电动力学观点下的高中物理电磁学典型问题研究

知识结构是影响物理教师教学能力的关键因素之一，而物理教师知识结构的核心内容之一就是教师的学科本体知识。物理学科本体知识对教师的影响包括3个方面：一是，物理学科本体知识的水平决定着教师对物理学的理解，从而也决定着教师对物理教科书的把握和运用；二是，物理学科本体知识的理念影响着教师的物理观念，从而影响着教师物理教学行为的选择和调控；三是，物理学科本体知识的思想在哲学层面上规约着教师的世界观和教育观，从而规约着教师物理教学活动的价值取向和活动方式。

当今学生接受知识的渠道越来越多，知识面越来越广，学生的求知欲对教师的知识结构提出了更高的要求。要想送给学生一碗水，教师必须有一桶水。教师的知识结构越全面，才能居高临下地指导学生，让他们抓住问题的实质。因此，物理教师要尽可能地站在高观点下(即大学电动力学角度)审视中学物理的内容，加强挖掘中学物理问题背后隐藏的知识，从而提高自己的物理素养，形成全面、扎实、灵活的学科知识结构。

下面结合教学中遇到的具体问题，谈一谈如何在电动力学观点下对中学物理电磁学典型问题进行深入研究。

问题一 带同种电荷的物体一定相互排斥吗

我们知道“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”指的是点电荷。但在实际教学中，一些教师和学生往往会认为“带同种电荷的物体相互排斥，带异种电荷的物体相互吸引”。真的是这样吗？在不考虑万有引力和磁力，仅考虑物体所带电荷之间的相互作用力的情况下，我们来看这样一个问题。

见图1，一个半径为R的金属球带正电，其电荷量为Q，将电荷量为q的一个正点电荷放在离球心a处，试求球上电荷作用在q上的力。

图1

解析 解答该问题需利用镜像法，下面通过一个模型介绍镜像法。

半径为R的接地金属球外有一电荷量为q的点电荷，点电荷与球心O相距a，如图2所示。金属球靠近点电荷一侧将出现负感应电荷，感应电荷是面电荷。我们能否用假想点电荷q1来等效替代金属球上的感应电荷呢？根据对称性，q1应在Oq连线上，如图3所示。在q和q1的共同作用下，球面上任一点P的电势都为零，则

图2

图3

式中，r为q到P的距离；r′为q′到P的距离。因此对球面上任一点，有

常量

(1)

选择q1在合适的位置使△Oq1P与△Opq相似，则

常量

(2)

设q1距球心为b，两三角形相似的条件为

则

(3)

联立(1)、(2)两式，得

(4)

由式(3)、(4)可确定假想点电荷q1的位置和大小。

下面，回到本题中的模型。若导体球带有电荷量Q且不接地，则导体的电势不为零，但仍然是一个等势体。根据前面的讨论，导体球表面的负感应电荷仍然可用距球心为电荷量为的假想点电荷来等效替代。根据电荷守恒定律，导体球表面还带有电荷量为的正电荷，为保证导体球为一个等势体，可用位于球心的假想点电荷等效替代。这样，把研究导体球表面的电荷与点电荷q之间的静电力转化成研究两个假想点电荷和q2=与点电荷q之间的库仑力，如图4所示。

图4

则

整理，得

(5)

若则F<0，点电荷q受到的是吸引力。这种现象会在两种情况下发生：一种是Q很小；另一种是a-R很小，即q离球面很近。

第一种情况，从数学上看，对于给定的q、R、a来说，只要Q足够小，式(5)总可以满足。从物理上看，当Q足够小时，Q对q的排斥力小于感应电荷对q的吸引力，则q受到金属球上电荷的总的作用力仍为吸引力。

第二种情况，从数学上看，a-R很小，即式(5)右端分母很小，因而式(5)可以得到满足。从物理上看，只要q距球面足够近，即球上感应出来的负电荷离它很近，虽然整个球的总电荷是正的，但q还是有可能受到金属球的吸引力。

