神仙湖畔 | 理工学院潘兴斌教授：重拾对数学的敬畏

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重拾对数学的敬畏

专访潘兴斌教授

每一个学生的学习回忆里一定少不了“数学”。从小学的算术，中学的函数与几何，再到大学的微积分与线性代数，数学为学生们带来了太多的欢喜与忧愁。可是我们对于真正的数学研究，仍有一定的距离感。大概除了“哥德巴赫猜想”“黎曼猜想”等家喻户晓的数学难题，大部分人对于数学理论的学习与研究并不了解。

本期为您分享第八期校刊《神仙湖畔》的人物栏目。我们邀请到了理工学院潘兴斌教授，以及潘教授的几位学生，带我们重新认识数学领域的研究与学习。

人物简介

潘兴斌

香港中文大学（深圳）理工学院教授

1987年获山东大学数学系博士学位后在浙江大学任教，2004年受聘为华东师范大学紫江特聘教授，2006年1月受聘为华东师大终身教授，2007年12月31日起任二级教授。主要研究领域为偏微分方程，包括非线性偏微分方程理论，变分问题，超导、液晶、电磁场的数学理论等。

潘教授主持的项目包括国家自然科学基金项目8项、教育部优秀青年教师基金项目、教育部博士点基金项目、上海市浦江人才计划项目等，已发表论文98篇。他关于表面超导数学理论的研究成果在国际同行中有一定影响，1995年合作获国家自然科学奖四等奖，1997年入选国家百千万人才工程第一、二层次，教育部跨世纪优秀人才培养计划，2000年入选浙江省高校优秀中青年学科带头人，2006年获国务院特殊津贴，2012年获“宝钢优秀教师奖”，2019年获教育部自然科学奖二等奖（一等奖提名），2022年度获香港中文大学（深圳）校长模范教学奖。

加入香港中文大学（深圳）后，潘教授专门为大一本科生开设《微积分精讲》系列课程，旨在为有志学习数学理论的同学提供进阶数学理论的教学和更加扎实的分析学训练。

1

偏微分方程：

“描述真理的语言”

”

现代数学大致可以分为分析、代数、几何三个领域。潘教授的研究领域为偏微分方程，是分析学的一个重要分支。

“世界万物，大至宇宙，小至基本粒子，无不在时空中运动变化，考察这些运动与变化，往往可以用某些物理量关于空间与时间的变化来描述，这就是偏微分方程与方程组。因此偏微分方程是研究自然现象和社会现象的重要工具。”潘教授如此形容偏微分方程。在2022年9月24日至25日举行的“偏微分方程：分析、几何与拓扑的相互作用”研讨会上，潘教授引用了西汉刘安《淮南子. 齐俗训》作为会议的结语：“往古来今谓之宙，四方上下谓之宇，道在其间而莫知其所。故其见不远者，不可与语大；其智不闳者，不可与论至。”而这句话恰好诠释了他对偏微分方程的理解。

在数学领域中，“线性”是一个相当良好的性质，因为它意味着对应问题易于研究、求解、定量分析。在常微分方程中，线性的理论已经得到了详尽的研究，并成为了数学本科生必须掌握的基础。相对而言，偏微分方程中的“线性问题”复杂许多，但仍有许多对应的求解方法。潘教授指出，“数学家发展了各种求解偏微分方程的方法，这些方法往往只适合于求解线性方程。而我们的世界是非线性的，大量物理现象是非线性的。当不能求解时，需要研究方程的性质，了解方程的解的性质。至今，对非线性方程的一般性理论和具体方程的定性研究，已取得巨大成就，但依然有大量重要问题没有解决。”偏微分方程的定性研究方法往往与具体的方程组有关，而这意味着在偏微分方程领域，不同学者的研究问题和研究方法都会有很大差别。

说到偏微分方程领域中最具吸引力的部分，潘教授给出了坚定的回答：“与现实世界的深刻联系。”访谈中，课堂上，潘教授总是强调，往往是“先有数学，再有物理”。潘教授举出了两个具体的例子。其一是俄罗斯的物理学家阿列克谢·阿列克谢耶维奇·阿布里科索夫。他在研究金兹堡-朗道方程时，通过方程的局部线性化，求解出对应线性问题的特征函数。而这些特征函数的零点正是后来经实验证实的“阿布里科索夫涡旋点阵”。其二是物理学家皮埃尔·吉勒·德热纳。他在凝聚态物理学的研究中发现，一些不同的物理现象间存在数学相似性，所以研究简单的物理现象的方法，可以推广至比较复杂的物质形式。比如描述超导现象的数学理论，可以用来预测液晶的物理现象。而他也因此获得了1991年的诺贝尔物理学奖。这些例子都说明了数学结论与现实现象的深刻联系。

