最速降线及其等时性

摆线在物理和数学中的应用非常广泛，文[1]、文[2]中给出了摆线的许多有趣的性质，文[3]则对这些性质做出了物理上的解释，摆线问题最早来自于伽利略(Galilei)在1630年提出的最速降线问题。

如图1所示，小球从A点静止释放，沿光滑轨道AB滑下到达B点，要求用时t最短，试确定轨道AB的方程。

1696年约翰·伯努利(Johann Bernouli)就此问题向全欧洲提出挑战。牛顿(Newton)、莱布尼兹(Leibniz)、雅克比·伯努利(Jakob Bernouli)、洛必达(L’Hpital)等人都给出了答案，他们得出了相同的结论：最速降线就是摆线(也叫圆滚线、旋轮线)。惠更斯(Huggens)则从等时性上研究，发现等时降落的解也是摆线。Johann和Jakob的解法略有不同，Johann利用费马原理来快速求解，Jakob的解法较为复杂但更具一般性，兄弟两人为此争执了许多年，后来Johann的学生Leonhard Euler吸收了背后的思想和精华，创立了泛函分析中极为重要的变分法。

本文尝试从一般的折射定律出发给出轨迹方程，然后讨论该轨迹方程的物理意义，最后通过轨迹方程的数学处理来证明等时性。

1 轨迹方程的求解

如图2所示，当小球下降y时的速度为

将小球的运动类比成光的连续折射现象。将竖直平面分割成无数个水平的小区域，每个区域内的折射率n相同。在y处的折射率为

(2)

图3

如图3所示，在任意某个分界面由光的折射定律可得：

即

(3)

又由于

(4)

联立式(5)、式(6)，可得：

y(1+y′2)=A

(5)

其中A为某个待定常数，其解为

式(6.1)和式(6.2)正是所求的轨迹方程。

2 物理意义

式(6.1)和式(6.2)所描绘的曲线就是一条摆线，它对应的物理过程如图4所示，半径为R的圆环以速度v0向右做纯滚动，轮上一点P的轨迹刚好就是这条摆线。

图4

图5

如图5所示，取t=0时刻，P刚好位于圆环中心的正下方，经过时间t，圆心的水平坐标为：xC=v0t=Rφ。此时P与竖直线成φ角，P的位置坐标为：

3 等时性的证明

摆线等时性的证明往往采用将其与简谐运动等价从而证明等时性，本文试图采用更加数学的办法来同样证明此结论。

如图6所示，在摆线上任取一点A，对应的角度为φA，A点的坐标为(x,y)，最低点B的坐标为(πR,2R)，速度为角度为φB=π。

图6

3.1 A点的速度

将式(6.1)和式(6.2)对时间求导，可得A点速度为

(7)

比较式(1)和式(7)可知：

(8)

代入B点可得：

(9)

3.2 弧长ds

(10)

由式(6.1)和式(6.2)可得：

代回式(10)，得

(11)

3.3 时间t

(12)

积分：

(13)

由于A为抛出点，所以φA=0，即

(14)

由式(14)可知，从摆线上任一点静止释放小球，它到达最低点的时间相同，均为

这与文[3]、文[4]利用简谐运动证明等时性的结论是一致的。

参考文献

[1] 舒幼生.趣味旋轮线[J].科学，2000,52(5)：58-60.

SHU Y S. Gout cycloid[J]. Science, 2000, 52(5)：58-60.(in Chinese)

[2] 程稼夫.中学奥林匹克竞赛物理教材-力学篇[M].2版.合肥：中国科学技术大学出版社,2013：69-71.

[3] 聂耀庄.浅谈旋轮线的物理性质[J].长沙通信职业级数学院学报，2008,7(3)：94-97.

NIE Y Z. A brief discussion on the physical properties of cycloid[J]. Journal of changsha professional college of communication, 2008， 7(3)：94-97.(in Chinese)

[4] 王海军.巧解最速降线及其等时性[J].大学物理，2015,34(8)：16-18.

WANG H J. Clever solution of the brachistochrone and it’s isochronous[J]. University Physics， 2015, 34(8)：16-18.(in Chinese)

作者简介: 郑琦，男，浙江萧山中学 中学教师，主要从事高中物理教学，研究方向为高考改革、物理竞赛、自主招生等，[e-mail]。

引文格式: 郑琦. 最速降线及其等时性[J]. 物理与工程，2019，29(6)：45-46,51.

END

更多精彩文章请点击下面“蓝字”标题查看：

《物理与工程》期刊是专注于物理教育教学研究的学术期刊，是中国科技核心期刊，1981年创刊，欢迎踊跃投稿，期刊投审稿采编平台：

http://gkwl.cbpt.cnki.net

欢迎关注

《物理与工程》微信公众号