“欧洲杯”：物理学教授葛惟昆为你讲足球
“踢足球非常简单，难的是踢简单的足球。” ——克鲁伊夫
本文作者：葛惟昆，香港科技大学、清华大学教授。
本文已刊登在《物理与工程》期刊2016年第4期
文章由以下七部分展开：
一、足 球 是 科 学
二、足 球 的 物 理 学 与 统 计 学
三、足 球 的 哲 学
四、足 球 与 文 化
五、足 球 经 济 学
六、足 球 与 教 育
七、科 学 足 球 的 未 来
本文将分三次向大家推送，前两部分如下：
足球，这个世界第一运动，在中国历尽劫波，让国人又爱又愁，现在终于迎来了自己的春天。习近平总书记的关注和激励，为中国足球的发展注入了强大的精神力量，他对中国足球的最大期待，就是中国足球能跻身世界强队，使足球运动为增强人民体质、激励人们顽强奋斗精神发挥重要作用。
要发展足球，必须研究足球，成为足球的内行。中国足球长期落后的一个重要原因，就是文化素养匮乏，更缺少科学的认识，以至于充满盲目性。本文旨在说明，足球有自身的规律性，足球不仅是运动，更是文化，是科学，是教育，它不但增强人民体质，也提高人的素质、提高人的修养，激励人们顽强奋斗。足球，凝聚一种精神。
一、足 球 是 科 学
把足球当做科学来研究，在西方日益受到重视。一些出色的物理学家投入了这个领域。清华大学物理系学生足球队翻译的《足球的科学》一书（图1），就是一位英国物理学家John Wesson的专著。它论述了球在空气中的运动，各种触球的要领，竞赛理论，以及足球经济等等，并对空气动力学问题辅以完整的数学表达式。自此以后， 一些物理学家针对电梯球等足球中的特殊技术，做了认真的物理分析，并在一流学术刊物上发表。相比而言，我国在这方面的研究和整个足球界的状况一样，处于落后的地位。本文试图从这种研究开始，以足球的魅力和科学为主题，为中国足球事业的发展鼓动宣扬、出谋献策，尽绵薄之力。
二、足 球 的 物 理 学 与 统 计 学
足球运动， 不管是正式比赛还是练习或游戏，都是足球在场上飞来飞去； 而足球球体的运动，从物理学的角度来看， 就是一个弹性球体在空气中运行的典型的空气动力学问题。足球的运动服从物理规律：包括球的弹射与飞行，踢球的力度与角度，“香蕉球”原理，传球与截断路线的几何分析，控球的时间与空间把握，等等。这种运动的一般规律并不复杂，主要起作用的因素就是球的弹性与摩擦力（包括球的材质及表面结构）和空气阻力。但是有些情况稍许特殊，例如弧线球（也称香蕉球）和电梯球，我们在这里做一些简单的介绍。
1， 弧线球
弧线球，也称香蕉球，指的是踢出的足球在空中飞行一道弧线，其落点偏离出射时的直线方向。尤其在罚任意球时，可以通过诡异的轨迹窜入对方球门之内。著名的英国帅哥球员贝克汉姆就以出众的脚法，通过罚出香蕉球来改变比赛进程而举世闻名。贝克汉姆是以右脚的脚内侧发出的弧线球，而巴西运动员卡洛斯在与法国队比赛时以左脚外脚背踢出的弧线球更是惊世骇俗。
弧线球的轨迹如图2 所示。
图2，弧线球的俯视图：球从右方踢向左方，球本身顺时针旋转，球的飞行将向右偏转
旋转的足球在飞行中受到侧向力的推动， 是基于著名的马格努斯定律， 其方向为旋转矢量与速度矢量叉乘的矢量方向， 大小FL为
其中 CL是空气的粘滞系数， r是空气密度，a和 A分别是球的直径和截面积， w是球旋转的角频率， V是球的飞行速度。由此可以计算出，如果我们想把球踢到L那样远的距离， 而又产生D那样大的偏离（如图3）时， 所需要的足球的旋转角频率为
