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下次面试若再被问到二叉树,希望你能对答如流!

倪升武 程序员私房菜 2018-12-04


阅读本文大概需要6分钟


曾经有个朋友问我:二叉树可以用来干啥况?

我回答他:可以搜索、可以排序呀?

可是,排序有快速排序,归并排序,查找有二分法,甚至直接遍历查找,我干啥要使用二叉树呢?

……


这位朋友说的是有道理的,二叉树确实在实际中用的比较少,因为有更高级的树,但是二叉树作为一种最基本最典型的排序树,是研究其他树的基础。除此之外,在面试数据结构的时候,二叉树原理被问到的概率是相当高的。这篇文章建议收藏。言归正传,我们来分析分析二叉树。


我们知道,在有序数组中,可以快速找到特定的值,但是想在有序数组中插入一个新的数据项,就必须首先找出新数据项插入的位置,然后将比新数据项大的数据项向后移动一位,来给新的数据项腾出空间,删除同理,这样移动很费时。显而易见,如果要做很多的插入和删除操作和删除操作,就不该选用有序数组。

另一方面,链表中可以快速添加和删除某个数据项,但是在链表中查找数据项可不容易,必须从头开始访问链表的每一个数据项,直到找到该数据项为止,这个过程很慢。

树这种数据结构,既能像链表那样快速的插入和删除,又能想有序数组那样快速查找。这里主要实现一种特殊的树——二叉(搜索)树。二叉搜索树有如下特点:一个节点的左子节点的关键字值小于这个节点,右子节点的关键字值大于或等于这个节点。插入一个节点需要根据这个规则进行插入。

删除节点时二叉搜索树中最复杂的操作,但是删除节点在很多树的应用中又非常重要,所以详细研究并总结下特点。删除节点要从查找要删的节点开始入手,首先找到节点,这个要删除的节点可能有三种情况需要考虑。

  • 该节点是叶节点,没有子节点

  • 该节点有一个子节点

  • 该节点有两个子节点


第一种最简单,第二种也还是比较简单的,第三种就相当复杂了。下面分析这三种删除情况:

要删除叶节点,只需要改变该节点的父节点对应子字段的值即可,由指向该节点改为 null 就可以了。垃圾回收器会自动回收叶节点,不需要自己手动删掉;当节点有一个子节点时,这个节点只有两个连接:连向父节点和连向它唯一的子节点。需要从这个序列中剪断这个节点,把它的子节点直接连到它的父节点上即可,这个过程要求改变父节点适当的引用(左子节点还是右子节点),指向要删除节点的子节点即可;第三种情况最复杂,如果要删除有两个子节点的节点,就不能只用它的一个子节点代替它,比如要删除节点25,如果用35取代它,那35的左子节点是15呢还是30?



因此需要考虑另一种方法,寻找它的中序后继来代替该节点。下图显示的就是要删除节点用它的后继代替它的情况,删除后还是有序的。(这里还有更麻烦的情况,即它的后继自己也有右子节点,下面再讨论。)



那么如何找后继节点呢?首先得找到要删除的节点的右子节点,它的关键字值一定比待删除节点的大。然后转到待删除节点右子节点的左子节点那里(如果有的话),然后到这个左子节点的左子节点,以此类推,顺着左子节点的路径一直向下找,这个路径上的最后一个左子节点就是待删除节点的后继。如果待删除节点的右子节点没有左子节点,那么这个右子节点本身就是后继。寻找后继的示意图如下:



找到了后继节点,现在开始删除了,先看第一种情况,后继节点是delNode右子节点的做后代,这种情况要执行以下四个步骤:

  • 把后继父节点的leftChild字段置为后继的右子节点;

  • 把后继的rightChild字段置为要删除节点的右子节点;

  • 把待删除节点从它父节点的leftChild或rightChild字段删除,把这个字段置为后继;

  • 把待删除的左子节点移除,将后继的leftChild字段置为待删除节点的左子节点。


这下图所示:


如果后继节点就是待删除节点的右子节点,这种情况就简单了,因为只需要把后继为跟的子树移到删除的节点的位置即可。如下图所示:


看到这里,就会发现删除时相当棘手的操作。实际上,因为它非常复杂,一些程序员都尝试着躲开它,他们在Node类中加了一个Boolean字段来标识该节点是否已经被删除,在其他操作之前会先判断这个节点是不是已经删除了,这样删除节点不会改变树的结构。当然树中还保留着这种已经删除的节点,对存储造成浪费,但是如果没有那么多删除的话,这也不失为一个好方法。

