量子及其简史--北京大学吴飙教授

量子是什么？

本文于2018年发于北师大物理88同学会 公众号，2019年2月21日发于 蔻享学术 公众号，征得蔻享和吴教授的同意后，将吴教授更新后的版本转发于此。什么是椅子？椅子是有靠背的凳子。这个回答介绍了椅子的功能：可以让你坐下来。同时又指出了椅子和凳子的区别：椅子有靠背，坐上去更舒服些。对于刚认字的小孩或正在学中文的国际友人，这样简短的回答就够了。那些对椅子有浓厚兴趣的人，他们可以找到更多的资料，比如一本专门介绍椅子的书，在那里了解椅子的历史，各种不同椅子的文化根源等等。 什么是量子？量子的英文是quantum，源自拉丁文quantus，它的原义是``多少"。量子现在是一个物理专业名词，它是场的最小激发。比如，电磁场的最小激发是光子，即电磁场的量子是光子。所有的基本粒子都是某个场的量子（最小激发）。除了光子，这些量子（最小激发）还包括电子、夸克、中微子、胶子等。质子不是量子，因为质子是由夸克构成的复合粒子。同理氢原子不是量子。普朗克在1900年最早发现了这个自然界的基本规律，他发现光的能量必须按照一个最小的单位均匀地分成一份一份的。 这是我能给的最简短的回答，比关于椅子的回答长了很多。更严重的是，如果你对物理比较生疏，你读完以后可能依然是一头雾水，脑子会出现更多的问题：什么是场？激发是什么？为了回答这些新问题，我不得不使用一些新的物理名词；于是你会有新问题，我则继续引入更多的物理名词。如此反复，最后我发现必须写一本书才能回答，什么是量子？在强烈的好奇心驱动下，你开始期待我将要写的书，或者着急地开始看其他介绍量子力学的书。很快你会发现，这比读一本专门介绍椅子的书难多了：你必须学一些新数学，比如矩阵的知识，还要做一些练习。就像你读一本微积分方面的书，如果你不动笔算几个微分积分，你是不可能真正读懂这本书，了解什么是微积分的。一段时间以后，非常有可能你遇到的困难开始和你的好奇心竞争。我希望你的好奇心会赢得胜利，你会坚持把书读完。 我采取一个折中方案，用一段不涉及数学的文字来介绍量子力学。我希望读者读完以后对量子力学有个完整的大致的了解，同时能清楚地知道什么不是量子？从而能分辨日常生活中碰到的各种“量子”招牌的虚实。 普朗克1900年的发现是划时代的，他不经意间推开了量子世界的大门。他被尊称为量子之父。后来许多伟大的物理学家，包括爱因斯坦、玻尔、德·布罗意、海森堡、狄拉克、费米、薛定谔，在实验的启发下继续沿着普朗克开创的道路探索，最后在1926年创立了一个完整的新的物理理论框架，量子力学（quantum mechanics）。 人们现在习惯性用``量子"来命名和界定任何和量子力学相关的概念、学科、技术和器件等。举几个例子。为了和信息熵等区别，物理学家把在量子力学的理论框架里定义的熵称作为量子熵。量子化学是化学的一个分支，在这里化学家们试图利用量子力学的理论去理解原子分子的光谱，分子中键的形成等。量子点是物理学家在实验室里加工出来的几个纳米大小的器件，电子由于被限制在一个很小的空间运动，从而具有不连续的分立的量子能态，必须用量子力学才能理解。 量子力学是一场科学上的革命，几乎颠覆了以牛顿力学为代表的经典物理的所有观念。在我看来，这个革命比相对论更深刻，更具冲击力。这主要体现在如下六个方面。 1. 量子性-- 量子是物理中各种基本场的最小单位激发。激发是个物理名词，指的是通过输入一些能量来扰动一个物理系统。比如搅动一盆完全静止的水。日常的经验告诉我们，原则上我们只要足够小心，搅动可以连续地从零一直渐渐增大，整盆水则会从有轻微的波纹逐渐变得水花四溅。也就是说，在经典物理里，激发是可以任意小的。但量子力学告诉我们，对于自然界的各种基本场，比如电磁场，这是不可能的，激发必须大于一个最小的单位，即量子。这是最早发现的一个量子力学的基本特征，和经典物理有着根本的不同。量子力学也因此而得名。2. 海森堡不确定性原理-- 当你坐在沙发上看世界杯时，你的位置是确定的，你的速度也是确定的，零。你的导航器会告诉你在什么地方应该右转同时也会提醒你已经超速了。这些日常经验告诉我们：一个物体可以同时具有确定的位置和速度。这和牛顿力学完全吻合。在牛顿力学里，一个粒子不但同时有确定的位置和速度而且必须同时有，不然我们都无法确定一个粒子的运动状态。在量子力学里，事情变得非常不一样。海森堡不确定性原理告诉一个粒子不可能同时具有确定的位置和速度：如果一个粒子的位置是确定的，它的速度就完全不确定；反之亦然。我们在日常生活中感受不到海森堡不确定性原理的效应。原因是我们平时对位置和速度的测量在原子尺度上还非常不精确。 由于海森堡不确定性原理，一个原子在绝对零度（自然允许的最低温度）时也不会被完全``冻"住。如果原子完全``冻"住不动了，那它的位置就确定了，速度是零所以也是确定的。这违反海森堡不确定性原理，因此世界上没有完全静止的原子。即使在绝对零度，原子也会振动。物理学家把这种振动叫做零点振动。氦原子的零点振动尤其显著，以至于氦在绝对零度仍然处于液体状态。在绝对零度时，只有氦还能处于液态，所有其他物质都会变成固体。由于这个原因，液氦成为所有极低温制冷机的必需工作物质。 3. 态叠加原理-- 在经典物理描述的世界里，任何一个物体在任何时刻都有确定的位置。这和我们日常的经验非常符合：你在上班就不可能在家里休息；当警察拿出监控录像证实你在犯罪现场，没人会相信你那个时候在家里睡觉。 但在量子世界，即量子力学描述的世界里，一个物体可以同时处于两个不同的地点或具有不同的速度。比如氢原子中的电子可以同时处于质子的左边和右边，电子还可以同时绕着质子顺时针转和逆时针转。薛定谔猫则是对这个神奇而古怪的量子现象的戏剧性描述：一只猫可以同时是活的和死的。类似地，一盆水可以同时是冷的和热的；太阳可以同时在东方升起和西方落下。这些情况你当然从来没有碰到过。但根据量子力学，这些现象在原则上都可以发生。至于这些神奇的量子现象为什么只出现在微观世界而在日常生活中看不到，物理学家还在探索中。 4. 量子随机性-- 假设有一个粒子，它处于一个位置的叠加态，即它同时处于A点和B点。现在我们对它的位置进行测量，确认它到底位于何处。量子力学告诉我们测量结果是随机的：可能是A也可能是B。但这种随机性和日常生活中遇到的随机现象有根本的不同。 日常生活中的随机现象来自我们的无知：一个箱子有红白两种球，如果箱子是透明的，你能准确地拿到你想要的红球；如果箱子不透明，你想拿到你喜欢的红球只能希望得到幸运女神的眷顾。在量子力学里，测量结果的随机性是内在的，源自上面提到的态叠加原理。如果箱子里的那些球是量子的，处于红色和白色的叠加态，那么即使那个箱子是透明的，你也无法保证你每次能拿到红球。 5. 量子全同性-- 在日常的宏观世界里，相同其实是个近似的概念。当我们认为两个物体相同时，其实是在说对于我们关心的性质这两个物体没有区别；但只要观察足够仔细，我们还是能区别它们的。比如两枚一元的硬币，如果我们只是用它们买东西，即使一新一旧，我们也认为它们没有区别。如果我们一定要区分它们，那么即使两枚硬币都是崭新的，我们也能找出办法来区别它们，比如用显微镜。我们一般无法区分同卵双胞胎，但他们的父母总是能区分，因为父母观察得更仔细。 在量子力学里，相同是绝对的。两个电子是相同的，你不可能用任何方法把它们区分开；两个光子是相同的，你不可能用任何方法把它们区分开。为了强调这种绝对的相同，在量子力学里，我们称电子是全同的，光子是全同的。这种量子的全同性会体现在统计概率里。我们举个例子。两枚普通的硬币有四种可能状态：两枚都朝上、两枚都朝下、硬币1朝上硬币2朝下、硬币1朝下硬币2朝上。但是如果这两枚硬币具有量子全同性，那么你就没有任何办法区分这两枚硬币，从而不能指定哪个是硬币1哪个是硬币2。因此这时它们最多只能有三种状态：两枚都朝上、两枚都朝下、一枚硬币朝上一枚硬币朝下。对于普通的硬币，四种可能性中的每种出现的几率是1/4，所以一枚硬币朝上一枚硬币朝下出现的几率是1/2。但对于全同的量子硬币，一枚硬币朝上一枚硬币朝下出现的几率是1/3或者1（因为有些情况下，两枚全同的硬币不允许同时向上或向下）。 6. 