试试你的微积分还记得多少？

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作为普通高校数学专业的一年级学生，这份试卷如果能答对80%以上，我觉得都是不错的学生，虽然几乎都是教材里的题目，但华东师大的那套《数学分析》教材中的练习题还是有一定难度的，这份试卷充其量也就是中等难度的题。非数学专业的网友想不想试试？

一、已知函数f(x)=xsin(1/x)定义在（0,1]上，试讨论：

（1）能否定义函数y=f(x)在x=0点的函数值使其在该点连续？

（2）是否存在ξ∈（0,1）使得f’(ξ)=0？在(0, 1]中f’(x)有多少0点？

二、计算下列不定积分或定积分

（1）∫x/(1+x²)dx

(2)∫1/(4-4x²)^1/2dx

(3)∫|cosx|dx

(4)∫1/(e^x+2e^-x)dx

(5)∫₀¹2^√xdx

(6)∫_π/6^π/41/(sinxcosx)dx

三、(1)证明对任意实数x1，x2，都有

|cosx1-cosx2|≤|x1-x2|

(2)证明：如果y=f(x)与y=g(x)在区间[a,b]上都可导，且f’(x)<g’(x)，f(b)=g(b)，则在(a, b)内有

f(x)>g(x)

四、设y=f(x)在[a, b]内有有限个间断点，且至少在一个连续点处不为0，证明∫_a^b[f(x)]²dx>0.

五、正弦曲线y=sinx在[0, π/2]上绕x轴旋转一周，求

（1）旋转体的体积.

（2）旋转体的表面积.

六、假设无穷积分∫_a^∞f(x)dx收敛，是否必有lim_x→∞f(x)=0？

如果结论肯定，请给予证明，如果结论否定，请举例说明.

七、假设Σa_n，Σb_n都是正项级数，且对任意n有

a_n+1/a_n≤b_n+1/b_n

证明若级数Σb_n收敛，则级数Σa_n也收敛；若Σa_n发散，则Σb_n也发散。

八、一半径为r的半圆形导线均匀带电，电荷密度为δ，在圆心处有一单位正电荷，试求它们之间作用力的大小。

九、假设y=f(x)在[a, b]上可积，试证：

（1）[∫_a^bf(x)dx]²≤(b-a)∫_a^bf²(x)dx；

如果y=f(x)还满足f(x)≧m>0，则

（2）∫_a^bf(x)dx·∫_a^b1/f(x)dx≧(b-a)²

从我所教的两个班级考试情况看，两极分化现象比较严重，学得好的真是学得不错，有些试卷不仅正确率高，而且卷面整洁漂亮，令人赏心悦目，让我看了爱不释手，有些孩子恐怕完全没有入门，平时作业看上去不错，但通过考试多少可以猜出来作业是怎么完成的。

有一种曾经很时髦的说法：“快乐学习”，这样的说法有些误人子弟。对数学而言，学习不仅是一件近乎枯燥乏味的事，甚至是有些痛苦的事，没有一个人能在轻松快乐中成功。没有经历炼狱般的刻苦，哪里来的浴火重生？有人说北大清华的学生学习很刻苦，为什么那些孩子有舍得吃苦的精神？无非两个因素：1、具有明确的目标，目标产生学习的动力；2、从中小学开始便养成了良好的学习习惯。如果一个人看不到前面的路，就会感到迷茫，学习也就失去了动力。我们总说要抓学风，其实学风不是抓出来的，如果学生压根没有学习的兴趣与动力，你再怎么抓也难以见效果。兴趣固然需要教师协助培养，但归根结底，兴趣只可能建立在对内容的理解基础之上，所以教师的教对学生的学习兴趣会产生一定的影响。

学习动力是个比较复杂的问题，如果指某一门具体的课，可能动力来自这门课程本身。但如果指整个的学习状态，则涉及学习之外的很多因素，从入学到毕业之间的众多环节以及社会环境等都会影响到学生的学习动力，这个问题非三言两语所能说清，也很难说得清。如果普通高校的孩子们也像北大清华的学子一样对未来有着明确的目标，估计动力问题就解决了。

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