第五届中国科协优秀科技论文——拓扑与拓扑序列熵

热烈祝贺L’ubomír Snoha、叶向东、张瑞丰三位老师的论文“Topology and topological sequence entropy”入选“第五届中国科协优秀科技论文”！

《中国科学：数学》英文版2020年第二期发表了L’ubomír Snoha、叶向东、张瑞丰的论文“Topology and topological sequence entropy”。在这篇论文里，作者研究了拓扑空间X与定义在其上的所有连续映射的拓扑序列熵组成的集合S(X)之间的关系，彻底地解决了S(X)所有可能的取值问题。本文入选“第五届中国科协优秀科技论文”。

动力系统研究的是系统经过长期演化后的极限行为。一个随着时间演化的系统经过长时间演化后一般是比较复杂的。因此，复杂性的研究一直是动力系统研究中人们十分关注的问题。为了描述一个系统的复杂程度，人们引入了不同的不变量来进行刻画系统，其中最重要的不变量就是测度熵和拓扑熵。测度熵由Kolmogorov在1958年引入，1965年 Adler 等人在拓扑动力系统中引入了与之相对应的概念：拓扑熵。有了熵这一概念之后，动力系统就可以从熵的角度分为两大类：正熵系统和零熵系统。

熵为正的系统是复杂的，但熵为零的系统仍然具有多种多样的复杂性。拓扑动力系统和遍历理论中的一些重要问题的最终解决依赖于零熵系统上的解决，例如Furstenberg的X₂，X₃猜测，Littlewood猜测等问题在正熵系统上已经得到解决，但在零熵系统上还没有什么进展。还有一些重要问题本身就是针对零熵系统提出的，例如 Wolf 奖得主Sarnak 提出的关于 Möbius 函数的正交性猜测。

刻画零熵系统复杂性的一个重要的不变量是序列熵。1967 年 Kushinirenko引入了测度序列熵的概念，1974 年Goodman 在拓扑动力系统中引入了拓扑序列熵的概念。2009 年黄文和叶向东引入了最大型熵的概念，证明了连续映射沿着所有序列的拓扑序列熵的最大值等于最大型熵。同时，利用动力系统的局部化理论，黄文和叶向东还证明了连续映射的最大型熵为log k，其中k为自然数或者无穷。

令X为一个紧度量空间，T:X →X 为连续映射。令h*（T）为T 的沿着所有序列的拓扑序列熵的最大值（简称为T的序列熵）。令S(X)为X到自身的所有连续映射T的序列熵h*（T）组成的集合。由黄文和叶向东的结果，对于任意的紧度量空间X，我们有{0} ⊂S(X) ⊂ {∞, 0, log2， log3, ...}。一个自然的问题是: 对于不同的空间X   ,S(X)有哪些可能的取值？之前的研究发现了S(X) 的三种可能取值，即{0}，{∞, 0, log2 }和{∞, 0, log2， log3, ...}。在本文中，作者利用独立性集的思想，借助于一类非常刚性的连续统—Cook连续统，对于任意满足{0} ⊂ A ⊂ {∞, 0, log2， log3, ...}的集合A，构造了一个一维的连续统X_A使得S(X_A)=A，从而彻底地解决了S(X)的所有可能取值的问题。在证明的过程中，Cook连续统起到了重要的作用，这也说明了利用Cook连续统可以构造一些特殊的空间，使其具有一些非平凡的动力学性质。同时，本文的思想和方法对于空间X上连续映射拓扑熵的取值研究有重要的启发作用。

作者简介

L’ubomír Snoha

Matej Bel 大学教授

叶向东

中国科学技术大学数学科学学院教授。1979年至1985年在中国科学技术大学数学系学习，分别获学士、硕士学位。1986年赴前苏联莫斯科大学数学和力学系学习，1991年获前苏联副博士学位（即Ph.D）。1991年至1993年在意大利国际理论物理中心从事博士后研究。1993年回校任教。1995年起任中国科学技术大学教授。长期从事基础数学中拓扑动力系统、遍历理论以及它们在组合数论中应用的研究。在国际高水平数学杂志上发表论文90多篇，多次在国际学术会议上作邀请报告。2013年获得第十四届陈省身数学奖；2018 年获国家自然科学二等奖（第一完成人）。2019年当选中国科学院院士。

张瑞丰

合肥工业大学数学学院副教授。1999年至2008年在中国科学技术大学数学系学习，分获学士、博士学位，导师为叶向东教授。2008年至今在合肥工业大学数学学院工作，长期从事拓扑动力系统和遍历理论方面的研究。