另外二叉树有三种遍历方式:前序、中序和后序。这个比较简单,直接看下代码即可。

下面手写个二叉搜索树的代码:

  1. public class BinaryTree {

  2.    private BNode root; //根节点

  3.    public BinaryTree() {

  4.        root = null;

  5.    }

  6.    //二叉搜索树查找的时间复杂度为O(logN)

  7.    public BNode find(int key) { //find node with given key

  8.        BNode current = root;

  9.        while(current.key != key) {

  10.            if(key < current.key) {

  11.                current = current.leftChild;

  12.            }

  13.            else {

  14.                current = current.rightChild;

  15.            }

  16.            if(current == null) {

  17.                return null;

  18.            }

  19.        }

  20.        return current;

  21.    }

  22.    //插入节点

  23.    public void insert(int key, double value) {

  24.        BNode newNode = new BNode();

  25.        newNode.key = key;

  26.        newNode.data = value;

  27.        if(root == null) { //if tree is null

  28.            root = newNode;

  29.        }

  30.        else {

  31.            BNode current = root;

  32.            BNode parent;

  33.            while(true) {

  34.                parent = current;

  35.                if(key < current.data) { //turn left

  36.                    current = current.leftChild;

  37.                    if(current == null) {

  38.                        parent.leftChild = newNode;

  39.                        newNode.parent = parent;

  40.                        return;

  41.                    }

  42.                }

  43.                else { //turn right

  44.                    current = current.rightChild;

  45.                    if(current == null) {

  46.                        parent.rightChild = newNode;

  47.                        newNode.parent = parent;

  48.                        return;

  49.                    }

  50.                }

  51.            }

  52.        }

  53.    }

  54.    //遍历二叉树

  55.    public void traverse(int traverseType) {

  56.        switch(traverseType)

  57.        {

  58.        case 1: System.out.println("Preorder traversal:");

  59.                preOrder(root);//前向遍历

  60.                break;

  61.        case 2: System.out.println("Inorder traversal:");

  62.                inOrder(root);//中向遍历

  63.                break;

  64.        case 3: System.out.println("Postorder traversal:");

  65.                postOrder(root);//后向遍历

  66.                break;

  67.        default: System.out.println("Inorder traversal:");

  68.                inOrder(root);

  69.                break;

  70.        }

  71.        System.out.println("");

  72.    }

  73.    //前向遍历

  74.    private void preOrder(BNode localRoot) {

  75.        if(localRoot != null) {

  76.            System.out.print(localRoot.data + " ");

  77.            preOrder(localRoot.leftChild);

  78.            preOrder(localRoot.rightChild);

  79.        }

  80.    }

  81.    //中向遍历

  82.    private void inOrder(BNode localRoot) {

  83.        if(localRoot != null) {

  84.            inOrder(localRoot.leftChild);

  85.            System.out.print(localRoot.data + " ");

  86.            inOrder(localRoot.rightChild);

  87.        }

  88.    }

  89.    //后向遍历

  90.    private void postOrder(BNode localRoot) {

  91.        if(localRoot != null) {

  92.            postOrder(localRoot.leftChild);

  93.            postOrder(localRoot.rightChild);

  94.            System.out.print(localRoot.data + " ");

  95.        }

  96.    }

  97.    //查找最小值

  98.    /*根据二叉搜索树的存储规则,最小值应该是左边那个没有子节点的那个节点*/

  99.    public BNode minNumber() {

  100.        BNode current = root;

  101.        BNode parent = root;

  102.        while(current != null) {

  103.            parent = current;

  104.            current = current.leftChild;

  105.        }  

  106.        return parent;

  107.    }

  108.    //查找最大值

  109.    /*根据二叉搜索树的存储规则,最大值应该是右边那个没有子节点的那个节点*/

  110.    public BNode maxNumber() {

  111.        BNode current = root;

  112.        BNode parent = root;

  113.        while(current != null) {

  114.            parent = current;

  115.            current = current.rightChild;

  116.        }  

  117.        return parent;

  118.    }

  119.    //删除节点

  120.    /*

  121.     * 删除节点在二叉树中是最复杂的,主要有三种情况:

  122.     * 1. 该节点没有子节点(简单)

  123.     * 2. 该节点有一个子节点(还行)

  124.     * 3. 该节点有两个子节点(复杂)

  125.     * 删除节点的时间复杂度为O(logN)

  126.     */

  127.    public boolean delete(int key) {

  128.        BNode current = root;

  129. //        BNode parent = root;