量子纠缠-- 当你匆忙出门旅行，到达目的地后发现包里只有一只右手手套。无论你离家多远，你立刻知道被遗忘在家里的那只手套是左手的。乾隆皇帝于1796年2月9日宣布让位嘉庆，嘉庆皇帝的权威瞬间覆盖了整个广袤的大清帝国：新疆的臣民不会因为几天后才收到这个消息而不承认嘉庆皇帝2月9日当天颁布的诏书。在日常生活中我们经常遇到这种瞬间的不费时的信息关联，为了方便起见我们把它叫做超距关联。超距是个物理名词，用来描述不需要花费时间就可以穿越任何空间距离的现象。这种超距关联发生的前提条件是，我们事先掌握事情的整体情况：一副手套总是有一只左手手套和一只右手手套；清朝皇帝颁布的法律无条件在整个大清帝国立刻生效。 量子世界里也有类似的超距关联，物理学家把它称作量子纠缠。假设有两个量子粒子甲和乙，它们处于一个量子状态，一个粒子具有速度v另一个具有速度-v。那么当我们通过测量了解到甲粒子具有速度-v，那么无论乙粒子离得多远我们立刻会知道乙粒子具有速度v。量子纠缠的这种超距关联和经典超距关联是如此类似，以至于很长时间物理学家认为它们就是一回事。直到1964年，物理学家贝尔证明了一个著名的不等式，物理学家才意识到它们的不同。贝尔发现经典超距关联总是满足这个不等式；而量子纠缠则可以违反这个不等式。物理学家已经在实验上对量子纠缠进行了仔细的观察，发现它确实会违反贝尔不等式。 除了超距关联，量子纠缠还有一个惊人的特征：纠缠的粒子会失去自我。如果你了解一对夫妻，那么说明你了解夫妻双方各自的特点，比如丈夫比较沉默妻子比较健谈。但是如果这对夫妻处于量子纠缠态，那么丈夫会具有妻子的性格而妻子也会具有丈夫的性格：他们两人都既沉默又健谈，他们失去了独立的自我。幸好日常生活中量子纠缠效应完全消失了，不然我们的生活会非常有趣。物理学家迄今还没有完全理解量子纠缠效应为什么在日常生活中消失了。 看起来无比古怪的量子力学是物理学中最成功的理论，它不但能精确地描述了夸克、中微子、原子等微观粒子的行为，也能很好地解释金属为什么会导电、磁铁为什么会有磁性。量子力学是物理学里最成功的理论，和相对论一起构成了现代物理学的两大理论支柱。和所有成功的物理理论一样，量子力学催生了许多革命性的技术。 我们先来看看倍受媒体关注的量子通信和量子计算机。量子通信主要是利用量子力学的基本原理来实现对通信的加密。相对于量子通信，我们把日常生活中接触的通信叫做经典通信。这项技术的基本原理在上世纪九十年代就已经基本完善，现在技术层次上还有很大的提高空间，它的潜在应用值得进一步探索。但大型跨国公司（比如，谷歌、微软、 IBM）似乎看淡它的商业应用价值，在这个领域投入的积极性远逊于量子计算。无论怎样，量子通信技术的发展依然代表着人类挑战技术极限的勇气：我们到底能在多大的空间尺度上控制两个或多个粒子间的量子纠缠呢? 量子计算机试图实现普通计算机的功能，但它的运行原理非常不一样，是基于量子力学的基本原理。为了便于区分，我们把现在随处可见的计算机叫做经典计算机。科学家发现量子计算机可能比经典计算机更强大。但是迄今科学家只能展示量子计算机在整数因子分解、随机搜索等少数问题上比经典计算机优越，科学家也并不完全清楚量子计算机为什么比经典计算机强大。更重要的是，量子计算机的技术难度非常大。尽管各国政府和世界最大的跨国公司（比如，谷歌、微软、 IBM）投入了大量的人力和物力来发展量子计算方面的技术，我们依然没有一台实用的量子计算机。我个人观点是，在可预见的未来，比如50年以内，人类还造不出在计算速度上超越经典计算机的通用量子计算机。 由于稳定性差，量子通信永远也不会代替经典通信进入我们的日常生活；由于技术的困难，超越经典计算机的量子计算机还遥遥无期。媒体对量子通信和量子计算机应用前景的报道过于乐观。这些报喜不报忧的媒体报道使``量子"成为一个时髦的流行词，很多商家借机推出了很多混淆视听的``量子"产品。事实上这些产品和量子力学没有任何直接或间接的关系。据我了解，除了一个例外，市场上所有以“量子”命名的产品和量子力学没有任何关系，只是一种营销手段。这个例外是量子点显示器，它属于我们下面要介绍的隐性量子技术。 和量子力学相关的技术其实早已深入我们日常生活的每个角落。只是在这些技术里，量子力学像一个不求名利的幕后英雄，商家也没有用``量子"这个招牌来营销这些技术。我们以手机的芯片为例来展示一下量子力学对技术发展的革命性贡献。现代手机芯片大概一个指甲盖那么大，含有几十亿个晶体管，每秒能处理十亿次左右的运算。没有量子力学，这是不可能的！人们很早就注意到了金属会导电，而以金刚石为代表的各类宝石却不会导电。物理学家无法用经典物理来理解这些现象。最后在量子力学的帮助下，物理学家成功地解释了这些材料的导电性质，并且发现了一种介于金属和绝缘体之间的材料，半导体。通过物理手段人们可以轻易地调节半导体的导电性能，让它在导电和不导电间快速切换。利用半导体的这个独特的性质，物理学家在1947年发明了晶体管。在以后的几十年里，工程技术人员不断完善和发展晶体管工艺，晶体管越变越小，现在手机芯片上的晶体管只有十几个纳米（约一米的一亿分之一）大小。 （左）电子真空管计算机；（右）电子真空管收音机。（插图：孙兆程 ）
 为了方便讨论，我把量子通信和量子计算机叫做显性量子技术，把以芯片为代表的量子技术叫做隐性量子技术。它们的共同点是：量子力学在这些技术中起着至关重要的决定性作用。不同点是：在显性量子技术里，量子力学是个台前台后的英雄，前面提到的量子力学的特征，特别是态叠加原理、量子随机性、和量子纠缠，在显性量子技术实现的功能里会直接体现出来。在隐性量子技术里，量子力学则是一个幕后英雄，在这类技术实现的功能里量子力学的特征消失得无影无踪。显性量子技术实现的功能原则上无法用非量子技术（或经典技术）实现；隐性量子技术实现的功能原则上可以用经典技术实现，只是量子力学的出现使这类技术变得更小更快更精。量子通信的远程密钥分配和量子计算机里的某些逻辑门在原则上是无法用任何经典技术实现的。以晶体管为基础的芯片是隐性量子技术，因为在晶体管出现以前，人们已经用电子真空管造出了计算机。但电子管计算机异常庞大，一台计算机需要占据几个房间，速度还很慢。在上世纪八十年代，普通人家中还能常见到一种硕大的收音机。这些收音机由于使用电子管而体积庞大。我们日常用的硬盘也是一种隐性量子技术。这种磁存储技术根植于量子力学。物理学家发现，电子具有自旋，一种非常神奇的微观特征。如果你想用一个图像来理解自旋，你大致可以把它想象成一个永不停息的陀螺。由于具有自旋，电子很像一个微小的指南针。基于这个认识，物理学家在量子力学的帮助下解释了磁铁为什么具有磁性，并进一步发展了磁存储技术。现在一个普通的硬盘可以装下上千万本图书。没有这些磁存储器，我们当然可以用普通的纸张、印刷技术或者胶片来存储信息，只是这些技术相对于磁存储不够轻巧和快速。 在量子技术中，显性量子技术离我们的日常生活还远；隐性量子技术则已经深刻地改变了我们的日常生活。 量子力学非常成功，但它描述的世界却非常古怪，和我们的日常经验大相径庭。前面提到的量子力学的六大特征就是对这种“古怪”的简短描述。哲学家对量子力学的这种“古怪性”进行过很多讨论。现在有人将量子力学的这种“古怪性”和佛教等宗教联系起来，还有人提“量子心理学”等理论。这些都是牵强附会，量子力学是一门科学，它已经经过实验的严格检验，它的进一步的发展依然需要实验的推动和检验。对量子力学空泛的讨论和量子作为一个招牌带来的喧嚣最终都会被时间淘汰。被时间挽留下来的才是科学的实实在在的量子。 量子力学简史
本文于2月28日首发在 蔻享学术 公众号，征得蔻享和吴教授的同意后，转发于此。
插图 | 韩子朔人像 | 孙兆程
量子力学的创立是一段充满传奇英雄和故事的令人心潮澎湃的历史，其中的每个人物都值得我们每代人去颂扬，每个突破都值得我们去细细回味。让我们记住这些英雄的名字：

普朗克、爱因斯坦、玻尔、德·布罗意、海森堡、泡利、狄拉克、费米、玻恩、玻色、薛定谔......,
他们中的每个人及其取得的成就都值得我们用书、音乐、电影、互联网等所有可能的传媒来记录、传播。他们和他们的科学超越国界，属于我们整个人类。由于篇幅的限制，笔者在这里只能做简短的介绍。1、量子的诞生
