Stata: 空间计量溢出效应的动态GIF演示

• 原文：How to create animated graphics to illustrate spatial spillover effects

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• 6 March 2018

• 作者：Di Liu, Senior Econometrician

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这篇文章展示了如何创建动画图形，以展示空间自回归（SAR）模型生成的空间溢出效应。阅读本文后，您可以创建如下的动态图形。

连享会-德州犯罪率-空间溢出效应

后文包括三个部分：首先，介绍如何估计 SAR 模型的参数；其次，解释 SAR 模型为什么可以产生空间溢出效应；最后，展示如何创建一个动态图形来说明空间溢出效应。

SAR 模型

我想分析一下德克萨斯州各县的凶杀率与失业率的关系。我猜想一个县的凶杀率会对邻近县的凶杀率造成影响。

我想回答两个问题：

1. 如何构建这样一个模型，在这个模型中明确的允许一个县的凶杀率依赖于邻近县的凶杀率。

2. 根据这个模型，如果“达拉斯”（德克萨斯州的一个城市）的失业率上升到 10％，那么与达拉斯县邻近的县的凶杀率将如何变化呢？

建立SAR模型

首先，考虑标准线性模型，即某一个县 i 的凶杀率 是该县失业率线性函数

SAR 模型构建了某一个县 i 的凶杀率 依赖于其邻近县的凶杀率。此时，需要一些新的符号来定义 SAR 模型。具体的，如果区域 j 和区域 i 相邻，则设 为正数，如果两者不相邻，则 为 0 。由于区域 i 不可能和自己相邻，所以当 i = j 时， 也为 0。

有了这个符号，构建某一个县 i 的凶杀率依赖于其邻近县凶杀率的 SAR 模型可以写成

其中， 定义了第 i 个县和第 j 个县的邻近程度。 是县 i 的邻近县的凶杀率的加权总和，它表示邻近县的凶杀率对县 i 凶杀率的影响。

将每个县 i 的邻近县的信息按 叠加得到一个矩阵 ，矩阵记录了每个县i 的邻近县的信息，矩阵称为空间加权矩阵。

我们所使用的空间加权矩阵具有特殊的结构;每个元素要么是值 c ，要么是 0，其中 c > 0。这种空间加权矩阵称为 归一化邻近矩阵。

在 Stata 中，我们使用 spmatrix 命令来创建空间加权矩阵，并使用 spregress 命令来拟合截面 SAR 模型。

首先，我从 Stata 网站下载美国各县谋杀率的数据集，并创建一个仅保留德克萨斯州各县数据的子样本。

1. . /* Get data for Texas counties' homicide rate */

2. . copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990.dta ., replace

3. . use homicide1990

4. (S.Messner et al.(2000), U.S southern county homicide rates in 1990)

5. . keep if sname == "Texas"

6. (1,158 observations deleted)

7. . save texas, replace

8. file texas.dta saved

直观地，指定所有地域的地图边界的文件被称为shape文件。我们需要从 Stata 网站下载与数据集texas.dta 相匹配的shape数据集 homicide1990_shp.dta，这个数据集记载了德克萨斯州所有县的地图边界信息。然后，我们使用spset命令，将数据集 texas.dta 与 shape 数据集 homicide1990_shp.dta 相关联，即将其设定为空间数据。

1. . /* Get data for Texas counties' homicide rate */

2. . copy http://www.stata-press.com/data/r15/homicide1990_shp.dta, replace

3. . spset

4. Sp dataset texas.dta

5. data: cross sectional

6. spatial-unit id: _ID

7. coordinates: _CX, _CY (planar)

8. linked shapefile: homicide1990_shp.dta

然后使用 spmatrix 命令创建一个标准化的空间权重矩阵。

1. . /* Create a spatial contiguity matrix */

2. . spmatrix create contiguity W

根据上述数据和空间权重矩阵，可以估计模型参数。

1. . /* Estimate SAR model parameters */

2. . spregress hrate unemployment, dvarlag(W) gs2sls

3. (254 observations)

4. (254 observations (places) used)

5. (weighting matrix defines 254 places)

6. Spatial autoregressive model Number of obs = 254

7. GS2SLS estimates Wald chi2(2) = 14.23

8. Prob > chi2 = 0.0008

9. Pseudo R2 = 0.0424

10. ------------------------------------------------------------------------------

11. hrate | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval]

12. -------------+----------------------------------------------------------------

13. hrate |

14. unemployment | .4584241 .152503 3.01 0.003 .1595237 .7573245

15. _cons | 2.720913 1.653105 1.65 0.100 -.5191143 5.960939

16. -------------+----------------------------------------------------------------

17. W |

18. hrate | .3414964 .1914865 1.78 0.075 -.0338103 .7168031

19. ------------------------------------------------------------------------------

20. Wald test of spatial terms: chi2(1) = 3.18 Prob > chi2 = 0.0745

空间溢出

现在我们准备解决第二个问题，利用上文提到的 spregress 命令估计的结果计算空间溢出效应，具体可以分三步进行：

1. 利用原始数据预测谋杀率。

2. 将达拉斯（"Dallas"）的失业率改为 10％ 并再次预测谋杀率。

3. 计算两次预测之间的差异并绘图。

1. . preserve /* save data temporarily */

2. . /* Step 1: predict homicide rate using original data */

3. . predict y0

4. (option rform assumed; reduced-form mean)

5. . /* Step 2: change Dallas unemployment rate to 10%, and predict again*/

6. . replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"

7. (1 real change made)

8. . predict y1

9. (option rform assumed; reduced-form mean)

