拓扑为何？
编译：胡雨辰
本文授权转载自FabUnion微信公众号
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拓扑学在许多研究领域都作为指南，有非常突出的重要性：
• 理论物理 (尤其是量子力学，例如量子域和弦理论)
• 宇宙学 (例如确定宇宙的形状)
• 生物学 (例如螺旋压缩的 DNA 和预测器官和其他身体部分的生长)
• 计算机科学 (例如确定数据集的大结构)
• 机器人(例如设计机械臂的运动基础空间形状的尺寸或手臂关节数)
• 建筑学（例如研究建筑形态与场地间的关系）
作为基于计算机辅助技术的、以机械臂及其他精确工具为加工手段的数字化建筑学，不难看出占据了以上研究领域的半壁江山，更不要说，有时我们还可能会用到仿生学、结构、流体力学等其他研究领域的知识以作为性能化研究的基础。所以拓扑学在数字化性能化建筑研究中的基础地位不言而喻。所以，今天让我们来真正的了解一下，这个熟悉而又陌生的词汇——拓扑，了解一些在拓扑学领域最基本的概念。
拓扑学研究形状（特别是在经过了扭曲、 拉伸或变形后的形状）的属性。这一系列可能的变换方式，有一个数学名词来描述叫做连续变形，大概是指“伸展变化，而不是撕裂或合并”。例如，一个圆可能被拉伸到椭圆或像手的形态，但我们并不能将他中间挖出一个洞，成为一个类似甜甜圈的形态。撕裂和合并会造成不连续性，所以他们在拓扑变形中不被允许。
可以被拉伸变换成为同一个形态的两个物体被称为是“同胚”的（homeomorphic），来源于拉丁化的希腊文“相似”（homeo-）和希腊文“形式、形状”（morphe）。通过拓扑化的观察视角，几乎所有的日常用品都同胚于球体或者环（甜甜圈）。
拓扑学的有些分支允许物体在拉伸时穿越自己本身，有些则不允许。在考虑一个面可以穿越其本身时，这个面一定不是被绷紧的，因为绷紧的自相交面会造成前文所说的不连续性。这通常会在面是自封闭的时候遇到，例如我们想将一个球体的内部翻到外面来（虽然很难，但是可以做到）。
强烈建议花20分钟观看一下将封闭球面外翻的视频，非常神奇，会让我们对拓扑拥有更深入的理解。
在连续的变形下并不会改变的物体的一个属性被称为欧拉特征数（欧拉示性），以18世纪德国数学家莱昂哈德·欧拉命名。
为了更好的了解欧拉特征数，我们首先以球体（或与球体同胚的物体，例如我们的大脑袋）贴上瓷砖为例。我们数出这个物体的面，边和定点的数量，然后将面的数量（F）加上顶点的数量（V）再减去边的数量（E）：F+V-E。无论你怎样将物体的表面进行怎样的细分贴上瓷砖，我们最终会发现他的F+V-E始终等于2。
因为5种柏拉图基本多面体（由同一种正多边形组成的三维体）与球体是同胚的，所以如上一段所说的一样，他们的欧拉特征数都为2。
柏拉图基本多面体
如果我们理解了添加一条边或者添加一个顶点会造成怎样的变化，其实我们可以很轻易地理解为什么欧拉特征数是守恒的。在两个顶点间连线可以添加一条边，进而将一个面分成两个部分，边增加了一条，面增加了一个，而顶点的数量没有变化，所以F+V-E的值并没有改变。同样的，在一条边里增加一个顶点，将这条边分成了两段，顶点增加了一个，边增加了一个，而面的数量没有变化，所以F+V-E的值没有改变。
现在我们将一个环状的物体贴上瓷砖，再数一下其F，V和E的值，我们会发现他的欧拉特征数是0。下图是一个例子:
如果物体有两个环，其欧拉特征数是-2，有三个环，其欧拉特征数是-4，如果我们在一个物体上制造了一个洞，这个物体的欧拉特征数将减少2。
至今为止，文中我们讨论过的所有形状都是具有方向性的。这意味着如果有一只小虫沿着物体的外表面爬行，它永远也不会爬到内表面上。但实际上，没有方向的曲面是存在的，意味着小虫可以在两个面上同时爬行，可能大家都非常熟悉的一个著名的例子就是莫比乌斯环（欧拉特征数等于0）
虽然像“莫比乌斯环的两个面“这样的说法有利于介绍我们的概念，但是这与拓扑学的思想是背道而驰的，因为在拓扑学中任何曲面都是二维的，所以在其中的生物也是二维的。所以在这样的理论背景下，想像一个二维的虫子住在一个二维的曲面内部可能更加合适。在有方向的曲面中，我们有右手方向的虫子，和左手方向的虫子（看过上文视频，应该不难理解，即对曲面正反面的定义。用过sketchup和maya的同学应该也有深刻的认识）。但是对于没有方向的曲面，右手方向和左手方向的虫子是无法被区分的（这也是为何在maya中无法做出一个连续的莫比乌斯环面）。