式中l表示在 l的长度内， 有足球那样大的截面积的体积中空气的质量与球的质量相同， 所以 l代表空气密度。式（2）表明，球速越快，偏离距离越大，所需要的旋转越厉害。我们还可以求出香蕉球偏转的角度为
式（3）说明，距离越远、速度越慢，偏离角度越大。这就是为什么我们经常会看到，在香蕉球运行的末尾时刻，会有更剧烈的偏转，使守门员防不胜防。
（a）
（b）
图3 (a) 速度、旋转和受力的矢量关系
(b) 弧线球轨迹，L为踢球的距离， D为偏转的幅度，fai为出球方向与球落点方向的夹角。
香蕉球的要领在于球的旋转，所以对球员的脚法和球商都有很高的要求。贝克汉姆用右脚的内侧（见图4），踢球时要保障脚与球有比较长的接触时间，形成强烈的摩擦，从而使球剧烈旋转，同时要给予球足够的冲力，使它有足够的速度飞向对方的球门。而卡洛斯则是用左脚的外脚背，其原理是相同的，但足球旋转和偏离的方向则相反。
图4 英国足球明星贝克汉姆踢出香蕉球
2 , 电梯球
电梯球的历史不长，但它一出现就惊世骇俗。虽然巴西人儒尼尼奥是第一个踢出这种球的球员，但直到意大利的足球天才皮尔洛在对波兰队的一场正式比赛中踢出这样一脚精妙绝伦的进球时，才正式被《米兰足球报》美名为“电梯球”。它是这样一种足球状态：球很快地呈斜线往上飞，又以更大陡度急坠，好像电梯急上急下。
电梯球技术很快引起了物理学家的注意。法国巴黎理工大学 Cohen 等在2012 年做了系统研究。先在全美物理大会流体力学分会（2012 ， 圣地亚哥）发表， 后载于 2013年“Proceedings of Royal Society A”。主要根据该文的结果，我们结合实例在《物理》杂志上对电梯球做了通俗的阐释。Cohen等人的主要结论是：对于不同的发射速度，可以观察到两种不同的轨迹；对非旋转球体， 当起始速度小于末端速度时， 球体轨迹为经典的伽利略抛物线； 而当起始速度远大于末端速度时， 球的轨迹不再是抛物线， 而是称为塔尔塔利亚的非对称曲线，球在下落时急坠。 在后一种极限情况下，由于空气阻力壁的作用，轨迹展现出竖直的渐进线。起始速度 U0 与
可以明显看出，球的下落轨迹要远比上升轨迹陡峭，这正是电梯球的特点。通过求解牛顿方程，可以得出不同雷诺数情况下的运动轨迹，如图 6 所示，出射角均为 45度，
图6 同一出射角，不同雷诺数下的轨迹
但细心的读者会注意到，电梯球与香蕉球的一个最大不同，在于它是不旋转的，只是要求初速极高，一般要接近150公里/小时，而足球球速的最高纪录超过200公里/小时。这对运动员的体能、体力是极大的挑战。目前世界上运用电梯球技术最多、最好的要数葡萄牙运动员C 罗纳尔多，一般都称他为 C罗。为了踢好电梯球， C罗在教练的指引下，专门加强训练腿部肌肉和膝关节的力量，并形成一套踢球的模式，甚至要选择球的气门处作为击球点，以增强弹性，可谓用心良苦。
3， 球体材质与表面状态的影响
但是C罗在2014年世界杯以后，在罚任意球方面遇到了麻烦。去年十月的一篇报道说：“在皇马和葡萄牙国家队，C罗垄断了各个距离和位置的任意球机会，不过他的任意球得分效率正醒目地下降，最近85次主罚任意球，他只打入2球，以至于有媒体认为，皇马应该在任意球上拉响警报，并考虑更换主罚球员。”这篇报道没有深入分析这里面的原因，其实我们早在2014年巴西世界杯时，就根据足球表面结构的变化预见到了这一点（见清华电视台的“名哨侃球”节目）。
足球的材质和制法，从中国古代的蹴鞠开始，有很大的发展和变化。现代足球本来的基本形状如图7所示，由32块皮子组成。这看来平常的样子，其实与科学有很大关联。
图7 左为典型的足球，右为碳-60