作为一名数学家，潘教授非常重视数学理论在现实世界的对应。他主要的研究兴趣是一些物理中重要的非线性偏微分方程，譬如支配超导现象的金兹堡-朗道方程、液晶的朗道-德热纳方程、电磁学中的一些方程等。“我目前研究的问题主要是区域的几何与拓扑对偏微分方程的影响。我也关注不同领域的物理现象在数学上的相似性。”数学理论中的不同分支与领域之间存在着广泛的联系，而这些联系又对应着我们的现实世界。这些联系与对应一定程度上揭示了世界真理的形态，也成为了潘教授研究的一大主要动力。

2

数学研究：

保持敬畏，

走出自己的路

”

潘教授在偏微分方程论坛上致辞。理工学院/摄

提及“数学之美”，我们脑海里总是浮现这样的关键词：对称、简洁、统一。不过，这些简单的概括似乎忽略了一个重要的事实：不同数学领域研究问题、对象、及研究范式，都会有显著的差异，这样的差异也许会带来领域之间不同的“美”。

提到“数学之美”，潘教授引用了杨振宁先生在一次采访中提到的关键词：“敬畏”。杨振宁先生曾在《人物》杂志的访谈中这样说道：“对于自然的了解，当然是与日俱增的——可是这些与日俱增的里头的内容，比起整个自然界，整个这个结构，那还是微不足道的。你也可以说年纪越大，这种对于自然界的敬畏感是越来越深。”对于数学领域，潘教授有同样的敬畏，也正是如此的敬畏让他拥有了对于数学的审美体验。事实上，潘教授指出，敬畏之情是“一个学者的基本素养”。

对于数学研究，潘教授同样有自己的心得。他指出，数学研究大致可以分为两类：其一是解决前人遗留下的难题，其二是发现领域内新的现象或规律，提出新的问题，并拓展该领域的边界。对于后者，潘教授以我校的倪维明教授为例，提到倪教授“在‘区域的几何对偏微分方程的影响’这一方面做了很多先驱性的工作”。在千禧年初，潘教授也在他的研究领域提出了自己的几个猜想，其中一个猜想在接下来的数十年里得到了同行学者的验证。“在这个领域里，要么最早，要么最好。”这是潘教授界定一个优秀的数学学者的标准，也是他自己的学术追求。

最后，潘教授强调了一名学者在领域内进行学术发展的基本准则：“走出自己的路”。不论研究方式如何，对于学术研究，最重要的是在某一领域有自己的观点或想法。

3

数学教育：

因材施教，

培养分析能力

”

潘教授在教育上颇有研究。他所开设的《微积分精讲》系列课程得到了许多学生的好评，也为这些学生日后在数学领域的学习打下了重要基础。

对于教育，潘教授引用了徐扬生校长的一句话：“本科生教育是一所大学的最重要的质量指标（没有之一）。所以，我们要求每个学院最优秀的教授（包括诺贝尔奖得主）必须给本科生（尤其是一、二年级的同学）授课。”微积分，或者说数学分析，是数学本科生学习数学理论的重要基石。潘教授也因此对相关课程格外重视，并在长年累月的教学中形成了独到见解。

《微积分精讲》相较于普通的微积分课程，增加了更多的数学分析理论，并通过理论的学习与证明，训练学生的分析能力。“本校有相当多学生有理想、有追求，有明确的奋斗目标。其中有不少学习能力强的学生，我们需要为他们提供更多优质课程，使他们更好地成长。另一方面，不断培养优秀学生的数学基础和素养，对发展我校的数学学科，也是至关重要的。”这便是我校开设精讲课程系列的初衷。

事实上，潘教授的这门课程是数学系众多老师在“精讲课程系列设计”上迈出的第一步。“在倪维明老师和数学组其他教师的极力推动和不懈努力下，几年来，我校在数学课程教学改革方面做出了很多努力。《微积分精讲I,II》这两门课程的设置，就是面向数学基础较好、敢于面对挑战的学生，给学生更多的选择，更多提升的可能性，并引导对数学有兴趣的学生学好数学，培养数学人才。”而除了这两门课程之外，潘教授对于日后的分析类课程，也有自己的想法。“今年倪老师主讲《数学分析精讲》。我们希望进一步建立精讲课程系列，并在今后设立荣誉课程体系，以利于更好地培养优秀人才。”