普朗克(Max Planck, 1858-1947)从任何角度看都是一个典型的知识分子。他1858年出生于一个知识分子家庭，曾祖父和祖父都是神学教授，父亲则是法学教授。他从小受到了优良的教育，他会包括钢琴、管风琴和大提琴在内的多种乐器，会作曲和写歌，但他最终选择了物理。普朗克事业非常顺利，21岁获得博士学位，随后开始在研究上取得进展，27岁成为基尔(Kiel)大学的副教授，31岁继任基尔克夫(Gustav Robert Kirchhoff, 1824-1887)在柏林大学的位置，3年后成为柏林大学的正教授。他为人正直、诚实，没有任何怪癖和奇闻异事。如果没有发现“量子”，他可能也会和其他典型的知识分子、名牌大学教授一样埋没在历史的尘埃里。     1894年普朗克做了个改变整个物理史的决定，他开始研究黑体辐射。黑体是一种能够吸收所有入射光的物体，远处建筑物上黑洞洞的窗户就是黑体。黑体在吸收所有入射光的同时也会向外辐射光。最早研究黑体辐射的正是普朗克的前任基尔克夫。前期的研究表明黑体辐射和构成黑体的具体材料无关，是普适的。后来维恩(Wilhelm Wien, 1864-1928)发现了一个公式，表明黑体的辐射功率和辐射频率之间有一个普适的关系。从1894年开始，在接下来的五年左右时间里，普朗克在黑体辐射方面发表了一系列文章，但没有实质性的突破。他只是用新的方法重新得到了前人的结果，比如维恩的黑体辐射公式。
与此同时，位于柏林的皇家物理和技术研究所的实验物理学家正在工业界的支持下测量黑体的辐射谱。当时普遍认为研究黑体辐射可以提高照明和采暖技术。皇家研究所的物理学家们一开始主要测量频率较高的辐射，他们发现实验结果和维恩的公式非常吻合。通过提高测量技术，他们不断向低频辐射推进。在1899年时，他们已经发现在低频区维恩公式和实验测量结果有一些小的偏差；到1900年秋天，他们在频率更低的区域发现维恩公式和实验测量有严重偏差。这个偏差不可能解释为实验测量的误差。普朗克第一时间知道了实验结果。面对冰冷确凿的实验数据，他不得不回过头来重新审视自己的理论。他很快发现在推导维恩公式的过程中只要稍稍改变一个熵的表达式就可以得到一个新的黑体辐射公式其中ν是辐射的频率，而a和b是两个常数。普朗克发现这个公式和实验结果完全符合，1900年10月29日他在柏林科学院的一个会议上宣布了这个结果。但普朗克对结果并不十分满意，因为他不理解为什么要改动熵的公式，他想理解这个正确的黑体辐射公式后面的物理。经过一个多月的努力后，普朗克找到了答案。他假定处于辐射场中的电偶极振子的能量是一份一份的，每份的大小正比于振动的频率。即可以把每份能量写成hν，这里h是一个常数。利用这个假设和玻尔兹曼熵的公式，普朗克得到了一个新的黑体辐射公式这个两个公式相比只是将以前的常数a和b换成了h和k_B。这是一个数学上很平庸的变换，但物理上却是革命性的【1】。h就是大家现在熟知的普朗克常数，而k_B则是玻尔兹曼常数。通过和实验结果比较，普朗克发现h = 6.55×10⁻²⁷erg·sec，k_B = 1.346 × 10⁻¹⁶erg/K。而最新测量结果是h = 6.62607015 × 10⁻²⁷erg · sec，k_B = 1.380649 × 10⁻¹⁶erg/K【2】。
注解：【1】普朗克的这个推导其实也还是错的；直到 1924 年，印度物理学家玻色才第一次给出了黑体辐射公式的正确推导。【2】根据最新国际计量标准(the International System of Unites(SI))的规定, 这两个物理常数确定地具有这两个值，没有任何误差。1900年12月14日，柏林科学院又召开了一个会议，普朗克在会上宣布了这个结果。量子就这样诞生了。为了还原历史，我们看一下普朗克自己在论文里是如何引入“量子”的。普朗克用德文写道[Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 (1901)]， Es kommt nun darauf an, die Wahrscheinlichkeit W dafür zu finden, dass die N Resonatoren insgesamt die Schwingungsenergie U_N besitzen. Hierzu ist es notwendig, U_N nicht als eine stetige, unbeschränkt teilbare, sondern als eine discrete, aus einer ganzen Zahl von endlichen gleichen Teilen zusammengesetzte Grösse aufzufassen. Nennen wir einen solchen Teil ein Energieelement ϵ, so ist mithin zu setzenU_N = Pϵ 
wobei P eine ganze, im allgemeinen grosse Zahl bedeutet, während wir den Wert von ϵ noch dahingestellt sein lassen. 
这段话的大意是：现在需要找出N个偶极振子总共具有能量U_N的几率W。这里有必要把U_N理解为一个由整数个均分单元构成的离散变量，而不是连续的，可以无限细分的。我们把这个均分的能量单元叫做ϵ，这样我们有U_N = Pϵ这里P是整数，一般很大，而ϵ的值还不确定。
经过几代物理学家的努力，我们现在已经有了一个逻辑严格而内容无比丰富的知识体系--量子理论。这既包括我们通常所说的量子力学也包括描述基本相互作用的量子场论。同时基于这些知识发展出来的半导体、激光等技术已经和正在改变了我们的日常生活。而这一切都始于这段简短甚至有些毫不起眼的文字。这就是思想的力量和神奇。2、艰难起步普朗克的黑体辐射公式取得了巨大的成功，被越来越多的实验证实。但普朗克的量子hν，却并没有引起特别多关注。当时的物理学家，包括普朗克自己，都没有意识到量子力学的大门已经被推开，更没有想到量子力学的风暴将在今后的二十多年里席卷整个物理学界，彻底改变人们对自然的认识。普朗克在接下来的几年里，不是试图去推广和发展他的“量子”，而是努力为它寻找一个经典的解释。这当然是徒劳，以至于后来普朗克在量子理论的进一步发展中不再有任何实质贡献。但是这样伟大的结果不可能被完全忽视。洛伦兹(Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928)从1903年开始关注这个问题，他的结论是普朗克的量子和经典理论是无法调和的。由于洛伦兹在当时物理学界的重要地位，普朗克的量子开始引起更多物理学家的关注，但依然被绝大多数物理学家忽视。这些发展引起了瑞士伯尔尼专利局一个年轻职员的关注，他叫爱因斯坦(Albert Einstein, 1879-1955)。此人天赋异禀，具有一双洞穿世俗的眼睛，总能透过大家熟知的公式看到崭新的物理。我们回顾一下普朗克的黑体辐射公式。当频率很大时，即hν≫k_BT，我们近似地有e^hν/k_B^T≫1。所以我们可以忽略分母中的1得到