10. . /* Step 3: Compute the prediction difference and map it*/

11. . generate double y_diff = y1 - y0

12. . grmap y_diff, title("Global spillover")

13. . restore /* return to original data */

上面的图表显示，达拉斯失业率的变化，不仅影响了达拉斯本地区的谋杀率，也影响了与达拉斯相邻的地区的谋杀率。也就是说，达拉斯的变化波及到附近的县，这种影响被称为溢出效应。

SAR 模型与空间溢出

在本节中，我将说明为什么SAR模型会产生溢出效应。在此过程中，我提供了一个用于创建动画图形的效果公式。 SAR 模型的矩阵形式是

求解的值

给定  的值下  的平均值，被称为  在  的条件下的期望。因为  独立于，  在  下的条件期望是

注意，由于  是一个向量，这个条件期望公式指定了德克萨斯州每个县的平均值。

我们使用这个等式来定义，当 从一组值变化到另一组值后， 的变化效果。具体而言， 为来自原始观察数据中的协变量值；将 中达拉斯的失业率修改为 10％，其余数据均保持不变，即为 。通过这种表示，我们计算从 到 的改变所引起的德克萨斯州每个县的平均谋杀率的变化。

其中，。

接下来，我们以 SAR 模型为基础，构造用于产生动图的表达式。 SAR 模型之所以被广泛使用，正是因为它们满足稳定条件。 这种稳定条件表明逆矩阵 可以写成指数大小逐渐减小的各项之和。 这个条件即为：

将公式 (2) 代入公式 (1)，得到

这即为生成动态图形效果的表达式。

公式 (3) 中的每一项都很直观，这在我们所展示的案例中很容易解释：

• 第一项 () 是初始效应变化，它只影响达拉斯地区的凶杀率。

• 第二项 () 是达拉斯地区凶杀率的变化对其邻居的影响。

• 第三项 () 是达拉斯地区凶杀率的变化对达拉斯邻居的邻居的影响。依次类推，可以得到其他变量的含义。

为溢出效应创建动态图形

我现在描述如何生成动态图。 每个图使用公式 (3) 中每一项子集绘制变化图。 第一个图仅显示第一个项计算的变化。 第二个图仅显示从第一项到第二项计算的变化。 第三个图仅显示从第一项到第三项计算的变化，以此类推。

代码的前四个步骤执行以下操作。

1. 计算并绘制

2. 计算并绘制 

3. 计算并绘制

4. 计算并绘制

步骤 5 到 20 执行类似的操作。最后，结合步骤 1 到步骤 20 中的图形，创建一个动态图形。 下面的代码展示了此过程：

1. 1 /* get estimate of spatial lag parameter lambda */

2. 2 local lambda = _b[W:hrate]

3. 3

4. 4 /* xb based on original data */

5. 5 predict xb0, xb

6. 6

7. 7 /* xb based on modified data */

8. 8 replace unemployment = 10 if cname == "Dallas"

9. 9 predict xb1, xb

10. 10

11. 11 /* compute the outcome change in the first step */

12. 12 generate dy = xb1 - xb0

13. 13 format dy %9.2f

14. 14

15. 15 /* Initialize Wy, lamWy, */

16. 16 generate Wy = dy

17. 17 generate lamWy = dy

18. 18

19. 19 /* map the outcome change in step 1 */

20. 20 grmap dy

21. 21 graph export dy_0.png, replace

22. 22 local input dy_0.png

23. 23

24. 24 /* compute the outcome change from step 2 to 11 */

25. 25 forvalues p=1/20 {

26. 26 spgenerate tmp = W*Wy

27. 27 replace lamWy = `lambda'^`p'*tmp

28. 28 replace Wy = tmp

29. 29 replace dy = dy + lamWy

30. 30 grmap dy

31. 31 graph export dy_`p'.png, replace

32. 32 local input `input' dy_`p'.png

33. 33 drop tmp

34. 34 }

35. 35

36. 36 /* convert graphs into a animated graph */

37. 37 shell convert -delay 150 -loop 0 `input' glsp.gif

38. 38

39. 39 /* delete the generated pgn file */

40. 40 shell rm -fR *.png

此代码使用由 spregress 命令估计过程中所产生的 ereturn 类的返回值及其相应的 predict命令。

• 第 2 行将 的估计值放在局部暂元 lambda 中。

• 第 5, 7, 8 和 9 分别计算 和 下的 ，并将其存储在 xb0 和 xb1 中。

• 第 12 行计算 () 并将其存储在 dy 中。

• 第 16 行和第 17 行存储当 p = 0 时  和 的初始值。

• 第 20-22 行生成动态图中的第一个图。当全部代码完成时，局部暂元 input 将包含用于创建动态图形中的每一张图形。

• 第 25-34 行计算并绘制剩余项目的图形。第 26 行使用 spgenerate 命令计算 。

• 第 27-33 行执行与 dy 类似的操作。

• 在第 37 行，我使用 Linux 工具 “convert” 来组合图形以生成动态图形。在Windows上，我可以使用 FFmpeg 和 Camtasia 等软件。有关详细信息，请参见Chuck Huber的How to create animated graphics using Stata

• 第 40 行删除所有不必要的 .png 文件。

下面是由此代码创建的动态图形。

小结

在这篇文章中，利用德克萨斯州案例，我讨论SAR模型如何解释溢出效应。我还介绍了如何将溢出效应计算为累加和，并利用累积的总和创建了一个动态图形，说明了这些溢出效应是如何在德克萨斯州的各个县蔓延的。

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