潘教授上课的模式同其他教授不太一样。他会提前上传当周课件，上课时详细讲解其中最本质的部分。潘教授解释道：“教学中要（兼顾）教学目标及学生的基础和学习能力，努力做到课程的知识体系合理完整，内容丰富，叙述清晰易懂，使学生容易学，容易懂，使大部分学生能掌握课程的主要内容；又为好学生提供更宽、更深的教学内容，提高学生的数学眼光、水平、能力。”课程会提供一些较难的材料和问题，供学有余力的同学在课后自学和思考，不过作业和考试的重点依旧是那些重要的/本质的以及简单易懂的内容。那些比较难的材料，按照潘教授的说法，是“心情特别特别好”的时候阅读的东西。

不过，就像任何一门数学课一样，同学们仍然需要做大量的习题训练。潘教授说：“教学中应当兼顾学生学习基础理论与训练解题技巧。” 到了大学，数学系的同学们仍然需要在题目的训练中逐渐掌握理论知识。

与之相对的，潘教授同样也会在题目的设计上投入更多精力。无论是课件上的例题，还是作业中的附加题，潘教授都会精心设计，力图以问题显现更加深刻的数学思想。潘教授同样提到，“考试应当注重考查对知识的深入理解和灵活运用，每次考试都应当设计新题。”他也是这样实践的。

相比于其他科目，数学考试有更多证明题，会有若干不同的证明方法，计算题的解答过程也多种多样，老师批改时不能只看最终答案是否正确，还要看使用的方法是否正确，论证是否严密。潘教授讲，“数学课程的教学过程中，不仅要教数学知识和方法技巧，也要注重培养学生的数学思维、提出问题和解决问题的能力、数学论证和表达的能力，训练学生严谨的学风。”

在数学以外，分析能力和数学思维也可以起到重要的作用。潘教授对分析学有颇多见解，他也分享了自己的观点：“互联网时代，搜索快捷与信息易得，将使下一代人普遍知识广博而浅薄，人人会套用公式，但不愿沉下心来深入学习以打好专业基础，因而往往缺乏新思想。一些学校的教育往往迎合这个趋势。我们现在要着力培养部分学生的分析能力和数学思维，使他们能提出新问题，提出新思想，才能让他们在将来与众不同，能面对未来的竞争，更能推动科学技术的发展。”

4

人师之善：

春风化雨，

以行动弘扬数学精神

”

潘教授在理工学院迎新会上，为同学们讲解专业设置。理工学院/摄

在不少学生的眼中，潘教授平易近人，对学生格外关心。这同潘教授自身的教育理念密不可分：教学不仅教课，还要关注学生人格、理想和心灵的培养。潘教授这样阐释：“教师不仅要做‘智者’，更要做‘仁者’，要对学生有爱心，关心他们的前途与目标，理解他们的困难。特别是这几年疫情不断，有些上网课的学生会有额外的困难，需要理解和帮助他们克服困难。”

除了关心学生，潘教授更加重视以自身行动弘扬数学精神。“我们应当努力以自己对数学的热爱以及对教学的激情感染学生，培养学生对数学的兴趣和热情；以自己的敬业精神和踏实严谨的治学态度，培养学生的科学精神和良好的学习习惯。”潘教授有时会在课堂上分享一些电影和文学作品，而这些作品似乎或多或少蕴含着数学的思考。这也正是数学的特点：数学不仅仅是定义与命题的堆砌，更包含了与世间万物普遍联系的思想。

在大众的印象中，数学思想并非人人可得。谈及“数学的天赋”，潘教授并没有立刻接受这个说法，因为他并不能确定天赋对于数学学习的作用，现实中正面例子与反面例子都有不少。然而无论如何，潘教授相信，态度和主观努力仍然是决定学术产出的主要因素。因此，他不会偏袒有天赋的学生，并且强调要在教育上尽力做到相对公平。“我们应当尊重学生，努力做到对所有学生公平，一视同仁。”

但潘教授也承认，不同学生在数学基础、学习节奏和学习速度上存在差异。潘教授指出：“对于优秀学生，指导他们加深学习，提高眼界，为今后的学习做准备。对基础差的学生予以鼓励和引导，指导他们改进学习方法，掌握课程重点，跟上课程进度。”这也是潘教授“因材施教”观念的另一种体现。

潘教授对于学生的关心也影响着他的教育方法。“时代在变化，每一届学生都有不同。教学方法相应要调整，以取得更好的教学效果。”潘教授注意到，面对长期的网课学习，最近几届学生似乎会比以前的学生更加需要忍耐孤独。另一个有趣的事实是，不同届学生对于自己所在集体的认知也存在差别。相比于过去两届，这一届数学系的同学们，似乎对自己的数学水平有更高的自信。这些细微的差别，会让潘教授调整自己的授课方式和授课风格。