这就是前面提及的维恩的黑体辐射公式。我们注意到这个公式里含有普朗克常数h。现代物理学家都知道，如果一个公式里含有普朗克常数h，那这个公式一定描述了某个量子现象或过程。维恩于1896年首次推导出这个公式，后来普朗克又重新推导了这个公式。但是在近10年的时间里，没有人看出了隐藏在这个著名公式后的量子物理。1905年，爱因斯坦看透了这个为人熟知的公式，发现了它后面隐藏的量子。通过和经典气体的熵类比，爱因斯坦发现黑体辐射可以看作是一种特殊的由“光子”构成的气体，每个光子的能量是hν。在1905年发表的这篇论文里 [Ann. Phys. 17(1905)132]，爱因斯坦没有使用 “光子” 这个词，用的是能量量子(energy quantum)或光量子(light quantum)。但他明确地意识到了光具有粒子的性质。相对普朗克的理解，爱因斯坦显然往前迈了一大步。在这篇论文里，爱因斯坦开门见山地指出：粒子和波的行为有本质的不同，光虽然被广泛认为是一种波，但在很多现象里，比如黑体辐射、荧光、和光致阴极辐射，光的行为更像粒子。他说自己这篇论文的目的就是阐述这种理解并给出这种理解的事实基础。在这篇论文后半部分，爱因斯坦利用光量子的概念轻松地解释了光电效应–当这些“光子”和金属中的电子碰撞时，要不全部被吸收，要不完全不被吸收–并基此给出了描述光电效应的公式。1921年爱因斯坦因为这个光电效应的工作获得诺贝尔奖。在1905年，爱因斯坦还提出了狭义相对论。但在和朋友的通信里，他把他的光子理论描述为“革命性的”，而不是他的相对论。因为在当时的物理学界，所有的人都认为光不是粒子，而是一种波–按照麦克斯韦方程振动和传播的电磁波。同样是面对“量子”，普朗克、洛伦兹和爱因斯坦的态度截然不同。普朗克有些不情愿，认为这只是自己推导过程不得不临时借用的一个小技巧，在某个改进的推导方法里，“量子”会自动消失。洛伦兹对“量子”一开始也是持怀疑态度，但他的理论功底显然更深厚。经过一段时间的研究后，洛伦兹非常确信“量子”是不可能从经典物理里推导出来的，但他却没有进一步发展和推广“量子”的想法。天才的爱因斯坦则是立刻认识到了“量子”是个革命性的想法，不但进一步发展了这个概念而且马不停蹄地将它进行了应用，解释了光电效应，爱因斯坦由于这个工作于1921年获得了诺贝尔物理学奖。如果说普朗克推开了量子力学的大门，那么他只是推开了一条若隐若现的很小的缝，随后自己走开了，回到了经典物理。洛伦兹意识到了门后是个非常不一样的世界，他却无力或无意跨进去。爱因斯坦则是将门完全推开，勇敢地闯了进去。在1905年，爱因斯坦还提出了令他闻名世界的狭义相对论。但是在接下来的五年里，爱因斯坦却花费了更多的时间去发展量子理论，而不是相对论。那时的爱因斯坦还只是伯尔尼专利局的一个年轻职员。他的光量子论和对光电效应的解释并没有立刻产生什么影响。在物理圈里几乎没有人讨论它们。但年轻的爱因斯坦义无反顾地继续在量子的世界里奋力前行。1907年，爱因斯坦取得了一个重大进展，他将普朗克的黑体辐射公式应用到了一个完全不同的领域，固体的比热。爱因斯坦认为固体中原子振动的能量也是一份一份的，它们应该同样遵守普朗克的黑体辐射公式。当时物理学家已经将温度降到摄氏−250^◦，他们在实验中发现固体的比热会随着温度降低大幅减小。经典理论完全无法解释这个现象。爱因斯坦利用普朗克的公式发现，固体的比热确实会随温度降低而减小，而且自己推导出来的公式和已经发表的实验结果吻合得非常好。爱因斯坦的这个新结果依然没有得到立刻的欢呼。绝大多数的物理学家依然对量子理论毫无兴趣。但是爱因斯坦关于固体比热的理论引起了一个化学家的注意，他就是能斯特(Walther Nernst, 1864-1941)。他深刻地意识到了量子理论的重要，他不但自己开始继续发展和应用爱因斯坦的量子理论，而且鼓励自己的同事和助手应用它。这时已经是1910年了。在能斯特的推动下，第一届索尔维会议1911年在布鲁塞尔召开，大会题目是《辐射和量子》(Radiation and the Quanta)。洛伦兹是大会主席，爱因斯坦应邀参加，报告的题目是《比热问题》(The problems of specific heat)。量子理论终于走出了襁褓，开始大步向前。3、氢原子第一届索尔维会议后，量子理论终于走到了物理学的前沿，相关的论文数量开始台阶式地增加。1913年，量子理论又有了里程碑式的突破，玻尔(Bohr)提出了氢原子的量子理论，将量子物理方面的研究推向了一个高潮。要说清楚玻尔的工作我们必须先回顾一段历史。在十九世纪末，经典物理的理论框架已经完全建立，以至于很多人乐观地认为今后的物理学家只能在建好的物理大厦内当个装修工。在1900年4月的一个著名演讲里，开尔文爵士(William Thomson, 1st Baron Kelvin, 1824 - 1907)宣布物理学的天空只剩下两朵乌云，以太问题和比热问题【3】。并不是所有的物理学家都这么乐观，因为经典物理没有回答一个很基本的物理问题，世界是由什么构成的？通过热力学和统计力学研究，很多物理学家都接受了物质是由原子和分子构成的观点。但由于当时没有原子和分子存在的直接实验证据，也有很多科学家不接受这个观点，比如马赫(Ernst Mach, 1838-1916)等人提出了能质说。即使接受了原子假说，人们依然不清楚原子是什么：它是由更小的物质构成的还是以太的一个涡旋？注解：【3】有一个广泛流传的说法，两朵乌云是指以太问题和黑体辐射问题。这是错误的！开尔文爵士演讲稿最后整理发表了 [The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal ofScience, 2:7, 1-40; DOI: 10.1080 /14786440109462664]，论文题目是 Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light。在这篇论文开尔文爵士根本没有提及黑体辐射。
理论虽然不完善，实验技术却在不断发展：实验物理学家提高了光谱分辨率、取得了更低的温度、抽取了更高的真空。这些发展大幅提高了他们的实验精度，让他们观察范围更大、测量精度更高、结果更可靠。前面已经提及，由于获得了更低的温度，物理学家发现固体或气体的比热会随温度变化。在另外一方面，物理学家用光栅代替了牛顿的棱镜，详细分析了很多原子分子气体的光谱，发现它们是分立的。基于这些实验结果，巴耳末(Johann Balmer, 1825-1898)1885年发现了一个经验公式，可以描述部分氢原子的光谱。在此基础上，1888年里德堡(Johannes Rydberg, 1854-1919)总结出了一个更普遍的氢原子光谱经验公式，其中λ是氢原子分立光谱对应的波长，R_H是一个常数，n₁和n₂是整数。当时的物理学家觉得这些规则的光谱线非常神秘，不清楚它们的起源。下面我们会看到，这个经验公式其实反映了原子内部电子的运动，它的意义和开普勒总结的行星运动的三大定律一样重要。汤普森(J. J. Thomson, 1856-1940)是个少年天才，14岁上大学。1884年，年仅28岁的他被聘为剑桥大学的卡文迪许教授，从数学和理论物理学家摇身一变为实验物理学家。1897年汤普森细致地研究了阴极射线，通过将阴极管抽到很高的真空他精确测量了阴极射线粒子的性质。汤普森发现无论阴极是什么材料，它发射出的这个粒子的质量和电荷都是一样的，而且这个粒子的质量比氢原子小一千多倍。汤普森发现的这个粒子叫电子。基于这个发现，汤普森开始利用自己深厚的理论功底建立原子的模型，他认为原子是个球状的带正电荷的胶质物，点状的电子一个个嵌于其中。虽然只和很多实验结果定性吻合，汤普森的模型在1910年以前是最被认可的原子模型。汤普森不但自己的科研很成功得了诺贝尔奖，还培养了八个诺贝尔奖得主，其中就有马上要登场的卢瑟福和玻尔。而且他的儿子也得了诺贝尔奖。卢瑟福(Ernest Rutherford, 1871-1937)1871年生于新西兰，24岁赴英国剑桥大学留学，成为汤普森的研究生。卢瑟福27岁时在汤普森的推荐下成为加拿大麦吉尔大学的教授。卢瑟福在麦吉尔大学系统研究了核辐射，发现了阿尔法和贝塔两种不同的射线、半衰变期等核现象。由于这些成果，他于1908年获得了诺贝尔化学奖。获奖后的卢瑟福毫不松懈，继续努力。一年之后，1909年，卢瑟福做了他一生中最重要的实验。在这个实验里，卢瑟福让他的助手盖革(Johannes "Hans" Geiger, 1882-1945)和马斯登(Ernest Marsden, 1889-1970)用阿尔法粒子轰击一层薄薄的金箔。他们出乎意料地发现阿尔法粒子在撞击金箔后会发生大角度散射。按照汤普森的原子模型，原子的正电荷均匀分布在原子里面，而电子的质量又远远小于阿尔法粒子，所以带正电的阿尔法粒子会几乎毫无阻碍地穿过原子，最多发生一些小角度散射。根据这个实验结果，卢瑟福大胆地推翻了他老师汤普森的原子模型，建立了自己的原子模型。