如果问物理学家我们的世界究竟有多少个维度？

其他

如果问物理学家我们的世界究竟有多少个维度？

2017-01-16 正恩中科院物理所

我们物理世界的一个特点如此显而易见，以至于大多数人从未怀疑过空间是三维的这一事实。
——海兹·帕各斯

我们所身处的这个世界究竟有多少个维度？这取决于你问的是谁。

【工程师、数学家和物理学家】

如果你问一位工程师，他会拿出一个分度器和直尺进行测量，并很快就会得出世界是三维的：长、宽、高。的确，这三维已经足以描述我们的可见宇宙中的所有物体。

△ 一维到三维。（图片来源：PBSinfinite）

如果你问一位数学家，她则拿出他的笔记本，开始在纸上画出一系列常规、对称的几何图形。从四条边的正方形，到六个正方形面的正方体，再到八个立方体胞的超立方体。他发现自己可以一直这么玩下去，于是他给出的答案是：“无限”。

△ 从二维的角度看，一个三维的球穿过一个平面时，会看到一个变大再变小的圆盘。（图片来源：PBSinfinite）

最后，同样的问题你问了一位物理学家。她仰望星空，并仔细的记录恒星的行为。她认为恒星之间会受到引力的作用相互吸引，引力的大小会随着它们之间的距离的平方而递减。她认为这是三维空间的一个迹象。但是，当她推导从恒星发出的光在空间中是如何传播的方程时，她发现用四维来表达最合适。接着，经过深思熟虑，她试图把引力和光用一个理论框架来描述，但这需要至少十个维度。她总结到：“三维，四维，或许更多。”

△ 如果将一个四维的球体穿过三维世界，我们会看到一个三维球体，从小变大再变小。（图片来源：PBSinfinite）

接下来，我们想要探讨的是物理学家是如何得出这个结论的。

【三维世界】

三维语言看起来比（四维）更加适合用来描述我们的世界。
——亨利·庞加莱

1917年，奥地利物理学家保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest）就写过一篇富有启发性的论文【1】。在文章中他枚举了许多证据证明三维是描述我们这个世界最完美的维度。

例如，他注意到太阳系中行星稳定的轨道和原子中的电子静止状态需要力的平方反比定律。如果引力随着离太阳距离的立方递减，而不是平方，那么行星就不会遵循稳定、椭圆的轨道。

△ S代表引力源，r 代表离源的距离。（图片来源：Wikipedia）

我们现在来思考一下平方反比定律是什么意思。想象有一个气泡，正好能够包围一个行星的轨道。气泡的表面面积（A）正比于径向距离（r）的平方，即 A = 4πr² 。面积会随着 r² 膨胀，但是太阳引力场的强度则会随着气泡的表面面积的增大而相应的减弱。因为一个气泡，包括它的内部，是三维的，空间自身也必须是三维的。简单来说，引力随着距离的平方逐渐减弱（通过气泡表面面积的引力总量是不变的）的这个事实就暗示着空间的三维性。

【空间与时间的联姻】

每一个生活在数学之乡格廷根的男孩，都比爱因斯坦更懂得四维几何。但是，尽管如此，是爱因斯坦完成了这项工作，而非数学家。
——大卫·希尔伯特

然而，宇宙并不只有空间。1907年，爱因斯坦曾经的老师，数学家闵可夫斯基用超越传统三维的新颖形式，重写了狭义相对论。他发现与其将空间和时间看做是独立的，我们可以把时间当做第四维，并统一成“时空”，这样就可以更简洁地表达狭义相对论。之后，爱因斯坦在广义相对论中，就利用动态的四维模型来描述引力。

【进入五维时空】

“用五维连续来取代四维的，然后，为了解释其中一维没有显现的事实，而将它人为地卷曲起来，这是很不正常的事情。”
——爱因斯坦致信埃伦费斯特

虽然三维空间是如此显而易见和直观的，但从来没有阻止科学家去思考更多的可能性。

1921年，德国数学家 Theodor Kaluza 认为空间或许有四个维度，因此时空共有五维。他之所以得出这个结论是因为当时他在研究爱因斯坦的广义相对论时发现了一个惊人的数学事实。

广义相对论是基于四维时空描述的，但是Kaluza将方程用五维重新描述。当他这么做的时候结果是惊人的。从正常的四维观点看，Kaluza的方程会变成爱因斯坦的方程，但多了几个额外项（描述额外维）。

而这几个额外项可以精确的描述麦克斯韦的电磁学。通过增加一个空间维，Kaluza 意外的将两种基本力——引力和电磁力——统一了。乍一看这好像只是数学上的雕虫小技，Kaluza只是把时空的维度从四维扩展到五维，但却把光和引力——它们看起来毫无共同之处——统一起来。

这个美妙的理论连爱因斯坦都心动了。但五维理论只有一个瑕疵：额外维在哪里？我们看不见。答案来自一位瑞典的物理学家 Oskar Klein。他想，或许是因为空间的第四个维度太小了。

这很好理解，只要想象一根吸管。从远处看，吸管就是一维的线，但只要观察的足够近就会发现它其实是根管子。Klein 认为Kaluza的额外维度会卷曲成看不见的小圆圈，尺度为10⁻³³厘米。这个尺度太小了，以至于目前任何实验都无法直接探索它的存在。