5

师徒之间：

学术漂流中的

共同记忆

”

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在接下来的几天里，记者陆续采访了数学系的几位同学。他们分别是：大一的H同学，大二的X同学和L同学，以及大三的Y同学。他们独特的故事中，或多或少带着潘教授的影子。

大一的H同学很早就确定了学习更多数学理论的目标，并因此选择了潘教授的课程。而他也希望挑战自我，“我可能不是做数学研究的料子，但多学点数学总是没有坏处的。”他解释道。

半个学期的学习后，我问起H同学是否感受到了大学数学与高中数学的不同之处，H同学笑着说道，“我觉得从第一个月开始就已经不同了。我们第一节课学的就是ε-δ语言（数学中的一种证明方法）。相比于普通微积分课程，我们更多是在思维本身上划一个缺口去进入。这对我来说，就是一个实质的门在我面前：推开这个门，走进去，就是一个大学的数学世界。”

H同学的数学之路才走了半个学期。相比之下，X同学和L同学已经在这数学世界中漫游了一年，并确定了自己的专业。

X同学最终选择了应用数学专业，可他也曾纠结是否要走其他的发展道路。X同学高中参加了生物竞赛，对于生物建模等有一些兴趣，而这一块内容需要不少数学知识。所以进入大学后，他为了打好数学基础，选择了潘教授的课程。“我高中并不是搞数学竞赛的，对于选择数学是有些顾虑的，而（潘教授）这门课也不是特别容易，一开始有点跟不上。”后来潘教授告诉他，数学不像其他学科，需要一个比较长的积淀期。“当时确实是有动摇的想法，想转去其他专业，比如生科（生物科学）之类的。但是后面感觉自己还能继续往下学，并且还是挺感兴趣的。”我问起他是否有意愿做数学研究，他说：“我觉得到后面是完全有可能的。我本科的打算就是一直学数学。”

L同学的故事则更加富有戏剧性。在一年的学习后，他从金融工程直接转到了理论数学专业。在大学之前，他似乎便已经规划好了自己的职业发展路径：从本科金融工程，到北美量化硕士，再到投行或私募的工作。“有一些直系学长和我说我们学校的数学专业是很不错的，所以我后来转到了潘老师的课上。”在几节课后，L同学发现了数学的独特魅力。“我小时候其实是不太喜欢数学的，因为我很讨厌计算。”但是L同学提到，他喜欢理科内共有的“独立于经验的理性知识”，而潘教授的课程，正是将他从小到大对于理性美的热情激发了出来。

L同学称自己是一个“咋咋唬唬”的人。他喜欢社交与热闹，在过去的一年里参与了各类社团、竞赛、学生工作等活动。但在一年的尝试与探索后，他还是更享受数学学习带来的正向反馈，并且也知道自己可以在这条路上走下去。“潘教授最欣赏我的一点是我的一些很‘跳’的思维。他说，我的很多奇思妙想是有好处的，是值得培养的；或者说，我还是有适合学习数学的地方的。”

一位大三的Y同学因为学业上的优异表现，给潘教授留下了深刻的印象。Y同学在大二时选择了理论数学专业，而如今她似乎正在考虑一些应用的方向。她对于数学知识的掌握仍然出乎我的意料——她对于那些学过的数学定理好像如数家珍，并能够熟练地运用。虽然不再钻研理论，但她仍能熟练运用学过的数学定理。

不同年级的同学似乎都能感受到潘教授所开课程的重要之处。X同学说道：“我觉得潘教授很适合教大一的课。一个很优秀的教授去教大一的课并不是什么大材小用。越基础的课，往往是越重要的课，也越需要优秀的老师做引路人。”而Y同学也证实了这个说法：“大二和大三也一直在用大一的那些东西。大三那个勒贝格积分（大三的课程内容）其实和黎曼积分（大一的课程内容）是差不多的算法。大一（的课程内容）其实是最重要的。”

每一位同学都有自己对潘教授的独特记忆。H同学提到潘教授“用幽默的语言对冲宣告quiz（小测）时间的情感冲击”；L同学还记得潘教授展示的原创诗词和电影推荐，以及课上给倪维明教授“打广告”；X同学记得潘教授以类似“开火车”一样的方式让同学们回答问题，调动课堂积极性；Y同学记得潘教授用偏微分方程说明“跑步时女孩的马尾只会在竖直平面内沿水平方向摆动”，以及“为什么操场都是沿着逆时针跑”。与潘教授的点点滴滴温暖着同学们的学习生活，让同学们的数学之旅更添生动和美好。