卢瑟福认为原子里有个很小原子核，几乎所有原子的质量都集中在这个核上。但是卢瑟福没有明确指出电子是如何分布在原子里的。卢瑟福的原子模型并没有立刻引起很多关注。1912年他的实验室来了一个叫玻尔的年轻丹麦人，他彻底革新了人们对原子的认识。尼尔斯·玻尔(Niels Bohr, 1885-1962)1885年出生于丹麦的一个书香门第，父亲是哥本哈根大学的医学教授，母亲也是知书达理。他从小受到了很好的教育，非常喜欢踢足球。玻尔有个弟弟，哈罗德·玻尔(Harald Bohr, 1887-1951)。哈罗德虽然小两岁，但似乎一切都比哥哥优秀。哈罗德足球比哥哥踢得好，是丹麦1908年奥林匹克足球队的成员；他比哥哥早一年获得硕士学位，早一年获得博士学位。但最后哥哥，尼尔斯·玻尔，成了更有名的玻尔。玻尔在1911年4月获得了博士学位。他的博士论文研究的是金属的电子理论，玻尔在论文中得到了一个非常重要的结论：当时的金属电子理论不可能解释铁的磁性。按现代的说法，经典理论是无法解释磁性的。这个结果现在被称作玻尔-范卢文定理(Bohr-van Leeuwen theorem)。这个结果一定给年轻的玻尔留下了深刻的印象：经典理论是有缺陷的。同年9月在嘉士伯基金（对，就是那个啤酒公司）的支持下，玻尔来到了汤普森的卡文迪许实验室，开展阴极射线的研究。玻尔似乎没有得到汤普森赏识，于是1912年初他受卢瑟福邀请转到了曼彻斯特大学。玻尔立刻被卢瑟福的原子模型吸引。更重要的是，由于自己在博士期间研究过电子，玻尔马上开始思索该如何嵌入电子得到一个稳定的原子模型。在1912年夏天，玻尔的理论已经基本成形，他在一份文件里向卢瑟福描述了自己的想法。玻尔认为为了让原子稳定，必须引入量子的概念。1913年，玻尔连续发表了三篇论文，向世界宣布了自己的原子理论。玻尔原子理论有两个要点：（1）电子只能处于一些分立的稳态上，这些稳态具有分立的能级E₁, E₂, E₃,···（2）如果电子要跳到能量更高的稳态，它必须吸收一个光子；如果要跳到能量更低的稳态，它必须放出一个光子。吸收或释放的光子能量等于两个稳态间的能量差，hν= |E_i−E_j|。普朗克常数h又一次出现了。爱因斯坦曾利用量子来描述固体中原子的振动，现在玻尔用量子来描述原子的内部结构，这是一个里程碑式的进展。玻尔原子理论看起来非常古怪而且有非常强的拼凑感，为什么电子只能处于这些分立的能级上？但物理不是数学，物理学家更在意你的理论和实验结果是不是吻合。玻尔的原子理论不但能解释所有已知的氢原子谱线，即给出里德堡公式，而且在紫外光区域预言了新的谱线，一年以后被实验证实。玻尔的原子理论还能很好地解释曾经困惑物理学家很长时间的氦离子的皮克林(Pickering)谱线。和爱因斯坦的光量子论非常不一样，玻尔原子理论受到了即时的欢呼，并且吸引了更多的年轻物理学家进入量子领域。在年轻的物理学家勇敢向前，在量子世界里翻江倒海取得一个又一个成功的时候，年长的物理学家则显得无所适从或驻足观望。洛伦兹虽然1903年就意识到经典理论的不足，但他从来没有积极投入量子理论的研究。普朗克虽然推开了量子力学的大门，但直到1914年他还在尝试从经典理论出发推导出黑体辐射公式。4、危机四伏索末菲尔德(Arnold Sommerfeld, 1868-1951)很快推广了玻尔的理论，他认为任何物理体系都可能处于分立的“稳态”，并且给出了更一般的“量子化”规则。利用这个推广的理论，索末菲尔德发现原子中的电子应该具有三个量子数而不是玻尔理论中的一个，并且他的量子理论可以解释更多的和原子相关的现象，比如斯塔克效应，塞曼分裂等。玻尔清楚地知道自己的理论的不足。他的理论描述得最好的原子是氢原子，但即使对于氢原子，玻尔的理论也只能预言谱线的频率，无法描述谱线的强度，也不能预测氢原子中释放出来的光子的偏振。为了完善自己的理论，玻尔提出了一个半直觉的对应原则(correspondence principle)，认为电子在能级间的跃迁概率可以用经典的麦克斯韦方程描述。结合爱因斯坦的自发辐射和受激辐射理论，玻尔成功地得到了能级间跃迁的选择定则。荷兰物理学家克雷默斯(Hendrik Anthony “Hans” Kramers, 1894-1952)利用这个对应原则进一步得到了所有氢原子光谱线的强度和偏振，和实验结果吻合得很好。但是很快人们发现玻尔-索末菲尔德理论有很多缺陷，无法解释很多实验现象。可以说对应玻尔-索末菲尔德理论的每一个成功，就有一个失败。玻尔-索末菲尔德理论不能描述任何具有两个或两个以上电子的原子或分子。例如，它无法给出氦原子的谱线，不能描述分子间的共价键。到1924年的时候，原子物理学家们都觉得玻尔-索末菲尔德理论需要重大的修正。这个理论不但无法解释很多原子物理中的现象，而且自身的框架也显得非常琐碎，看起来是个东拼西凑的理论。玻恩(Max Born,1882 - 1970) 在1924年的一篇论文里开始呼唤新的“量子力学”(quantum mechanics)的出现。两年后，新量子理论真的被构造出来了，玻尔-索末菲尔德理论遇到的困难全部迎刃而解。1900年-1924年是量子理论的萌芽期。在这二十多年时间里，物理学家取得的进展其实非常有限，所有的讨论几乎都是围绕能量的“量子性”展开：辐射的能量是一份一份的；电子只能处于一些分立的能级。爱因斯坦的光粒子说是个例外，这是现在人们熟知的波粒二象性的起点，但没有人继续发展和推广爱因斯坦的这个思想。现在回头看，这段时期的量子理论其实相当丑陋，到处是缺陷和漏洞：普朗克黑体辐射公式的推导是错的；爱因斯坦固体比热理论是通过类比得到的，非常不严谨；玻尔几乎是用一种拼凑的方式得到了氢原子的能级。这些缺点让年长的物理学家非常不舒服，他们选择了回避和不参与。年轻的一代虽然也知道这些缺陷，但他们更看重积极的一面：（1）和实验结果吻合；（2）经典理论不可能解释这些实验结果。萌芽期后，量子力学得到了井喷式的发展。从1924年到1926年，短短的三年时间里，一群天资聪颖、勤奋、勇敢、性格各异的年轻物理学家，在没有任何协调组织的情况下，一起建立了量子力学所有的基本概念和理论框架。而且这些年轻的物理学家身处世界各地，只能通过书信和纸质的学术期刊交流。现在量子力学教科书里所讲述的基本概念和理论框架在1926年年底前发表的论文里都可以找到。狄拉克(Paul Adrien Maurice Dirac, 1902 - 1984) 1930年写的专著《量子力学原理》(The Principles of Quantum Mechanics) 时至今日依然没有过时，是每个物理系学生的必读。毫不夸张地说，这三年不只是科学史也是人类历史上的最辉煌的篇章之一。可惜，迄今为止普通大众对这段辉煌的历史知之甚少。5、绝对的相同日常生活经验告诉我们，只要我们足够仔细，我们总能区分两个物体。比如两枚一元的硬币，很多情况下，我们通过肉眼就能把它们区别开。如果肉眼区别不开，我们只要找一个倍数足够大的显微镜就肯定能区别。在日常生活中当我们说两个物体相同时，我们其实是说，对于我们关心的问题，它们间的区别不重要从而可以忽略不计。买东西时，即使一个硬币有个小缺角，我们也不在乎，认为它和其他硬币是一样的，因为它可以买来同等价值的物品。现在我们想通过投掷硬币来赌输赢。如果有两个硬币可以选择，一个有小缺角而另一个完好，这时我们会选择用那个完好的硬币。但如果两个硬币都是完好的，我们会认为它们一样而随机选一个，虽然我们知道在显微镜下这两个硬币看起来是不一样的。总而言之，在日常生活中，两个物体相同是个近似的说法，只要我们足够认真，总是能区分这两个物体。我们忽略这些小的区别，说两个物体相同是因为这些小的区别对我们关心的问题不重要。但是物理学家发现，两个光子是完全相同的：没有任何观测手段可以区分两个光子。我们只能说一个光子具有频率ν₁，一个光子具有频率ν₂；我们不能说光子1具有频率ν₁，光子2具有频率ν₂。依次类推，两个电子是完全相同的，两个水分子是完全相同的，两个碳60分子是完全相同的，等等。总之，这种微观物体间的相同是完美的和绝对的，一种没有任何细小差别的相同。