  130.        boolean isLeftChild = true;

  131.        if(current == null) {

  132.            return false;

  133.        }

  134.        //寻找要删除的节点

  135.        while(current.data != key) {

  136. //            parent = current;

  137.            if(key < current.key) {

  138.                isLeftChild = true;

  139.                current = current.leftChild;

  140.            }

  141.            else {

  142.                isLeftChild = false;

  143.                current = current.rightChild;

  144.            }

  145.            if(current == null) {

  146.                return false;

  147.            }

  148.        }

  149.        //找到了要删除的节点,下面开始删除

  150.        //1. 要删除的节点没有子节点,直接将其父节点的左子节点或者右子节点赋为null即可

  151.        if(current.leftChild == null && current.rightChild == null) {

  152.            return deleteNoChild(current, isLeftChild);

  153.        }

  154.        //3. 要删除的节点有两个子节点

  155.        else if(current.leftChild != null && current.rightChild != null) {

  156.            return deleteTwoChild(current, isLeftChild);

  157.        }

  158.        //2. 要删除的节点有一个子节点,直接将其砍断,将其子节点与其父节点连起来即可,要考虑特殊情况就是删除根节点,因为根节点没有父节点

  159.        else {

  160.            return deleteOneChild(current, isLeftChild);

  161.        }

  162.    }

  163.    public boolean deleteNoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {

  164.        if(node == root) {

  165.            root = null;

  166.            return true;

  167.        }

  168.        if(isLeftChild) {

  169.            node.parent.leftChild = null;

  170.        }

  171.        else {

  172.            node.parent.rightChild = null;

  173.        }

  174.        return true;

  175.    }

  176.    public boolean deleteOneChild(BNode node, boolean isLeftChild) {

  177.        if(node.leftChild == null) {

  178.            if(node == root) {

  179.                root = node.rightChild;

  180.                node.parent = null;

  181.                return true;

  182.            }

  183.            if(isLeftChild) {

  184.                node.parent.leftChild  = node.rightChild;

  185.            }

  186.            else {

  187.                node.parent.rightChild = node.rightChild;

  188.            }

  189.            node.rightChild.parent = node.parent;

  190.        }

  191.        else {

  192.            if(node == root) {

  193.                root = node.leftChild;

  194.                node.parent = null;

  195.                return true;

  196.            }

  197.            if(isLeftChild) {

  198.                node.parent.leftChild  = node.leftChild;

  199.            }

  200.            else {

  201.                node.parent.rightChild = node.leftChild;

  202.            }

  203.            node.leftChild.parent = node.parent;

  204.        }

  205.        return true;

  206.    }

  207.    public boolean deleteTwoChild(BNode node, boolean isLeftChild) {

  208.        BNode successor = getSuccessor(node);

  209.        if(node == root) {

  210.            successor.leftChild = root.leftChild;

  211.            successor.rightChild = root.rightChild;

  212.            successor.parent = null;

  213.            root = successor;

  214.        }

  215.        else if(isLeftChild) {

  216.            node.parent.leftChild = successor;

  217.        }

  218.        else {

  219.            node.parent.rightChild = successor;

  220.        }

  221.        successor.leftChild = node.leftChild;//connect successor to node's left child

  222.        return true;

  223.    }

  224.    //获得要删除节点的后继节点(中序遍历的下一个节点)

  225.    public BNode getSuccessor(BNode delNode) {

  226.        BNode successor = delNode;

  227.        BNode current = delNode.rightChild;

  228.        while(current != null) {

  229.            successor = current;

  230.            current = current.leftChild;

  231.        }

  232.        if(successor != delNode.rightChild) {

  233.            successor.parent.leftChild = successor.rightChild;

  234.            if(successor.rightChild != null) {      

  235.                successor.rightChild.parent = successor.parent;//删除后续节点在原来的位置

  236.            }

  237.            successor.rightChild = delNode.rightChild;//将后续节点放到正确位置,与右边连上

  238.        }

  239.        return successor;

  240.    }

  241. }

  242. class BNode {

  243.    public int key;

  244.    public double data;

  245.    public BNode parent;

  246.    public BNode leftChild;

  247.    public BNode rightChild;

  248.    public void displayNode() {

  249.        System.out.println("{" + key + ":" + data + "}");

  250.    }

  251. }


(敲黑板)如果你还是应届生,那更要好好掌握二叉树的原理咯,面试出现的概率很大~ 本文建议收藏,在上班等车的时候、吃饭排队的时候可以拿出来看看。

END


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