严密的数学对物理学不重要吗？

hand-waving argument是物理学家的习惯行为。在物理学的文献里，经常难以分辨究竟是作者认为如此还是作者证明如此。

很多物理学家对数学的态度是淡漠的。在他们看来，一个永恒的数学定理还比不上nature，science上一个时髦文章。有次我跟一个同事讲，两费米子波函数的正则分解是如此的漂亮，可是它居然不出现在任何一本量子力学教材里，真是遗憾。结果他说，每次你讲这种话，我都disregard it。

他们就是喜欢玩hand waving，美其名曰谈物理图像不谈数学细节，此乃大师风范。

可是，有些时候这是玩不转的。

一个经典的例子是计算离子晶体的马德隆常数（madlung constant）。学过普通物理的可能都遇到过这个问题。考虑一个高中化学课本上的NaCl晶体。正的Na离子和负的Cl粒子相邻分布。现在要计算正负电荷间的库仑势。问题归结于计算单个Na离子在晶格里的势。这个问题乍一看非常简单，无非按照库仑定律把周围的正负离子的贡献加起来而已。可是，这是一个“无穷“级数求和问题。凡是无穷的东西都得小心。这个级数不是绝对收敛的（这点非常容易证明）。所以 ，这个级数如果收敛，那么它收敛的原因仅仅是因为里面有正的项也有负的项，正负适当抵消。所以，这最多是一个条件收敛级数。伟大的黎曼证明了，一个条件收敛的级数可以通过改变求和顺序使得级数和收敛到任意实数，甚至发散到无穷。所以，在我们的问题里存在一个求和顺序的问题。

哪个顺序是对的？首先，哪个顺序会导致收敛的结果？其次，那些导致收敛的方案是否确实得到物理上正确的结果？

在无数中方案中，有两种比较自然。这两种都是包洋葱的模式。第一种是用球形的洋葱皮，也就是按照离原点处的Na离子的欧几里德距离，由近到远，一层一层地求和；第二种是用正方体形的洋葱皮，也就是把晶格分解成一个套一个的正方体，仍然是由近及远，一层一层地求和。简单的数值计算可以揭示，第一种方案不收敛！第二种方案收敛！见wiki

http://en.wikipedia.org/wiki/Madelung_constant

hand waving能够预料这个结果？hand waving能够解释这两种不同的行为？第二种方案的结果就是对的吗？

这个问题的解决必须靠严格而深刻的数学。所幸有数学家做了。他们的工作发表在不那么高大上的 j. math.phys. 上面：

http://scitation.aip.org/content/aip/journal/jmp/26/11/10.1063/1.526675

文章是这样处理原来的条件收敛级数求和的。先把问题嵌入到一个更大的更一般的问题里。具体而言，就是定义一个含有一个参数的级数，级数在某个特定参数下的形式跟开始的级数符合。这个级数在某个区域绝对收敛，从而定义了一个在复平面一定区域内解析的一个函数。然后将函数做解析延拓，延拓到那个特定参数时的值就是物理问题的解。这个做法跟定义伽马函数到全平面的做法一样。

这个路子就能告诉你，哪些求和方案会导致收敛，并且收敛到正确的（物理的）结果。比如，按照长方体或者菱形分解的方案也是收敛的，并且收敛到同一个值。

所以，一个普通物理范畴里的问题，也会对hand waving专家构成严重挑战。

后记：j.math.phys.的影响因子才1.1，但是其引用半衰期大于10年！可见数学物理这个圈子里工作的扎实程度非其他圈子可比。数学物理里，我心目中的天下第一是E.H.Lieb。他文章的引用半衰期貌似可比拟铀238的半衰期。

（来源：张江敏科学网博客）

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