这是量子力学和经典力学的一个本质区别之一。在量子力学里，相同是绝对的，不是近似。第一个发现微观粒子量子全同性的是印度物理学家，玻色(Satyendra Nath Bose , 1894-1974)。二十世纪初的印度，科学远远落后于欧洲，但最新科学成果虽然有些滞后依然顽强地传播到了印度，包括刚刚起步的量子物理，并激发了印度求知青年的兴趣。 玻色1894年出生于印度的加尔各答。他父亲先在东印度铁路公司当职员后来自己开了公司，他母亲来自一个律师家庭，受过教育。玻色五岁开始上学，在学校表现优异。1909年，玻色在总统学院(Presidency College)开始了大学生涯，他选择了科学作为自己的专业。玻色于1913年获得了学士学位，1915 年获得了硕士学位。由于当时的印度在科学和教育上还很落后，玻色没有机会继续深造。在做了一年私人教师后，玻色获得了一个机会。加尔各答大学开始建立理学院，玻色成了这个理学院最早的物理教师之一。他和他的同事从一个曾经留学德国的朋友那里借来物理书和期刊，边自学边上课。1921年，玻色被达卡大学高薪挖走，他的任务是在达卡大学建一个物理系。在这里玻色写下了那篇令他永垂青史的论文。玻色在这篇论文给出了一个新的推导普朗克黑体辐射公式的方法。我们前面提过，普朗克一直对自己的推导不满意，尝试了各种改进方法。现在回头看，普朗克的所有方法都是有缺陷的，因为他的各种尝试总是想尽量回到经典物理，这是注定要失败的。玻色在他的推导里又引入了一个新的完全突破经典的概念，光子是完全相同、不可区分的。基于这个概念再利用普朗克提出的光量子，玻色在人类历史上第一次给出了黑体辐射公式的正确推导。玻色的突破是惊世骇俗。在这之前没有任何人意识到了量子物理和经典物理会有这种本质区别：在量子的世界里，相同是绝对的；在经典的世界里，相同只是一种近似。但玻色论文的发表却遇到了些困难。他把论文投到了一个英国的期刊发表，没有成功。在1924年6月4日，玻色把论文寄给了爱因斯坦，希望他能帮忙让论文在德国的期刊发表。爱因斯坦立刻看出了玻色论文的重要性，他于1924年7月2日回复了一张明信片，告诉玻色：他已经将论文翻译成了德文，并安排在一个德国的期刊发表了。不但如此，爱因斯坦立刻将这个概念推广，既然光子是全同的、不可区分，那么其他粒子也是一样的。爱因斯坦为此连续发表了三篇论文，在这些论文里爱因斯坦预言了著名的玻色-爱因斯坦凝聚现象。七十年后，1995年物理学家利用超冷原子气验证了爱因斯坦的预言。那么玻色是如何取得这个突破的呢？笔者认为是误打误撞。我们来看看玻色写给爱因斯坦的信。玻色这样写道：尊敬的先生：我斗胆把我的论文寄给您，希望您能审阅并给出意见。我非常急切地想知道您对论文的看法。你会看到，我成功地推导出来了普朗克公式中的系数8πν2/c3。我在推导中没有用经典电动力学，而是假设相空间应该被分成很多小格每格大小是h3。我的德文不够好，无法将论文翻译成德文。如果您觉得这个文章值得发表，请您帮忙安排它在Zeitschrift für Physik（一种德国物理期刊）发表。尽管对您来说，我是一个完全的陌生人，我还是毫不犹豫地向您发出了这个请求。因为我们都是您的学生虽然我们只能通过阅读您的论文受到教诲。您真诚的玻色，1924年6月4日玻色在信中完全没有提及光子的不可区分，玻色在他的论文里也没有明确提及这点。一个合理解释是这样，在推导过程中，玻色需要把光子放入他说的“小格”里，并计算所有可能的组合方式。在计算组合方式时，他在自己没有意识到的情况下把光子当作了不可区分。如果他把光子看作是可区分的，就会得到不同的组合数，从而无法推导出普朗克的公式。但爱因斯坦一眼就看出来了，并急切地做了推广，如果玻色获得了深造的机会（在印度或在欧洲），他的基本功可能会更扎实些，这样他或许就不会犯这个“光彩夺目”的错误了。与此同时，独立于玻色和爱因斯坦，三个年轻的天才也开始关注这个问题。他们是泡利(Wolfgang Pauli, 1900 - 1958)、费米(Enrico Fermi, 1901-1954)和狄拉克。泡利1900年出生于奥地利，父亲是化学家，教父是著名的物理学家马赫，母亲是一位作家的女儿。泡利自幼就显出了极高的天分，18岁高中毕业后刚刚两个月就发表了自己第一篇论文，在论文里他研究了广义相对论。随后泡利成为索末菲尔德的学生，并于1921年获得了博士学位。泡利是个完美主义者，不但自己尽量做到完美，而且当看到别人的“不完美”工作，也会毫不留情地批评。或许因为太追求完美，他不愿意发表论文，他对物理的很多贡献只能在他和朋友的通信里找到。费米于1901年出生在罗马，他父亲是个政府职员，母亲是个小学教师。费米从小喜欢玩各种电动和机械玩具，会如饥似渴地阅读他能接触到的任何物理和数学方面的书籍。高中毕业后，费米参加大学的入学考试，考试的题目是《声音的特征》，费米用傅里叶分析法解了一个关于振动长棍的微分方程。主考教授非常欣赏，给了他最高分。意大利虽然是伽利略(Galileo Galilei, 1564-1642)的故乡，当时的意大利物理水平却远远落后于德国、英国和法国。上了大学后，费米基本上还是自学物理，大学里的物理教授们发现没有什么东西可以教费米，教授们反而经常向费米请教问题。他们甚至让费米来组织量子物理方面的学术报告。费米于1922年获得了博士学位。费米是少数几个同时精通理论和实验的物理学家。狄拉克1902年生于英国的布里斯托(Bristol)，父亲是一个法语老师，母亲则在图书馆工作。狄拉克在他父亲任教的技术学校上中学，除了普通的中学课程，他还要上制图、铁艺等技术课程。狄拉克几乎每门课都是第一名。随后他进入布里斯托大学，专业是电子工程。大学里，除了规定的课程，狄拉克自学了包括相对论在内的很多物理数学知识。1921年大学毕业时，他获得了去剑桥大学深造的机会，但是由于剑桥提供的奖学金太少，没有成行。祸不单行，作为一个工程系的毕业生，狄拉克也没有找到工作。他回到布里斯托大学继续学习，这一次专业是数学。1923年，狄拉克又毕业了，这时他获得一个更高的奖学金，终于如愿进入了剑桥大学，开始了自己的科学生涯。狄拉克性格孤僻、少言寡语、不善于和别人交流，为此留下了很多趣闻轶事。有一次，狄拉克做完学术报告后，有人举手说道，“我不理解黑板右上角的那个方程。”狄拉克没有任何回应，过了相当长时间，主持人试图打破这个尴尬的局面，礼貌地催促狄拉克，狄拉克答到，“那不是一个问题，只是一个评论。”按照现代医学的标准，狄拉克很可能是一个自闭症患者，但这完全没有影响他的研究，或许还有帮助。意气风发的泡利在拿到博士学位后来到了哥廷根，师从玻恩。1922年，玻尔到哥廷根访问，给了一个系列讲座，介绍自己如何用量子理论来解释为什么元素周期表是那样排列的。玻尔尽管取得了一些进展，但依然无法解决其中最大的困难，电子为什么不聚集到最低的能级上？这个问题从此一直萦绕在泡利的脑海。经过三年多的思考和研究，在他人结果的启发下，泡利终于在1925年把这个问题想清楚了。为了解释元素周期表，必须做两个假设：(1)除了空间自由度外，电子还有有一个奇怪的自由度；(2)任何两个电子不能同时处于完全相同的量子态。第一个假设很快被证实，这个奇怪的自由度就是自旋。第二个假设现在被叫做泡利不相容原理。费米自1924年就开始思考电子是否可区分的问题。前面提到，玻尔和索末菲尔德的量子理论完全无法解释氦原子的光谱。费米猜想主要的原因是氦原子里的两个电子完全相同，不可区分，但他一直不知道该如何开展定量的讨论。看到泡利的文章后，费米立刻清楚了自己该做什么。在1926年，他连续发表了两篇论文。费米的第一篇论文是意大利文的，他简短地介绍了一下自己的结果；费米的第二篇论文是德文的，他详细描述了自己的结果。费米在文章中描述了一种新的量子气体，气体中的粒子完全相同不可区分，而且每个量子态最多只能被一个粒子占据。这与玻色和爱因斯坦讨论过的全同粒子有什么不一样呢？我们前面没有提及的是，对于玻色和爱因斯坦讨论的全同粒子，它们可以占据同一个量子态。几个月之后，狄拉克利用一个新方法重新讨论了这个问题，系统地给出了全同粒子的性质。现在我们都知道，微观粒子分为两类：一种叫玻色子；另一种叫费米子。