△ 在时空的每一点都有个额外的卷曲的维度。（图片来源：WGBH/NOVA）

他们的理论还有一个结果就是这个圆圈的半径必须是固定的，在空间和时间上都不发生改变。而这也是整个理论的致命弱点。原因在于额外维的半径会破坏爱因斯坦广义相对论的实质，即时空几何是动力学的。

1920年代末，物理学家专注于发展量子力学。除了爱因斯坦和他的助手外，只有非常少数的科学家研究看不见的额外维度。

【弦理论家登场】

弦理论本是21世纪的物理学，却偶然地落到了20世纪。
——爱德华·威滕

直到1970年代，一些物理学家开始思考我们能否统一已知的四种基本力，除了引力和电磁力，还有弱核力和强核力。弦理论家开始登场了，他们复兴了Kaluza和Klein的理论。（读者可查看《十个问题，带你认识弦理论》了解弦理论的基础）。超弦理论所需要用到的数学要求存在至少十个维度。也就是，为了让描述超弦理论的方程能够运作——连接广义相对论和量子力学的方程，解释自然界中的粒子，统一基本力等等——他们必须发明额外的维度。弦理论家认为这些额外维度就跟Kaluza和Klein所认为的那样，会卷曲成很小的圆圈——用术语说就是“紧致化”。结果是，物理学家必须思考如何紧致化额外的六个维或更多。

△ 六维的卡拉比-丘成桐空间，正是超弦理论所需要的额外维。（图片来源：WGBH/NOVA）

最后，弦理论家发现，两位数学家Eugenio Calabi和Shing-Tung Yau已经描述了一个六维的几何形状，正是弦理论方程所需要的。如果我们用卡拉比-丘成桐空间来代替在空间中卷曲的圆圈，我们就会得到十维：三维空间，加上六维的卡拉比-丘成桐空间，再加上一维时间。

【M-理论】

我们要的不是弦的独裁统治，而是所有膜的明主主义！
——保罗·汤森

弦理论发展到1990年代中期之前，物理学家找到五种不同的弦理论，它们相互分离而且没有关系。后来，威腾发现存在着一个所谓的对偶性的关系网，可以把五种弦理论以及十一维超引力（这是一种结合超对称和广义相对论的场论）连接在一起。不同的弦理论只不过是同一基本理论的不同表述，这个理论称为M理论。除了弦，它还包含了高能的“膜”（Brane）。M理论预言了大额外维度的可能，“大”意味着“可能被观测到”。

△ M理论：将五种超弦理论与超引力联系在一起。（图片来源：Wikipedia）

很快，理论家发现大额外维或许可以解决一个难题，叫做等级问题，即为什么引力相比其它的基本力要弱很多？（详见《超对称的崛起和衰落》和《引力子真的存在吗？》中的讨论。）大额外维是我们在寻找终极理论中的激动人心的新进展。它们意味着我们生活在一个膜世界中。

△ 引力从时空的“膜”传播到高维的“体”。（图片来源：learner.org）

“膜世界” 首次由Nima Arkani-Hamed， Savas Dimopoulos和Gia Dvali（简称“ADD”）提出的，后来由Lisa Randall， Raman Sundrum和其他人继续发展。在膜世界中，现实包含了两个膜，由一个更高维度空间的“体”（bulk）分开。大部分粒子会吸附在其中一个膜上。因此，这个膜就是我们熟悉的物理世界。而像引力子（传播引力的粒子）则可以发散到额外空间。由于引力跟我们熟悉的膜作用的时间很少，因此引力要比其它的基本力弱很多。

这个想法很好，但我们更加关心的是额外维能够被验证？

【验证额外维】

2012年，大型强子对撞机（LHC）发现了希格斯玻色子后，它现在的主要任务之一就是验证看不见的额外维的可能性。我们要怎么验证额外维？理论家提出了三种可能性：

我们要找到那些只存在于额外维（如果是真实的）的粒子。理论预测，标准模型的每一个粒子都有它们各自更重的版本存在于其它维上。这些重版本的粒子叫做Kaluza-Klein态，它们跟标准模型粒子的性质一样，除了更重，因此可以被我们的探测器看到。例如，如果LHC找到W玻色子，但是质量要大出100倍，那就可能证明了额外维的存在。
如果引力子存在，就有可能在LHC中被创造，但它们很快就会消失到额外维去。在加速器中，对撞会产生许多粒子并往不同的方向传播。一个引力子可能会穿过探测器，不被探测到，这就会导致事件中动量和能量的不平衡。我们就需要认真的研究丢失的物体，是否是引力子逃脱到额外维度或别的地方。寻找丢失的能量也被用来寻找暗物质和超对称粒子。
另一个额外维的证据是在LHC会出现微型黑洞。我们究竟会探测到什么取决于额外维的数量，黑洞的质量，维度的大小，以及会产生黑洞的能量。如果在LHC的对撞中会产生微型黑洞，它们也会在极短的时间，大约10^-27秒内衰变。它们会衰变成标准模型粒子或超对称粒子，从而产生额外数量的粒子，很容易被探测器看到。