相对论百年 | 纯粹理性思维的巅峰之作（上）
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引言1915年11月25日，36岁的爱因斯坦在普鲁士科学院报告了“基于广义相对论对水星近日点运动的解释”[1]，接着在1916年第7期的物理年鉴上正式发表了“广义相对论基础”[2]一文，对广义相对论作了系统的阐述，并特别地在B部分把发展广义相对论所采用的数学工具以最简单明了的方式(in moglichst einfacher and durchsichtiger Weiser)作了介绍，以免物理学家为了理解广义相对论还要费心去学习那些数学。这标志着广义相对论的诞生。广义相对论是爱因斯坦历经七年切磋琢磨而成的纯粹理性思维之巅峰之作，其采用的数学工具抽象艰涩，其得出的物理结论出人意料，而贯穿其中的创造者的敏锐直觉更让人自叹弗如。在1919年恒星光线经过太阳附近发生弯折的预言被观测证实以后，爱因斯坦一夜之间成了家喻户晓的人物，相对论成了艰深学问的符号，而“爱因斯坦”干脆就是天才的同义词。
爱因斯坦是20世纪最伟大的科学家，和牛顿一样是所有时代最伟大的科学家。在所谓的20世纪物理学两大支柱之中，爱因斯坦独立成就了一个(相对论，包括狭义相对论和广义相对论)，并影响和塑造了另一个(量子力学)，这个行止笨拙的教授简直就是“纯粹智慧的化身”。人们对爱因斯坦的赞誉从来都不吝文辞，美国《时代周刊》称赞他为天才中的天才，只是通过冥想就能发现宇宙并不是如我们所见的那样。或许杨振宁先生的评价最为专业、中肯:“(爱因斯坦是)一个特立独行的思想者，无畏、独立、富有创造性，而且执着。”[3,4]
时光茬蒋，转眼间广义相对论已面世百年。广义相对论和它的创造者一直在影响物理学甚至数学的发展[3,4]。无疑地，对广义相对论创立百年最好的纪念是学习它从而能从专业的角度去欣赏它;倘若是能掌握它并用之于研究，对于一个物理学习者来说，那该是怎样的赏心快事。
本文讲述一个不专业的物理学习者对广义相对论及其创造者的礼赞，内容涉及相对论发展的所有阶段以及爱因斯坦以外的很多伟大学者。不把爱因斯坦置于一堆天才及其伟大创造的背景之上就无法显出爱因斯坦是天才中的天才，重要的是广义相对论也会看似无源之水。沿着朴素的相对论、伽利略的相对论经狭义相对论抵达广义相对论，一路上的智力风景会让人惊讶不已。爱因斯坦工作的特征包括深度、眼界、想象力、执着与独立性[3,4]，如要深刻理解和学习爱因斯坦的这些伟大品质，阅读其著作也许才是正确的途径。
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朴素的相对论据说物理学开始于~2600年前，米利都学派的泰勒斯某一天突然领悟到自然是可以认识的，而非总是要简单地把其中发生的一切都归于神的意志。物理学由此兴起，到开普勒(1571-1630)的时代物理学已经相当成熟，人类通过观察思考获得了相当丰厚的力学、光学和天文学知识。一个值得注意的事实是，人们观察自然现象时多是以自身为参照点的;就关于更广大的宇宙图景来说，地心说是观察者将观察者的脚下作为参照点的自然而然的结果（对于那时的人类来说，有别的选择吗？）。
开普勒1601年自第谷手中继承的行星轨道观测数据就是以地球为中心的，若将火星的轨道画出来，大致上如图1所示。对这样的轨道要想给出一个简明的数学描述，太挑战人的数学才能了。将参照点移到太阳上，重新计算的火星轨道看起来则是一个简单多了的闭环。开普勒尝试用卵形线去描述这样的火星轨道，在一番失败以后，他于1605年引入了椭圆轨道的概念，这构成了所谓的开普勒第一定律。注意，开普勒第二定律是1602年就被发现了的。
将一组观测数据换个参照点重新计算，其不言而明的假设是这并不会带来所关切之现象背后物理规律的改变。若将物理规律写成F(x,λ)=0，λ代表除位置坐标x以外的任何变量，参照点改变对应的物理规律不变性意味着对于任意的x0，F(x- x0, λ)=0成立。这个位置坐标的平移变换对应的不变性，即空间没有择优的起点，应该算是最初的、朴素的相对论，对应佛家智慧的“无去来处”。关于位置坐标的平移变换，在复杂一些的晶体对称群和伽利略群/洛伦兹群中都是出现的(前者的位移是离散化的有限值，后者的位移是连续的)，只是很少被特别强调而已。
如果说物理规律相对于观察点移动的不变性有些抽象的话，放在具体的物理现象中去考察就容易理解的多。比如由等量正、负电荷组成的体系，其电偶极矩就与参照点，或曰坐标原点，的选择无关。
