杨振宁跨越80年求解一个数学游戏 | 重温系列

赛先生

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导读

2021年10月1日，杨振宁先生即将迎来百岁诞辰。“赛先生”将发起系列纪念活动。自8月起，将陆续刊发系列杨振宁先生相关文章。今天，重温系列的第一篇，是97岁高龄的杨振宁先生跨越80年，求解在西南联大期间盛行于物理系与数学系师生间的一个数学游戏。我们将为评论区高赞第一的读者送出一件定制的印有杨-米尔斯方程的“赛先生”文化衫。

（图源：pixabay.com）

编者按：移棋相间游戏最早被记载于我国清代康熙年间成书的笔记小说《坚瓠集》中，在日本和英国亦曾以“鸳鸯游戏”和“泰特问题”之名风行。它要求玩家将n个相邻的白色棋子和n个相邻的黑色棋子，通过移动相邻两子的方式得到“黑白相间”的结果。

《坚瓠集》中记录，清代顺治年间胡励之曾发现当3≤n≤10时，经过n次移动均可得到“黑白相间”现象。数百年后的1920年代，是年尚在读中学的数理统计学开创者之一、我国数学家许宝騄和他的好友、“新红学”开拓者俞平伯在阅读此书后，曾将上述规律推至二十棋子。许宝騄在一年后总结出“合四为一”的新规律，据称一分钟即可讲完，使人豁然贯通。然而，由于后来科学研究任务繁重，许先生最终也未能如愿将这一公式整理出来。

而对这一游戏规律的探寻，也就一直传承到了十余年后许宝騄任教的西南联大学生身上。在本文中，世界著名物理学家、诺贝尔物理学家杨振宁先生完整记录下了他对该问题“Modulo 4”解法的论证。

撰文 | 杨振宁

1940年前后，在西南联大物理系和数学系的师生们许多都喜欢玩一个移动2n个围棋子的游戏。我也对它花过不少时间，始终未能完全解决。20多年后在美国我重新研究它，终于解决了所有n=3,4,5……的游戏，可是没有把答案写下来，只记得解决的一个关键方法是modulo 4。

最近看到一本关于许宝騄[1]的书，《道德文章垂范人间》，其中316页上有一篇俞润民的文章[2]，说许曾研究“移棋相间法”，曾发现“合四为一之新律”。我猜，此新律恐怕就是后来我发现的modulo 4方法。

这几天重新研究此游戏，再度得到全解，在下面描述。