【微课堂】遥感数据的系统级几何校正
此前【微课堂】介绍了遥感数据处理过程中的物理量（点击此处链接）和遥感数据的辐射校正（点击此处链接），本期将简要介绍遥感数据的几何校正。
01
遥感数据几何误差来源
在成像过程中，会因为各种因素引发遥感数据的位置误差和各种几何畸变。位置误差可以理解为遥感数据中给出的某个地物的位置坐标（例如经纬度）与其实际坐标不一致。例如，应该是北京的图像，结果却给出了南京的坐标，好似拿错了机票跑到另一个城市去了。而几何畸变则是图像的各种变形，如下图所示，几何畸变造成原本图像中的直线变成了曲线，原本的大小相等矩形变成了形状不同、大小不一的图形。
以卫星遥感为例，引起遥感数据几何误差的因素主要有：
1)传感器性能误差，如镜头焦距的变动、聚焦不准、镜头光学畸变、扫描成像仪扫描速度的非线性、采样和记录速度不均匀等；
2)卫星位置信息的不准确，引起遥感数据的位置误差；
3)卫星姿态变化引起图像平移、旋转、扭曲和缩放；
4)地球自转和地球曲率对图像的影响；
5)地形和地物高度变化，引起像点位移和比例尺改变；
6)大气折射的影响。
在以上的误差来源中，由于传感器本身引起的误差，都会在卫星发射前予以标定。在地面系统中进行几何校正的关注点在于由于卫星的位置、速度、姿态，以及地球等因素引起的遥感数据位置误差和几何畸变。
02
几何校正原理
说起遥感数据的几何校正，大家会不约而同地想起严密成像模型和共线方程。
严密成像模型是在严格的数学基础上，描述了地物点的物方点坐标A(X,Y,Z)与其影像坐标a(x,y)的之间的数学关系，用数学公式表达即共线条件方程。共线方程表示了在理想情况下，在摄影的瞬间，像点、投影中心、地面点位于同一条直线上。
关于严密成像模型和共线方程的详细推导可参看有关的参考资料，这里只给出共线方程的公式：
其中：f是镜头的焦距，Xs 、Ys 、Zs是卫星的位置，a1⋯a3及b1⋯b3由卫星姿态参数决定。
严密成像模型明确地表述了物方空间点A(X，Y，Z)和它对应的像点a(x，y)之间的数学关系，定位精度高。然而，对于一幅有数千、甚至上万行列的遥感图像，采用共线方程进行几何校正，其计算工作量之大，是难以想象的。
在有些教科书上，介绍了用共线方程+多项式的遥感数据几何校正的方法，其核心是在地面上选取一批控制点，同时利用共线方程计算这些控制点在遥感图像中的位置坐标，然后建立如下的多项式，逐一求解遥感图像的所有像元的位置，从而实现几何校正。
然而，这样做的最大问题是，由于无法确定几何畸变的类型，因此在选用多项式的次数K、M时，只能采取“蒙”的方式，从而使校正的过程不再是严密的，校正的精度也很难控制。
03
几何校正的工程化方法
本期介绍的遥感数据系统级几何校正方法是遥感卫星地面系统中最常用的方法，适用于大多数的遥感卫星数据的几何校正。
1. 求解视线矢量与地球的交叉点
首先，构建视线矢量，即从传感器焦平面中的某一探测器看向地表的矢量；而后，在空间直角坐标系中，求解视线矢量与地球椭球体的交叉点，从而得到探测器在某一瞬时的地面观测点坐标，如下图所示。
图中，S是卫星，A是某探测器看向地面的点，ū是单位视线矢量，a和b是地球椭球模型的半长轴和半短轴。
这样，视线矢量在空间直角坐标系中的方程式如下：
其中，XS、YS和ZS是卫星的坐标uX、uY和uZ是单位视线矢量的X、Y、Z分量，μ是视线矢量的模，表示了矢量的长度。而地球椭球体在空间直角坐标系中的方程式如下：
联立求解这2个方程，可得到视线矢量与椭球体的2个交叉点，其中μ值较小的那个，即是探测器看向地球表面的观测点，对应的X、Y、Z即是观测点的坐标。
视线矢量的建模，同样是根据成像瞬间摄影中心、像点和对应地面点之间三点共线的原理，与严密成像模型有着相同的理论依据。
2. 正向计算
同样地，如果利用上述方法求得遥感图像所有像元的地面坐标，计算量依然是很大的。因此，在软件工程上采用了正向计算+反向计算相结合的方法，对校正过程进行简化。
所谓正向计算，是将原始的遥感图像（传感器焦平面）作为输入空间，将其划分为适当大小的网格，利用上述视线矢量与地球椭球相交的计算方法求得网格交叉点在输出空间（地面位置）的坐标，如下图：
3. 反向计算
与正向计算相反，反向计算是从地面位置（输出空间）反推到卫星传感器焦平面（输入空间）的计算过程。
利用正向计算得到的网格交叉点，采用最小二乘方法，建立网格内部输入空间与输出空间的坐标转换关系方程：
其中，L、P是输出空间图像的行列坐标，l、p是输入空间图像的行列坐标，a、b是多项式系数。
需要说明的是，这里采用多项式的求解方法，与本期第2部分提到的多项式方法有着本质的不同。这里采用了“微分”的思想，在一个很小的局部（网格内部）将几何畸变简化、甚至线性化（K=1，M=1），其中的物理含义和数学关系都是严密的。
在以上的校正计算中，仅用到了卫星本身的参数，包括卫星的位置、速度、姿态以及预先已知的传感器参数等，因而被称为系统级几何校正。
此后，我们还将重点介绍遥感数据的几何精校正。请锁定【微课堂】。
以上内容由中国遥感卫星地面站冯钟葵提供。更多关于校正计算的细节以及对卫星参数的处理方法，请参看《遥感数据接收与处理技术》的相关章节。