“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”是电荷之间相互作用的一般规律，而非带电体之间相互作用的一般规律。当两个带电体间距很小，不能再视为点电荷，而应考虑其电荷分布及各部分电荷的受力情况时，带同种电荷的物体之间就可能产生引力了。

问题二 当时，速度选择器中的粒子将何去何从

速度选择器是中学物理中涉及的一种重要仪器，与其直接相关的物理学原理便是带电粒子在复合场中的运动。然而在实际教学中，大多数教师在对其选择原理的理解与讲授时不够清晰明了。

如图5所示，金属空腔内部加上方向垂直纸面向里的匀强磁场以及方向垂直极板向下的匀强电场，两端开有在同一水平直线上的小孔。这样，将带正电荷q的粒子沿水平方向射入左端小孔时，该装置便能选择出的粒子。对此，一般的解释是：

图5

当时，有qE=qvB，粒子在竖直方向上受力平衡，则沿直线运动直至从右孔射出；

当时，有qE<qvB，则粒子向上偏；

当时，有qE>qvB，则粒子向下偏。

这样，就达到了选择的目的。但是，那些的粒子将何去何从？它们的运动轨迹将会是什么样子？

列出粒子的运动学方程，求解其运动轨迹。建立如图6所示的空间直角坐标系，设t=0时，粒子所处位置为原点O。

图6

粒子所受的力为

其中i、j、k分别是x、y、z轴正方向上的单位矢量。则粒子的运动微分方程为

对式(7)微分，得

(8)

将式(8)代入式(6)，整理得

(9)

解得

(10)

将式(10)微分后代入式(7)，得

(11)

因为t=0时刻，vx=v，代入式(11)，得

(12)

所以

对式(13)和式(14)分别积分，得

由此可以看出，当时，其函数图像即粒子运动轨迹为一条直线。则粒子在x轴方向上做的匀速直线运动。

当时，其函数图像即粒子的运动轨迹分为以下3种情况。

(1) 时，其图像大致如图7所示；

图7

(2) 时，其图像大致如图8所示；

图8

(3) 时，其图像大致如图9所示。

图9

当时，其函数图像即粒子的运动轨迹大致如图10所示。

图10

综上所述，当时，带电粒子在xOy平面内参与了两个运动，一个是x轴方向上的速度为的匀速直线运动，另一个是以x轴为切线为半径的逆时针方向上的匀速圆周运动，其在y轴方向上的最大位移为由此可以判定，速度选择器所选择的是速度以及附近的一定范围的粒子。因为速度选择器的孔径是有一定限度的，当其半径大于时，粒子便会被选择出来。因此，为使仪器精良，两侧小孔要尽量小。而未被选择的粒子有可能打在上下两侧壁上，也有可能打在左右两侧壁上。由于粒子参与两个运动，一个为的匀速直线运动；另一个为匀速圆周运动，其周期为所以，粒子在x轴方向上每移动便到达x轴即两侧小孔连线一次。而实际制作时，两侧小孔的距离不等于的整数倍，以排除粒子“误”出小孔的可能。

问题三 带电小球是否受洛伦兹力

在高中阶段，运动电荷在磁场中受到的力称为洛伦兹力。电荷量为q的粒子以速度v运动时，如果速度方向与磁感应强度B方向垂直，那么粒子受到的洛伦兹力的大小为F=qvB。关于“洛伦兹力”的教学，常常遇到一些容易混淆的概念问题，例如，洛伦兹力中电荷的运动速度v是相对于什么参考系的速度？一般书上只是说，v是电荷q在磁场中的运动速度。而在实际中，存在下面两种观点。

