混合运算，而且也开始学习有关长度、面积和体积的测量；但是，不管老师如何言说“逻辑推理”的严谨性和科学性，儿童事实上仍然对其知之甚少；而且，他们也几乎不能理解欧几里得所描述的点、线、面的“定义”；这是因为，他们所有的认知活动都仍然需要暂时建立在具体操作活动和直观形象的经验之上。在代数方面，他们学习的是具体化的“算术”，而不是形式化的“代数”；在几何方面，他们学习的是物体的“物理性质”，而不是图形的“欧氏几何性质”。总之，这个阶段大概类似于人类进化史上的“新石器后期”。
大约在12岁~15岁期间，儿童不仅会学习整式运算、解方程、解不等式、以牛顿经典力学（运动观点）为背景的函数，而且也开始正式学习欧氏几何；学生被反复告知：一定要做一个讲“理”的人。因为所有这些学习内容都围绕着一个共同的核心观念，即“逻辑推理能力”——不管是代数运算，还是几何证明，都必须做到“步步有依据”，这难道不正是西方文明两千年以来始终从欧几里得那些谛听到的“理性圣谕”吗？！“逻辑推理”的确是把锋利无比的“快刀”，它可以有效帮助儿童克服视知觉和直接经验的局限，而迅速走上以形式逻辑为基础的理性大道（其弊端也在于此，这个下文会提及），从而极大的丰富儿童的知识数量和提升儿童的思维品质。这个阶段大概类似于人类进化史上的“经典数学时期”。
大约在15岁~18岁期间，学校数学教育一般仍然以逻辑推理能力为核心，不过，在这个时期，逻辑推理能力与初中会略有不同，它需要放置于“公理化系统”之中：任何一个逻辑推理系统都必须设置一个或几个“不证自明”的公理，由此出发，通过演绎推理，得到可靠的新结论。换句话说，因为所谓的“不证自明”其实是基于人类的“经验”，基于经验就难免“不可靠”，最起码它不能轻易武断地否定其它的“假设”，一旦承认了这一点，我们就可以重置推理的“起点”，如此以来，新的公理化系统就可能华丽的诞生。人类历史上，正是重新设置了“平行公理”，就诞生了至少与欧氏几何同样完备的非欧几何。这样的公理化思想一旦在科学课程上得到应用，青少年就能从“验证性科学实验”转向“探索性科学实验”：科学假设——设计实验步骤——实验——根据实验结果证实或证伪假设——……总之，在这个时期，青少年不应该被已有的常规科学或某种形式化的思维方式所桎梏，学校教育应该帮助他们理解：所有的数学和科学知识都是人类在某种假设性的“公理化系统”中进行“推演的结果”，是人类在特定历史境域中给予某种现象的一种解释！有了这种观念，不仅不会阻碍儿童的学习，反而会极大地促进他们去创造更加丰富的数学与科学。这个阶段大概类似于人类进化史上的“现代数学时期”。
18岁以后，特别是在18岁~22岁的大学期间，正如哲学家怀特海所言：“大学存在的理由是，它使青年人和老年人融为一体，对知识进行充满想象力的探索，从而在知识和追求生命的热情之间架起一座桥梁。”他还说：“大学确实传授知识，但它必须以充满想象力的方式传授知识。”是的，对于大学生而言，相对于学习具体的知识，他们更应该围绕在伟大事物的周围，以自由的、富有想象力的方式建构自身生命存在的意义。不是逻辑不再重要，而是它应该退隐为工具，年轻人的生命应该以意义为焦点，为始终！这个阶段大概类似于人类进化史上至今仅仅微露端倪的“后现代数学时期”。
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