今天的儿童还有可能“创造数学，发明数学”吗？（3）
前面论述基本可以说明：数学的“历史发生学”与“个体发生学”具有大致相同的“结构”。这个结论给予我们的启发是：既然历史上的数学家们可以在特定的境域中创造数学、发明数学，那么，今天的儿童也完全可以在适宜的情境中像数学家一样创造数学、发明数学。问题是，对于今天的父母和老师来说，到底该怎么做呢？
今天这个时代，不管是物质生活资料，还是由符号系统所构成的文化资源，不可谓不富足！但是，正如狄更斯所言：这是最好的时代，也是最坏的时代。“最好”是显而易见的：人类不仅基本摆脱了物质生存的困境，而且在数学文化的“沃尔玛超市”中，商品也是如此的琳琅满目，令任何人都会顿生目不暇接之感。“最坏”当然也是显而易见的：过度的物质享乐会染上各种各样的“富贵病”，而如果仅仅是把数学知识当作“某种物质”直接灌输给儿童的话，儿童即便不会被“撑死”，也肯定会患上严重的“厌食症”！
不过，值得庆幸的是，“最好”还有另外一种解释：就像建造一座摩天大楼需要脚手架一样，如果我们把前人已经创造出来的数学知识，以及具有较高数学素养的父母和老师，都当作是儿童建构数学知识的“支架”，我们就能够为儿童创造数学、发明数学提供更加“肥沃的土壤”和更具有促进性的成长环境，儿童因此就可以更加顺畅地创造数学、发明数学！
然而，为儿童创造数学、发明数学搭建“支架”，实在不是一件容易的事情！这里至少涉及到两个极其重要的问题：第一，我们到底该如何真正认识和理解儿童的生命呢？第二，儿童之“创造和发明”的本质到底是什么？长久以来，这些问题被习惯、传统和世俗言论所遮蔽，普通人根本难以触及问题的本质，但是，恰恰是这些“普通人”——父母和老师——需要承担起为儿童创造数学、发明数学搭建“支架”的责任和使命！
我首先尝试着回答第一个问题——
我们到底该如何真正认识和理解儿童的生命呢？
婴儿一旦降生，就总是诞生在一个由历史文化符号系统所构成的社会性情境之中，这是显而易见的事实。但是，对这种“社会性情境”的意识是成人的，而不是儿童的；对于刚刚诞生的婴儿来说，这个“完美”的符号化世界其实只是一个完全陌生的、碎片化的、缺乏最基本的统一性的“魔幻世界”。与一切哺乳动物相比，人类新生儿的“早产”程度几乎是不可思议的，放在“丛林法则”支配下的客观自然世界，人类新生儿的成活率几乎为零！
然而，人类却最终站在了宇宙进化的“最顶端”，堪称伟大的奇迹！到底是什么原因促成了奇迹的诞生呢？
这是因为：人类既拥有一切生物得以延续的稳定的遗传特性——总是可以把最优秀的基因遗传给下一代，又具有其它一切生物都不具有的、最为独特的“文化属性”：一方面，婴儿可以在父母亲友的呵护下，得以渡过漫长且危险的婴儿期，使得物质身体得以健康茁壮地成长；另一方面，刚出生的婴儿的“弱小”却恰恰是其成长的“利器”。
与其它哺乳动物相比，婴儿的“弱小”表现为生物性本能力量之孱弱，而本能力量的弱小，却为文化的塑造和影响提供了无限广阔的空间；也就是说，正是因为婴儿天生的不足和弱小，才使得他天然地拥有了其它任何物种都绝对难以企及的成长和发展的可能性。在文化和教育的协助下，儿童的情感、意志、智慧等综合能力与素养可以得到持续快速地提升和飞跃。
一头18岁的亚洲象与刚出生的小象相比，智力上的差异是微不足道的，但是，一个18岁的青年与他自己刚刚诞生时的情形相比，智力上的差异岂是一个“天差地别”所能形容的！是的，儿童的生命是最为奇特的，借用狄更斯的“句式”就是：这是“最差”的生命，也是“最好”的生命。
第二个问题在今天这个时代也充满了歧义——
儿童之“创造和发明”的本质到底是什么？
人们熟知的创造和发明都是伟大人物在成年之后的创举，一个身体和智力都不成熟的儿童，怎么可能“创造数学、发明数学”呢？提问者是“无辜的”，因为，是我们自己“重新界定”了创造和发明的含义。
首先，创造和发明意味着已有的数学观念在人为创设的情境中得以“重新涌现和复活”。从历史发生学的角度讲，所有原初的数学观念都是伟大的命名和创造；但是，它们一旦被创造出来之后，就可能在悠长的历史风尘中，于泥板、龟壳、竹简、草纸等“故纸堆”中隐匿、沉沦，最初涌现时的真理性的光辉已难觅踪迹。
真正杰出的教学（包括学前），就是通过人为创设的情境和热烈而深刻的对话，让那些曾经辉煌的数学观念得以重新真理性的涌现和复活；从儿童的角度讲，这种“真理性”的涌现和复活就仿佛是他们自己的发明和创造！