行星轨道之奥秘的破解，关键的一步在于默认物理规律和物理现实不依赖于观察点的选择。可以理解开普勒构造出行星运行三定律时的兴奋，他得意地暗示他是那个上帝等了六千年才等到的勘破这个秘密的人，并说他的书也许要等一个世纪才能等来它的读者[5]。
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伽利略相对论人们在日常生活中还注意到，某些运动是不易觉察的。我国东汉时期的《尚书纬·考灵耀)>中就有句云:“地恒动不止而人不知，譬如人在大舟中，闭牖而坐，舟行而不觉也。”无独有偶，伽利略在1632年的《关于两个主要世界体系的对话》中描述他的相对性原理时用的也是大船的例子，不过那船里的人们有更多的主动探索的成分。若船在水面上匀速前行，船里的人会看到“水自瓶儿中滴出，鱼在缸中游动，蝴蝶儿在舱中飞舞，一切如常”，也就是说在舱中的人通过对舱内运动的观察无法判断船的动静。此结论对应佛家智慧的“动静等观”(图2)。
伽利略的相对论，用数学语言来说，就是变换r'=r-vt; t'=t不会带来物理规律的变化，因此我们无从判断我们是在哪样的匀速平移运动中。伽利略的相对论是稍后出现的牛顿力学的相对论。牛顿力学的公理包括:1)存在一个绝对的空间（按照彭罗斯的说法，牛顿没有纤维丛的槪念，他只好求助于绝对空间），在其中牛顿定律成立。相对于绝对空间作匀速直线运动的参照系是惯性系;2)所有的惯性系共有一个普适的时间。显然，对于形如md2r/dt2=-▽φ(r)的牛顿运动定律，作伽利略变换后其形式保持不变。伽利略相对论是对哥白尼日,Ls说更强的支持，因为在运动着的地球上我们的观测数据指向(或者说得自)同样的运动规律。地球是运动的观点就不是那么令人难以接受了。
在伽利略相对论中，绝对空间的概念被放弃了。在每一个时刻，都有一个不同的三维欧几里得空间，用卡当的几何语言，伽利略时空是一个基空间为R'(时间)纤维为R3(空间)的纤维丛，不同纤维之间不存在点到点的对应[6]。伽利略时空中的测地线定义了牛顿的惯性运动;粒子加到其它粒子上的力是没有时间延迟的，即它们总在同一个R3空间内;而物理定律必须是伽利略变换不变的。伽利略相对论中一般性的时间一空间变换可表示为x’=Rx+vt+d, t'=t+τ（此变换中R是描述3D空间转动的矩阵，它和速度v、空间平移矢量d各有3个自由度，加上时间平移τ，此变换共有10个参数。去除勾速运动项，且若平移矢量d只取一组线性无关基矢的整数倍线性组合，即
亚里斯多德的物理学，开普勒的行星运动定律，伽利略的相对论，牛顿力学及万有引力理论，这些还都是离地面不远的物理学。
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狭义相对论狭义相对论发展的主线之一是实用的启发。巴黎老城区市政厅与巴黎火车站之间时钟时间的差别对市民来说已是不小的烦恼，而不同火车站之间时钟时间的差别对德军参谋总长来说是会耽误军机大事的，电报为(粗略)协调各火车站的时钟时间提供了技术上的可能[7]。催生狭义相对论的现实三要素，火车、钟表和电报，在19世纪最后几年凑到了一起。注意到机械表都有个调节时间的旋钮，就不难理解同时性是个值得商榷的概念—绝对同时性的概念被质疑了。
狭义相对论发展的另一条主线是对电磁学理论的深入研究。麦克斯韦在引入位移电流的概念后把电磁学的经验定律写成了优美的麦克斯韦方程组，而这个方程组是可以导出波动方程
当时光进入20世纪的前几年，狭义相对论所有元素都已齐备，但是是爱因斯坦将之发展成了基本的物理学原理。爱因斯坦很早就注意到了麦克斯韦电磁理论应用到运动物体上时会显现出某种不对称性—磁体靠近导体和导体靠近磁体的描述有不一致的地方。对这个问题的思考不是青年爱因斯坦作为专利审查员闲来无事的消遣。1880年，爱因斯坦全家移居慕尼黑，其父亲兄弟俩创立了一个电机厂(Elektrotechnische Fabrik)，制造基于直流电技术的电气设备。这个厂子到1894年因为直流技术在对交流技术的竞争中失败而倒闭，但是此时巧岁的爱因斯坦已经从这个成长氛围中获得了足够多的电磁学知识和足够深入的思考。他注意到了力学与电磁学之间的不协调，以及经典电磁理论应用到运动物体上时的不对称性。到1905年他的奇迹年，爱因斯坦应已经思考该问题多年了。