观点一：洛伦兹力F=qvB中的v是电荷相对于磁场B的速度；

观点二：洛伦兹力F=qvB中的v是电荷相对于观察者的速度。

那么，这两种观点哪一个是正确的呢？我们来看下面的模型。

图11

如图11所示，有界匀强磁场的磁感应强度为B0，方向垂直纸面向内(俯视图)。当磁场以速度v0(≪c)匀速向右平移，通过一水平光滑绝缘的细杆时，杆上套有一个电荷量为q(设q>0)的小球，则带电小球是否受洛伦兹力？

持观点一的人认为：当磁场以速度v0匀速向右平移时，可以看作带电小球相对磁场以速度v0向左运动。因此，小球受到洛伦兹力的作用。

持观点二的人认为：因为在物理学中，场这类非实物物质不能够充当参考系，“相对于磁场的速度”是没有意义的，应理解为“相对于观察者的速度”。该模型中，尽管磁场向右运动，但小球相对于观察者静止，故不受洛伦兹力。

那么带电小球是否受洛伦兹力呢？要弄清这个问题的本质，必须用电动力学的相关规律进行分析。由电动力学的基本方程式可知，带电粒子在电磁场中运动时，所受的作用力为

这个公式被称为洛伦兹力公式。它包括两部分：一部分是电场力qE，另一部分是磁场力q×B(即中学阶段所认为的洛伦兹力)。理论和实验都已证明，洛伦兹力公式中的速度是相对于观察者的，而不是相对磁场的，E和B也是相对于观察者而言的。在应用这个公式时，首先要明确在哪个惯性参考系中。在不同的惯性参考系中，、E和B是不同，必须先变换，再代入公式。那么在有界匀强磁场以速度v0匀速向右平移的过程中，小球的受力情况如何呢？下面作进一步分析。

如图12所示，有两个惯性系Σ、Σ′，Σ系静止，Σ′系相对于Σ系以速度v0匀速向右运动。

图12

选Σ′系固定在磁场上，磁场方向为y′轴负方向。位于Σ′系的观察者认为，这个磁场是静止的，在其周围空间只存在静磁场，其电场强度和磁感应强度分别为

在Σ′系上观察，小球以大小为v0的速度向x′轴负方向运动，其受到的磁场力大小为qv0B0，方向沿z′轴正方向。

由于不同参考系中所观测到的电磁场情况并不完全一致，一个参考系中仅存在磁场，在另一个参考系中看来，还可能会存在电场。位于Σ系的观察者认为，磁场匀速向右运动，在其周围空间既存在电场，又存在磁场。由不同参考系之间的非相对论电磁场的变换公式

可得Σ系中的电场强度和磁感应强度分别为

即Σ系中的观察者认为，空间同时存在沿z轴正方向的电场Ez=v0B0和沿y轴负方向的磁场By=-B0。在Σ系上观察，小球静止，即速度v=0，则小球不受磁场力而受电场力，大小为qv0B0，方向沿z轴正方向。

由此可见，在Σ系和Σ′系中，带电小球受到电磁场的作用力大小和方向是相同的。在Σ′系中，带电小球受到的是洛伦兹力的磁场力部分；而在Σ系中，带电小球受到的是洛伦兹力的电场力部分。

除此以外，还有许多类似的问题需要探讨。本文旨在引导中学的一线教师，要终身学习，不断重温大学的物理课程，尤其引导物理专业的师范生要认真学好课程，提高自身的物理素养，能站在高观点下(即大学电动力学角度)审视中学物理的内容，解决教学中难题。

参考文献

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基金项目: 电动力学观点下的中学物理疑难问题与教学研究，高等学校电动力学课程教学研究项目，2016。

作者简介: 张雪，女，东北师范大学讲师，主要从事理论物理教学科研工作,研究方向为量子性光学，[e-mail]。

通讯作者: 郑泰玉，女，东北师范大学教授，主要从事理论物理教学科研工作,研究方向为量子性光学，[e-mail]。

引文格式: 张雪，王文涛，龙玉梅，等. 电动力学观点下的高中物理电磁学典型问题研究[J]. 物理与工程，2019，29(4)：115-120.

END

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