首先， 在数学上可以从欧拉公式计算出， 这个结构中必须有12个面是正五边形，20个面是正六边形； 其次在化学方面，1985年发现的碳 - 60 结构是一种天然分子，它以60个碳原子作为顶点，组成一个32面体，正好是像足球一样的体， 所以也称为足球烯。由于碳–60 在科学上的重要意义，它的发现被授予1996年化学诺贝尔奖。最后，从物理上看， 这种结构非常坚实，与排球和篮球的结构都不相同，可以承受最大的冲力。特别有趣的是，这种表面结构在近代有了许多变化，如图8 所示。图中(a)(b)正是最新发展的。
图8 足球板型的演变
在2014年巴西世界杯上采用的 Bruzuka ,号称桑巴荣耀的板式，它只有六块皮子，不但减少了皮子之间的缝隙数量， 而且表面还布满小酒窝， 因此对空气阻力壁的形成有削弱作用。日本的一个研究组对此作了认真的分析和实验， 包括在风洞中的实际检测4。 结果表明，这种新的板型，使 Bruzuka 足球的可预期性比较强，自己能判断轨迹，而不像前两代阿迪的用球（分别有14块和8块皮子），如果大力抽射的话会踢出一些非常诡异的弧线。Brazuca 球能够踢出更强的弧线，只要你的脚法运用适当，而且球的弧线是很好预测的，即有利于香蕉球。然而，电梯球就不容易踢出来了。虽然在2014年时以电梯球罚任意球的技术还风头正劲，但我们曾根据球球板式的变化，预计在巴西世界杯上，电梯球的数目会大大减少。事实果然如此，而C罗主罚任意球的失落也应当与此有重要的关联。
4， 统计学
统计学在足球比赛中得到广泛的应用。球场的大小（长短宽窄），每支球队上场比赛的球员人数，强队和弱队取胜的不同概率，以及在比赛的各个不同时段进球的概率等等，都有人做过精细的研究。
有两个数据很有参考价值。一个是在《足球的科学》一书中，根据球场的大小、球员的人数和每个球员跑动的速度，计算出在比赛场上，每次一个球员接到球后，平均的处理时间为 3 秒。在这样短的时间内，球员要有大局观，洞悉场上的风云诡异，发现最佳的传球或行进的路线，做出最聪明的决定。所以足球运动员的智商不能低，更不能自私和目光短浅。
图9 点球进球概率与点球点距离的关系
其次是点球的进球率。选择距离球门线12码的地点罚球，是基于公正的考虑。点球的平均进球率可以通过改变罚球距离得到。如果距离为零，在门线上罚点球，那么守门员只要站在球的正后面，就可以阻止进球。当罚球点距离门线3码时，得分概率几乎可以达到100%，因为此时可以将足球安全地高速踢出，不会被守门员碰到又不会出界。比如在3码外以60英里/小时的速度射门，方向为距离门柱3码处，那么足球就会在距离守门员9码处进门，行进时间仅为1/7秒，守门员基本没有任何机会。英国还有人计算出，如果点球射入球门左右上面的两个死角，那么再出色的守门员也无法扑救。正因为如此，许多优秀运动员追求这个死角来罚点球，但由于截面太小，反而容易把球踢飞。如果罚球点移远，那么进球概率会减少；而在12码距离时，实验得出概率为70%（见图9）。 这个70%的概率非常有吸引力，它使点球充满悬念， 又饱含期待；它把主要的压力放到了罚球队员身上，大大增加了比赛的不可预知性和刺激性。
。。。。。。余下部分将持续向大家推送，请关注本公众号。
引文格式 (根据GB-7714参考文献著录标准)：葛惟昆. 足球的魅力与科学[J]. 物理与工程，2016,26（4）：32-.37
更多热门文章（点击下面的标题即可查看）
《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台 ：http://gkwl.cbpt.cnki.net