在认为曲面是二维的前提下，我们可以很方便地通过基础多边形来表现拓扑学空间。如果要将二维的基础多边形转化为三维的物体，我们只要将曲面的相应边向箭头所指的方向拉伸并结合。如下图，将向平行的边融合获得了圆柱（ＥＣ＝０），将反向平行的边融合我们的到了莫比乌斯环（ＥＣ＝０）
图中标有字母的边按照箭头的方向融合，而虚线的边缘保持不连接的状态。
一个二维的小虫走过带有箭头的边界，就被带去另一侧融合的边界，并按照原有箭头和现在箭头的关系给予它一个方向。这只小虫的走向是保持一致还是被反向反应了这一曲面是具有方向性的还是没有方向性的。（注意，小虫是不允许穿越虚线边界的）
在前文我们讨论的形体都具有基础多边形。如果我们要形成一个环，我们先像之前那样做一个圆柱，然后将圆柱的两端拉扯到他们遇到并融合。如果我们要形成一个球体，将曲面在角落上折叠形成一个三角形的信封状，然后使它膨胀直到他成为一个球体。(上面的这些大家可以用一张纸来大概的试验一下)
莫比乌斯环的两条虚线边缘也可以样圆柱一样进行进一步的结合，来获得两个新的没有方向的曲面：克莱因瓶（EC=0），可以被认为是一个从圆筒一头到另一头穿过圆筒的莫比乌斯带；另一个是跨端磁碟（cross-cappeddisk）（EC=1），可以被认为是两个莫比乌斯环相交。在莫比乌斯带上，如果还有第三个维度来包含上述的基本多边形特征，我们可以大概明白空间的“形态”。上述的两个曲面都需要曲面可以穿越其自身。一个二维的小虫是无法感知到这一交叉的。只是对于它来说，整个世界被翻转了。
拓扑学只存在了几个世纪，但已经有丰富的历史上被提出的问题和子领域:
柯尼斯堡七桥问题
常被作为是拓扑学所研究的第一个问题，在古普鲁士的柯尼斯堡镇有七座桥，人们曾希望知道是否可以一次性的穿过这七座桥而不走重复的路。欧拉在1735年证明了这是不可能的。
掌心和指纹的纹理样式
所有的指纹都具有共同的特点，如环点和三叉点（三条线融合）。在1965年，英国医学遗传学家LionelPenrose指出掌纹和指纹服从一个普遍的规律：任何有5只手指的手，三叉点一定比环点多4个。（1979年他的儿子Roger使用拓扑学证明了这一规律）
当查看你的手相时，你会注意到很少一些类型的奇点。两种最基本的奇点类型是三叉点和环点
三叉点
环点
指纹上所有其他的奇点可由这两种构造出来。
球面外翻
前文中已有介绍
庞加莱猜想
1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：
“任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”
简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。
如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象：
我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。
我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户没有门，我们在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。
好，接着我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧紧地贴住，中间没有缝隙。
看起来非常简单的一件事证明起来却非常困难。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。
它是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
诚然，拓扑学不是万灵药。但是无论在MAYA建模，还是在建筑几何性分析；在BESO结构分析，还是性能化流体模拟；在计算几何、数字曲面，还是在实际工程；拓扑学都为我们提供了一个看待问题、解决问题的新视角。希望这篇小文，能够有所进益。
胡雨辰 同济大学建筑与城市规划学院硕士研究生
编译自：http://www.livescience.com
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