光子、氢原子等是玻色子；电子、质子等是费米子。玻色子满足玻色-爱因斯坦统计：同一个量子态可以被多个玻色子占据；费米子满足费米-狄拉克统计：一个量子态最多只能被一个费米子占据。6、原来是矩阵在玻色、爱因斯坦、费米、狄拉克发展粒子全同性概念的同时，海森堡(Werner Heisenberg, 1901-1976)和玻恩等正在量子理论的另外一个方向取得突破性进展，他们缔造了玻恩梦想的“量子力学”。 海森堡1901年出生于德国，他父亲从中学老师做起最后成为慕尼黑大学教授，他母亲则是一个校长的女儿。海森堡自幼就学习优异，并且受到了很好的音乐教育，钢琴弹得非常好。1920年，海森堡进入父亲任教的慕尼黑大学。他一开始想跟年迈的林德曼教授(Ferdinand von Lindemann，1852-1939)学数论，但被拒绝了。和父亲商量后，海森堡改投索末菲尔德教授门下开始学习理论物理，成为泡利的师弟。和汤普森一样，索末菲尔德也培养了很多诺贝尔奖得主，其中最有名的就是海森堡和泡利了。索末菲尔德慧眼识英才，他让海森堡和高年级学生一起参加他的高级海森堡（1901-1976）研讨班。海森堡也没让他的老师失望，进组一年后，他就提出了一个新的原子模型。利用这个模型，海森堡可以解释当时困扰着所有人的反常塞曼效应。这个模型用现代的眼光看有很多缺陷，但海森堡在这个工作中展示出了他特有的特质：为了解释实验，他愿意随时放弃旧的理论信条。当时的量子理论有个信条：量子数应该是整数。海森堡的模型里则引进了半整数。这不但惊呆了老师索末菲尔德，就连年长一岁的师兄泡利也提出了激烈的抗议：如果1/2可以是量子数，那么 1/4,1/8,1/16,···都可以是，这样就没有分立的能级了。海森堡没有动摇，他的回答是，“成者为王。”(Success santifies means)这个颇受争议的工作为海森堡赢得了很多机会。他受玻恩之邀到哥廷根访问了一年，在哥廷根见到了玻尔并展开了深入的讨论。海森堡深受玻恩和玻尔的赏识：玻恩希望他博士毕业后来哥廷根工作，玻尔则邀请他适当的时候访问哥本哈根。从1922年到1925年，海森堡穿梭于当时量子理论的三个中心，哥本哈根、哥廷根和慕尼黑。通过和这三个中心量子理论大师们与学生的讨论交流，海森堡迅速成长，他深刻了解了旧的玻尔-索末菲德量子理论遇到的困难和危机，开始思考突破的可能。这种快速的成长在海森堡的知识结构里留下了缺陷，有些缺陷显得相当触目惊心。比如，海森堡在博士答辩时不能回答维恩教授的几个简单问题：显微镜的分辨率由什么决定？电池是如何工作的？但具有明显知识缺陷的海森堡却完成了对旧量子理论的全面突破。1925年6月时，海森堡的新量子理论已经基本有了雏形。他意识到，在新的量子理论里必须放弃电子轨道等概念，只关注那些在实验上可观测的量。在经典物理里，我们可以观测行星围绕太阳的轨道，记录航海的路径。但是电子轨道是观测不到的。在海森堡生活的时代，人们只能观测到电子在不同能级间的跃迁强度。海森堡开始构建关于这些跃迁强度的理论，他很快意识到这些可观测 量的乘法很古怪，他的计算遇到了困难。这时海森堡花粉过敏发作，他决定离开哥廷根去一个叫赫尔格兰德(Helgoland)没有什么植物的小岛度假修养。海森堡在这里待了十天，病好了，同时也克服困难完成了计算。1925年9月海森堡在Zeitschrift für Physik 发表了一篇论文，论文的题目是《量子理论对运动学和力学关系的重新解释》“On a Quantum-theoretical Reinterpretation of Kinematic and Mechanical Relations”，看起来并不很吸引眼球。但这篇论文具有里程碑的意义。海森堡自己在文中写道，这篇论文的目的是“建立量子力学的基础，这个基础将只包括可观测量之间的关系。”海森堡发现这些可观测量依赖于两个指标，它们的乘法是不对易的。即如果A和B是两个可观测量，那么AB ̸= BA。海森堡自己也不清楚这些变量是什么，对自己的新理论框架并没有太多信心。由于这些带有两个指标的变量把计算弄得非常复杂，海森堡在这篇论文里只能对简谐振子进行计算，他不知道如何在他的新理论框架里得到氢原子的能级。但玻恩立刻看出了海森堡工作的重要性，并很快意识到海森堡提出的这些古怪的可观测量其实就是数学上的矩阵。他和他的学生约当(Pascual Jordan, 1902-1980)很快证明了动量和位置这两个可观测量间的对易关系。在1925年11月，玻恩、海森堡和约当联合发表了一篇论文，清楚地给出了矩阵力学的基本框架。到1926年初，泡利和狄拉克各自独立地在矩阵力学的框架内给出了氢原子的能级。20岁时，海森堡勇敢地引入了半整量子数；24岁时，海森堡勇敢地突破了旧的量子理论，创立了矩阵力学。7、粒子是波，波是粒子当海森堡穿梭于当时量子理论的黄金三角–哥廷根、哥本哈根和慕尼黑–之间寻求新的量子理论时，量子理论也同时在黄金三角之外沿着一条完全不同的思路平行发展。这些努力最后导致了量子力学的另外一个版本的出现，薛定谔的波动方程。德·布罗意(Louis Victor Pierre Raymond de Broglie，1892 - 1987)1892年生于法国的一个贵族家庭。当1960年他哥哥，德·布罗意公爵六世去世时，他成为德·布罗意公爵七世。德·布罗意一开始的兴趣是文史，18岁获得了一个历史专业的学位。随后开始对科学感兴趣，21岁时又获得了一个理学学位。这时一战爆发，德·布罗意应征入伍，负责无线电通信，工作的地点就是埃菲尔铁塔。这段经历一定让他对波有了非常深刻的切身体验。1918年战争结束后，他开始研究物理，参与他哥哥物理实验室的工作。但德·布罗意个人更喜爱理论物理，他尤其对新兴的量子理论非常感兴趣。1923年，德·布罗意在量子理论的研究上获得了进展，他连续写了三篇简短的论文，发表在了法国的一个期刊上。但是他的理论没有引起任何注意。1924年初，德·布罗意将这些结果系统整理后写成了一篇博士论文。他把论文交给了法国著名的物理学家朗之万(Paul Langevin, 1872-1946)审阅。朗之万一看论文是关于量子的，而且德·布罗意的观点很新颖，他不敢贸然下结论，问德·布罗意又要了一本论文，把它寄给爱因斯坦征询意见。爱因斯坦立刻洞察到了德·布罗意工作的重要性，他在给朗之万的回信中写道，“他揭开了那个厚重面纱的一角”(He has lifted a corner of the great veil)。爱因斯坦马上在自己一篇于1925年发表的关于玻色统计的论文里讨论了德·布罗意的理论，从而让德·布罗意的理论受到众人的关注。那么德·布罗意在他的博士论文里究竟提出了什么新颖的理论呢？让我们回顾一下爱因斯坦1905年那篇著名的光量子论文。在这篇论文里，爱因斯坦提出光是粒子，并基于这个观点解释了光电效应。经过多年努力，到1916年，实验物理学家明确无误地宣告他们在实验上验证了爱因斯坦的光电效应公式。但是即使这时，绝大多数物理学家依然拒绝接受爱因斯坦的观点，光是粒子。原因很简单，大量的实验和麦克斯韦方程告诉我们光是波。同一种东西怎么可能既是波又是粒子呢？当时几乎所有的物理学家都认为这是不可能的。德·布罗意似乎完全没有受到这些成见的影响，他采取了更加积极的态度。既然被大家认为是波的光可以是粒子，德·布罗意觉得那么粒子也可以是波，比如电子可以是波。和哲学观点不一样，任何一个物理观点必须被定量刻画。德·布罗意在他的博士论文里围绕这个观点开展了大量的定量讨论。首先，他认为如果一个粒子的动量是p，那么它的波长是λ=h/p。其次，他认为既然电子是波，那么电子围绕质子就会形成驻波。依照这个思路，德·布罗意神奇地重新推导出了玻尔的氢原子轨道和能级。最后，德·布罗意预言电子也会发生散射和干涉。德·布罗意的这个预言后来得到了实验的证实，他为此于1929年获得诺贝尔奖。就这样，作为一个曾经的文科生，在当时的物理圈默默无名的德·布罗意提出了波粒二象性，成为唯一一个为量子力学做出奠基性贡献的法国物理学家。是薛定谔登场的时候了，他完成了新量子力学的最后一笔，极其重要的一笔。