尽管同学们并没有在课程之外和潘教授有专门的联系，但每一次偶然的相逢都会留下记忆的种子。X同学提到，去食堂吃饭时经常能碰到潘教授。“我们会找他抱怨数学分析（大二数学相关内容）的难度；他这时就会来安慰我们，说‘学这些东西是我们的幸运’，因为学长学姐（由于课程改革带来的变动）都没学过这些东西。”他笑着回忆道。

有时潘教授也会主动联系学生。潘教授举办偏微分方程的研讨会时，特地给L同学发了一封邮件，说希望他去听听，因为“可以大致了解一下其他人的研究方向”。而去年学校评选Student Award（大学荣誉奖项）时，潘教授也主动为Y同学写了推荐信，希望她能参与竞选，赢得奖项。

所有参与采访的同学都表达了对潘教授的高度赞美。“他不仅数学专业水平高，还非常重视学生的身心健康和各个层面的发展。”X同学这样评价。而Y同学的回答更为坚定：“你大学期间碰到这样一位老师，你的大学生活就值了。”

在众多赞美声中，H同学的回答与众不同。“我一开始听到学长学姐的评价全是正面的。我会觉得有些奇怪，就是真的有老师能做到零负面评价吗？因为其他老师或多或少地，因为个人风格问题，会收到褒贬不一的评价。”在半年的课程学习里，潘教授于他而言，有了更加立体的形象；而他给出了自己的评价：“你听到那样的评价之后只会留下一个印象。但真的只有是接触了之后，那种感觉是每个人心中都会有的。这种情感表达出来，就只有正面评价了。”

求索真理的修行

#

潘教授所面对的群体，即数学系的学生，本身也是一个特殊的群体。因为数学的难度，他们常常被拔高和崇敬；但在如今的评价体系里，他们似乎永远处在边缘。当同龄人早早开始科研或实习时，他们仍然需要学习大量理论知识。随着时间推进，课业的压力、人生的抉择、前途的挑战同时压在了他们的头上。当他们焦虑、迷茫时，他们真的会需要交流和鼓励。

数学系的同学想要申请应用方向和工科方向（的研究生项目），可能会遇到一些障碍：本科生很难在数学前沿做出重要的研究成果，我们的科研经历在数量上不一定有其他学科的同学丰富；我们课业压力也很大，没有大量时间去做这些东西。”Y同学坦白道，“……就是说，那种有压力的感觉，不是很好。”

刚进入数学系的X同学和L同学也感受到了与同龄人的脱节。X同学看到同龄人早早接触科研与实习，感到了不同专业带来的同辈压力。而跨专业的L同学也压抑住了自己躁动的一面，经历了痛苦的转型。在数学学习这条漫长的路上，他们需要一个指路人，帮助他们沉下心来，坚持走下去。

也许，潘教授不仅仅研究数学、教授数学，更亲自背负了发展这门学科的使命。他需要发现更多对于数学有兴趣的同学，并鼓励与支持他们从事数学工作，尽可能缓解他们的焦虑，排除他们受到的干扰。

潘教授很像一代数学教授的精神缩影——纯粹，敬业，思想深刻。Y同学和我说：“我觉得，数学系的老师，都特别好。”她也明白，学习数学的人本身也对这门学科有相当的热爱，这些人一般都不会特别功利。

H同学也认同：数学本身即会塑造它的教学者和工作者，因为“它是一门特立独行的学科”，而它的学者也会有相应的使命。“数学就是一条很长很长的路。它必须要被走完，中间哪一步崴了脚都是会走不下去的。”H同学说，“潘教授应该也是注意到了这一点：当你真正想走这条路时，他会给你指出来这条路应该怎么走。”

无论是潘教授，还是这些数学系的学生，他们都在进行一场漫长的修行——没有那么多荣誉和利益，只有数学真理带来的极致的真诚；而正是这种真诚，激励着一代又一代人为之贡献自己的智慧。

也正因为如此，我们也有理由保持着对数学的敬畏。

END

传讯及公共关系处(CPRO)出品

转载自校刊《神仙湖畔》

记者：周诗璟 2021级 理工学院 逸夫书院

编辑：季伊忱 2019级 人文社科学院 祥波书院

主编：匡子娴 2020级 人文社科学院 思廷书院

排版：郑骁 2022级 经管学院 道扬书院

《神仙湖畔》

由香港中文大学（深圳）主管，大学传讯及公共关系处主办，立足大学，面向社会，通过记录这里的学者学人，探讨时代下的青年话题，来传递大学文化与精神。

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