量子信息8：原子与光子共舞1：半经典理论

概述

前面我们概述了量子计算物理实现的一些基本原则，此后，我们将进入在具体物理系统中的量子计算物理实现这一领域。未来几篇文章中，我们将介绍光与物质（原子）的相互作用体系。由于技术的进步，在腔量子电动力学系统中，可以通过控制原子与光场相互作用，实现原子与光子间的能量交换，因此，腔量子电动力学系统成为了实现量子信息处理的有效物理实现系统之一。

光与原子的相互作用，按照对原子与光场的不同处理方法，可以分为四种不同的理论模型：

（1）全经典理论：原子和光场均作经典处理，也就是说原子遵循牛顿方程，光场服从麦克斯韦方程组。通常在经典电动力学系统中采用此种理论。

（2）半经典理论：原子作量子力学处理，遵从薛定谔方程，而光场则作经典处理。此时，可以较好地解决有关激光与物质相互作用的许多问题。

（3）半量子理论：作为光场源的电荷或电流用经典力学来描述，光场则按量子力学来处理，比如受迫谐振子。

（4）全量子理论：原子和光场都作量子力学处理。此时，能够全面描述辐射场的量子涨落和激光与物质相互作用的各种现象。

由于量子计算中，原子将作为量子比特，也就是说需要对其做量子化处理，并取二能级（或者少数几个能级）近似，因此我们接下来重点关注的是半经典理论和全量子理论，在实际应用中，通常需要将二者的处理结果进行比较分析。

半经典理论框架

在半经典理论中，光与原子相互作用系统的哈密顿量为： 

原子的线度一般处于0.1纳米的数量级，而即使是可见光，其的波长也在0.1微米的量级，微波的波长更长，因此在原子范围内光场可以看作是均匀的，这就是偶极近似。因此，相互作用哈密顿量可以写为

因此，在偶极近似下，光与原子相互作用哈密顿量为

至此，对原子的能级数和光的模式未加任何限制。因此，上式是多能级原子与经典多模电磁场在电偶极相互作用下的一般形式。

二能级原子与单模光场的相互作用

实际应用中，单模电磁场与二能级原子的相互作用最常见，下面具体分析其动力学演化。经典单模电磁场可以表示为

两能级原子的电偶极矩为

称为Rabi频率，描述了原子与光场之间的耦合强度。

此时，系统的总哈密顿量为：

从另一个角度看，我们也可以将H变换到以光场频率旋转的坐标系中。由于

注意，这两个哈密顿量描述的物理过程是相同的。

量子态演化

下面，用概率幅方法求解任意量子态演化。设

而通解为

可解出a, b进而可得t时刻原子的量子态；

由此可求得各能级的布居数、布居差、以及原子的电偶极矩等。

为了计算简单，假设原子初始处于上能态，

当电磁场与原子共振相互作用时，

可见，原子以拉比频率在上下能态间作简谐振荡，称为Rabi振荡。

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