薛定谔(Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, 1887 - 1961)于1887年8月12日出生于维也纳。他父亲是一个植物学家，母亲是一位教授的女儿。薛定谔早期的学术生涯和普朗克很类似。虽然事业一直很顺利，最后成为苏黎世大学的正教授，但并没有特别耀眼的成果。薛定谔的个人生活和普朗克却是完全不同。薛定谔风流倜傥，一生情人不断，并且公开和妻子与情人一起生活。薛定谔的灵感来自德·布罗意的波粒二象性。他首先通过爱因斯坦1925年那篇关于玻色统计的论文了解到了德·布罗意的观点。随后他仔细研究了德·布罗意的博士论文。既然粒子是波，那么就应该有一个相应的波动方程。带着这个想法，薛定谔在1925年圣诞节前离开苏黎世来到了阿罗萨(Arosa)。当他一月份回到苏黎世时，薛定谔已经有了他的波动方程和很多计算结果。在外尔(Hermann Weyl, 1885-1995)的帮助下，薛定谔解决了最后几个数学细节问题，开始撰写论文。1926年1月27日，学术期刊《物理年鉴》(Annalen der Physik)收到了薛定谔的论文稿，在这里薛定谔提出了他那著名的波动方程和波函数，并利用它们给出了氢原子的正确能级。在阿罗萨到底发生了什么？现在是科学史上的一个谜。薛定谔有写日记的习惯，不但记录自己研究的心得也会记录自己和情人的约会。但是薛定谔1925年的日记消失了。他自己后来写了些回忆录，也没有细致描述自己1925年在阿罗萨是如何找到了那个著名的波动方程。现在可以确定的是：(1)当时有一个情人陪伴薛定谔，但是无人知道她是谁；(2)留下了两个充满公式的笔记本；(3)由于完全沉浸于他的波动方程，这个假期薛定谔没有像往常一样去滑雪。无论怎样，薛定谔方程诞生了，它是一个完全等价于矩阵力学的量子理论形式。薛定谔自此一发不可收拾，接下来又发表了三篇论文进一步发展和完善自己的波动力学，并在第四篇论文里（1926年6月）引入了复数建立了包含时间变量的薛定谔方程。最后为整个新量子理论框架填上点睛之笔的是狄拉克。当他读过薛定谔的论文后，狄拉克很快意识到薛定谔的波动力学和海森堡的矩阵力学的等价性。他于1926年9月发表了一篇论文，题目是《论量子力学理论》(On the Theory of Quantum Mechanics)。在这篇论文里，狄拉克不但清晰地论述了薛定谔和海森堡理论的等价性，而且通过多粒子波函数的置换对称性明确指出量子世界里只有两种粒子，玻色子和费米子。8、回味这是一段令人震撼同时也是令人回味无穷的历史。人们可以从不同的侧面来回顾这段历史并以此来展望未来。我在这里重点回味一下我们的英雄，总结一下他们各自的特点和在这段历史中扮演的角色。普朗克是一个典型的大学教授，扎实、锲而不舍、刨根问底，尽量去完善已有的理论而不是去突破它。这些品质决定了普朗克是一个“不情愿的革命者”。凭着刨根问底的精神，他发现了“量子”。但随后普朗克不是去继续发展“量子”，反而总是试图通过完善经典理论来消除“量子”，把自己推开的量子之门关上。爱因斯坦则无疑是一个千年难得的天才。首先他单枪匹马创立了相对论，其次他在量子理论发展上所做出的贡献和所起的作用也是无人能比的。在玻尔提出原子的量子理论以前，爱因斯坦几乎是孤身一人在支撑量子理论的发展。他发展了普朗克的“量子”概念，认为光具有粒子性。爱因斯坦从来没有想走回头路，而是继续向前，他进而将普朗克的黑体辐射公式成功应用于固体比热问题。他的自发辐射理论完善了旧的玻尔-索末菲尔德量子理论。在新量子理论的发展中，爱因斯坦又担当起来了穿针引线的作用。玻色和德·布罗意当时都是默默无名的物理学家，爱因斯坦慧眼识才，一眼看出了他们工作的重要性，并积极介绍给其他人。即使在晚年，他对量子力学的大声质疑也促进了量子力学的发展，促使人们深入思考量子纠缠这个在早期量子力学发展中被忽视的概念。玻尔早期是一个冲锋陷阵的士兵。他的原子理论是量子理论发展的一个拐点，彻底改变了量子理论不受重视的局面。到量子理论发展的后期，玻尔则更多地扮演了导师的角色。和索末菲尔德、玻恩一起建立了三个活跃的量子理论发展的中心，哥本哈根、慕尼黑和哥廷根。他们一起培养了一批能力超凡的年轻物理学家，最突出的代表就是海森堡和泡利。海森堡就是在这三个中心之间穿梭，深刻了解了旧量子理论的局限性，最后发展了矩阵力学。比较爱因斯坦和玻尔总是非常有趣。他们都在早期对量子理论做出了革命性的贡献，对它的发展起了决定性的作用。到后来他们都不再冲锋陷阵，而是通过积极帮助年轻人来推动量子理论的发展。但他们帮助年轻人的方式非常不一样。爱因斯坦不是一个好导师，不喜欢将自己置身于学生之中，几乎不和学生合作开展研究。他完全是依靠自己独特的洞察一切的眼光，通过发现年轻人工作的重要性来帮助他们。玻尔则喜欢和学生交谈，和他们一起思考和讨论问题。他和索末菲尔德、玻恩一样，是先发现有才能的年轻人，然后引导他们去攻城拔寨。量子力学发展的后期，涌现了一批年轻而天才的物理学家，他们迅速地取得一个又一个突破，在短短的三年时间里建立了一个全新的量子理论。“八仙过海、各显神通”是对他们最确切的描述。德·布罗意出生贵族，衣食无忧，凭着自己的兴趣弃文学理。这种背景注定了他不受成见的束缚，在几乎没有他人讨论的情况下提出了粒子即波、波即粒子的革命性概念。狄拉克则出生普通中产家庭，似乎患有自闭症，不但不善与人进行日常交流，也几乎不和别人合作和讨论物理问题。但他凭着自己绝对的天才，傲步于物理学界。他不但做出了前面描述的重要工作，后来更是通过和狭义相对论结合，提出了一个新的波动方程，狄拉克方程，预言了反粒子的存在。费米也是一个难得的天才，几乎是自学成才。和狄拉克不一样，费米善于和人交流，更注重物理的直觉而不是数学的优美。后来费米在粒子物理方面做出了很多杰出的贡献，比如搭建了第一个核反应堆，领导了曼哈顿计划。泡利和海森堡几乎有着相同的成长轨迹，先是师从索末菲尔德，后来成为玻恩和玻尔的助手。只是泡利年长一岁。从基本科研素质而言，泡利无疑是更优秀的，18岁便已经开始研究广义相对论；而海森堡则具有明显的知识缺陷，比如博士答辩时不能解释显微镜的工作原理。最后海森堡在量子理论的发展上却做出了更大的贡献。原因是，海森堡更勇敢，更愿意抛弃旧的理论。海森堡的勇敢或许来自他知识的缺陷：缺陷越多，束缚越小。玻色的成功非常独特。他热爱物理，但没有得到机会去欧洲留学接受当时最好的物理教育。可能就是这个原因，他最后误打误撞突破了经典理论，提出了新的量子统计。在这些新量子理论的开创者中，薛定谔是最年长的了。前面那些年轻人都只有二十几岁，而1926年时，薛定谔已经39岁了。他和普朗克一样，在突破以前几乎没有什么特别有影响力的科研成果。但和普朗克又不一样，他随后全身投入了量子力学的发展，量子纠缠也是他最早注意到的。薛定谔写的一本书《什么是生命》在生物界也影响广泛。发现DNA 螺旋结构的生物学家詹姆斯·沃森(James Watson, 1928-)一开始对鸟类学感兴趣，读了这本书之后转而开始研究基因。这一切告诉我们一个明确的道理：科学的突破是没有固定模式的。
********************笔者的历史资料来自如下几本书和Wikipedia：1. Walter J. Moore, Schrödinger: Life and Thought (Cambridge University Press, Cambridge, UK) 1989; 2. Helge Kragh, Quantum generations (Princeton University Press, NewJersey, USA) 1999;3. David D. Cassidy, Beyond Uncertainty (Bellevue Literary Press, New York, USA) 2009; 4. Kameshwar C. Wali, Satyendra Nath Bose: His life and times (World Scientific, Singapore) 2009；5.格雷姆·法米罗(Graham Farmelo，兰梅译),《量子怪杰：保罗·狄拉克传》（重庆大学出版社，2015）