爱因斯坦狭义相对论的关键思想是对绝对同时性的放弃以及宣称相对于任何运动的发射体光速是恒定的且光速是速度的上限[10]。基于这些观点给狭义相对论或爱因斯坦贴上“革命性”的标签，愚以为太过了些——爱因斯坦在文章中是用相当委婉的语调阐述其观点的。
狭义相对论直到闵可夫斯基引人时空的概念才算完成，狭义相对论的时空是四维的闵可夫斯基空间，这个空间是平直的，在其中空间坐标和时间具有形式上的等价性。绝对时间的概念被放弃，时间不再是时空流型的基空间。由于存在光速作为速度上限，因此每一点可到达的物理空间由一个光锥所决定(图3)。可以把光锥看作是切空间中的结构，那里光锥被称为零锥(null cone)。零锥在切空间中是球形的，由方程gμνvμvν=0决定，其中vμ，vν是切空间中的矢量，gμν是闵可夫斯基度规。把有限光速当成基本的物理就是把光锥的结构当成基本的[6]。零锥决定狭义相对论中的因果律。
由电磁学理论而来的狭义相对论，或者洛伦兹协变性，以及由此导出的时空观念，很容易将电磁学理论(法拉第与麦克斯韦的场论)重新表述。经典的动力学理论也可以加以改造以使其满足洛伦兹协变性[1,2]，一个典型的例子是洛伦兹力作用下带电粒子的运动问题。但是，牛顿万有引力力学不能被纳入狭义相对论的框架，爱因斯坦决定将相对论扩展（因此，广义相对论的英文既有general relativity也有generalized relativity或者generalized theory of relativity的说趁）到引力场。
参考文献
[I] Einstein A. Erklanzng der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitatstheorie (基于广义相对论对水星近日点进动的解释).Sitz. Preul3. Akad.Wiss.,1915. 831-839
[21 EinsteinA. Annaten der Physik,1916,354 (7):769
[3] Yang Chen-Ning. Physics Today,1980, (6):42
[4] Yang Chen- Ning. Studies in the History of Natural Sciences, 2005,24:68
[5] 1#epler 7. Gesammelte Werke(全集).Band 18,C.H.Beck(1937-1969)
[6] Penrose R. The road to reality. Vintage books, 2004
[7] Galison P. Einstein's Clocks and Poincare's Maps: Empires of Time.WW Norton&Company, 2004
[8] Voigt W Gottinger Nachrichten,1887 , 7:41
[9] Einstein A. Annalen der Physik,1905,18 (13):639
[10] Einstein A. Annalen der Physik,1905 ,17 (10) : 891
[11] Weinberg S. Gravitation and cosmology:principles and applica-dons of the general theory of relativity. John Wiley&Sons,1972
[12] Carroll S. Spacetime and Geometry. Addison Wesley,2004
[13] Einstein A. Kosmologische Betrachtungen zur allgemeinen Relativitaetstheorie (对广义相对论的宇宙学审视).Sitz. Preuss. Akad. Wiss. ,1917. part 1,142-152
[14] Misner C W, Thorne K S, Wheeler J A. Gravitation.W H. Freeman&Company,1970
[15] Einstein A. Jahrbuch der Radioaktivitat and Elektronik,1908, 4:411
节选自《物理》2015年第10期《广义相对论——纯粹理性思维的巅峰之作》。更多精彩内容进入下方传送门。