例如，远古的结绳计数和近代的微积分（这样的例子不胜枚举）等，无一不是人类伟大的发明和创造。人类的远祖最初只是依靠本能，可以定性的区分“多”与“少”；但是，人类的力量实在弱小，若想在残酷的自然界和部落争斗中赢得一线存活之机，他们就必须懂得“合作”，而合作的前提就是建立相对公平的“分配猎物的规则”，于是，“准确的计数”就变得非常急切和必须了，“结绳计数”就是在关乎整个部落生死存亡的重大历史时刻诞生的，这种诞生就是远古先民在特定的境域中调动起全部的生命潜能、超越式的、伟大的发明和创造！
在近代数理发展史上，正是当整个数学界遭遇到形如鬼魅的“无穷小量”的冲击，辉煌的数学大厦面临着“矗立于流沙之上”的、巨大的历史性危机（史称“第二次数学危机”，因为崇尚理性的人类视数学为一切科学的基础，所以这次危机几乎波及到整个科学界），大数学家柯西站在牛顿和莱布尼兹的肩膀上创造了“极限理论”。
今天的数学课堂肯定没有办法“原样重现”历史上的“重大时刻”，但是，我们可以通过模拟情景创设、巧妙的问题设计、鼓励学生挑战权威等，营造“危机时刻”，造成强烈的认知冲突，激发儿童调动全部的生命潜能，“重新命名”新观念，让数学观念得以精彩地诞生；这种诞生，既是沉睡于教科书中的数学观念自身得以“真理性”的涌现和复活，也同时意味着儿童自己发明了新观念、创造了新观念！
其次，与传统教育的理解不同，在我们看来，任何一个数学观念的创造和发明都决不是一次成型的，它是一个“从种子到大树”的生长历程。
例如，就“圆观念”而言，2岁左右的儿童能“分辨”红色的圆和白色的圆，不过，他们分辨的其实是“颜色”，而不是“形状”。
3岁左右的儿童能够“识别”什么样的图形是“圆”，也就是说，他们能够按照物体的形状（常见的）对物体进行简单分类；但是，如果你让他们在纸上画一个“圆”，他们一般会画成“椭圆”，并确信自己画的就是“圆”；实际上，只要是封闭图形，他们画出来的图形基本上都是一样的。
4岁多的儿童不仅可以识别圆形，而且也可以在纸上画出比较标准的圆，当然，“圆”只是作为一个整体性的图形被他们所认知，他们还不能识别圆的局部的几何特征（圆心、半径等）。
5岁多的儿童可以用某种材料（棋子）自己动手构造一个“圆”，圆心和半径还没有作为一个主题凸显出来，所以，他们还不会产生对其进行命名的“愿望”，但是，在操作过程中，儿童已经在“应用”这些“概念”了。
在漫长的具体运算阶段（大约6岁以后），儿童学会了对圆心、半径的命名，以及对周长和面积的测量与计算。
初中阶段，学生学习了很多有关圆的知识，但是，最重要的无疑是圆的“科学概念”（到定点的距离等于定长的点的集合）。
而到了高中，圆则意味着一个代数方程，而且，学生还可以通过代数方程去研究关于圆的几何性质——这些性质往往隐藏于某个运动变化的过程之中，所以，他们会建构新的“圆观念”，即：到定点的距离等于定长（非零）的动点的轨迹……
再往后，“圆”就会跑出纯粹数学的范畴，圆满，圆滑，内方外圆……“圆”具有某些文化的意味。
不同年龄的儿童，建构生成的是完全不同的“圆观念”，而这种“不同”又是极其独特的，体现了儿童在心理发生学意义上的生长性和创造性。所以，评价一个儿童能否创造数学、发明数学的“标准”决不是外在的、客观的、静态的，它必须以儿童自身的发展和成长为标准；对于儿童来说，每个年龄阶段形成的“不同的”数学观念，只要不是父母和老师强行灌输的结果，而是他（她）们自己在内外交互的作用下建构生成的，就是真正的创造和发明！
最后，从个体发生学的角度讲，所谓“发明和创造”绝对不是极端唯理论意义上的、认知主体（儿童）基于自身的、纯粹的“无中生有”，而是复杂的、内外交互的结果。
儿童最初就好比是一粒种子，一旦离开土壤水分、阳光雨露、农人的照料与守望等，种子是根本无法存活的！但是，一粒种子最后是长成一株小草，还是一棵参天大树，只能由种子自身来决定——高大的橡树只能出自橡仁儿，而纯洁的荷花只能出自莲种！所谓儿童发明数学、创造数学，就类似于一粒种子在客观条件下，依据自身的天性，自由地拔节和生长！
我们坚信每个儿童都能够“创造数学、发明数学”，正是基于以上的考量；我们的“信”，肯定是热烈的、有温度的，但是，它更是基于理性思考的结果，而不是纯粹非理性的一时冲动的产物。
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