利用非线性动力学系统研究混沌现象

Original 李明达董乔南等物理与工程

混沌是指发生在确定性系统中的看似随机的不规则运动。一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性、不可重复、不可预测，这就是混沌现象[1]。混沌是非线性系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。目前，混沌动力学已经成为复杂性科学的一个重要分支，混沌运动的动力学特性已经被证明在描述和量化大量的复杂现象中非常有用[2]。但是，由于混沌系统所固有的系统输出对状态初值的敏感性以及混沌系统和混沌现象的复杂性和奇异性，使得混沌控制理论的研究更具有挑战性，也使得这一领域的研究和发展成为当代非线性科学的研究热点[2]。天然存在的系统(物理系统、化学系统或生物系统)能呈现混沌，这一点目前已得到普遍共识，并引起了许多学者在实验室里或在自然状况下对混沌识别进行尝试[3-9]。

我们在实验室里搭建了一种具有非线性动力学特性的混沌摆系统，研究了该系统驱动力频率等相关参数对该混沌摆系统运动状态的影响。同时，我们通过数值计算模拟不同条件下的混沌摆运动状态对实验现象进行了验证。

1 实验装置与理论

图1 (a) 混沌摆实验装置; (b) 铝质圆盘侧视图

图中(0)钕磁铁; (1) 转动传感器; (2) 三角支架; (3) 850通用数据采集; (4) 电机; (5) 圆柱体质块; (6) 铝盘; (7) 弹簧; (8) 光电门

[注：实验装置图引自PASCO公司2016物理和工程目录一书中第324页]

混沌摆实验装置主要包括摆轮部分和驱动力部分，如图1所示。其中摆轮部分由半径为4.75cm的铝质圆盘和安装在其边缘的一个质块构成，圆盘安装在转动传感器上，并在圆盘后侧安装一个磁阻，来改变圆盘转动的阻力。圆盘转动的恢复力由两根弹簧提供，弹簧通过细线缠绕在圆盘后侧的联动杆上。两根弹簧下端，一根固定，另一根系在转动电机的转臂上，这样圆盘的转动就受到驱动电机周期外力的作用。同时在电机转臂的一侧加装光电门，来记录电机的转速。转动传感器、光电门及驱动力电机通过850通用接口连接计算机，实验时打开PASCO Capstone数据采集及分析软件，可控制驱动力电机转速，并实时显示转动传感器的角度和角速度的数据，同时利用光电门采集到的驱动力周期信息在实时相图上绘制庞加莱点。

设铝质圆盘的半径为R，质量为M，则转动惯量

设圆柱体质块的质量为m，距离圆盘转动中心的距离为l。圆盘在运动中所受力矩为：重力矩mglsinθ，磁阻力-cθ，空气阻力矩

驱动力矩AcosΩt。系统遵守转动定律

其中J=J0+ml2，所以有[4，5]

(1)

将sinθ做泰勒展开，取

代入上式，整理得：

(2)

令

取

系统有两个稳定平衡位置：

令x=

并对式(2)作无量纲化处理：令

则式(2)可写为

(3)

设

则方程(3)化为一阶微分方程：

用Matlab计算模拟出微分方程组的解，可得到圆盘摆动的角度和角速度，并绘制出圆盘受迫摆动的相轨迹。

2 实验与仿真结果分析

2.1 混沌摆相图随驱动力周期的变化

非线性系统的运动是否会出现混沌现象，取决于系统中参数的设置，包括磁阻、驱动力周期和振幅、摆轮和质块质量等。根据实验操作的便利性，我们主要讨论了驱动力频率对系统运动状态的影响，并将仿真和实验结果进行对比，来验证驱动力频率的影响规律。

图2 (续)

图2 不同驱动电机电压(驱动频率)下混沌摆输出相图的变化情况，(a)(c)(e)(g)(i)(k)(m)(o)为不同驱动频率下的模拟相图，(b)(d)(f)(h)(j)(l)(n)(p)则为相对应的实验相图。

(a) ω=0.8；(b)驱动电机电压3V；(c) ω=1.01；(d)驱动电机电压3.95V；(e) ω=1.045；(f)驱动电机电压4.5V；(g) ω=1.13；(h)驱动电机电压4.7V；(i) ω=1.26；(j)驱动电机电压4.898V；(k) ω=1.65；(l)驱动电机电压4.93V；(m) ω=1.815；(n)驱动电机电压4.95V；(o) ω=1.835；(p)驱动电机电压5.5V

根据前述实验原理中得到的系统运动方程，参数ω包含系统驱动力频率的影响因素，在Matlab仿真程序中改变ω的取值，可以得到不同相图，其结果如图2 中(a,c,e,g,i,k,m,o)所示。在程序中设置参数δ=0.78，f=1。在利用混沌摆实验装置进行的实验中，设置磁阻到铝质圆盘的距离为0.22cm，驱动力振幅为6cm，改变驱动电机的直流电压，从而改变电机的转速，即改变驱动力频率，得到不同驱动力频率时圆盘运动的相图如图2中(b,d,f,h,j,l,n,p)所示。

从上面仿真和实验的结果图中可以看出，在驱动力频率较低时(如图2(a)、(b))，圆盘和质块组成的摆动系统会在初始位置两侧来回摆动，且摆动是周期的；当频率逐渐增加时，系统的摆动会变得越来越复杂，除了会在两侧摆动以外，还会随机的在一侧停留摆动几次，之后再摆动到另一侧(如图2(c)、(d))，这种摆动是非周期的，从实验结果图中庞加莱点的分布情况可以看出，摆动出现了混沌状态；驱动力频率继续升高，出现了如图2(e)、(f)的周期运动状态，这种周期运动状态不是很稳定，驱动力频率稍有变化，周期运动的轨迹就会发生变化。这是由于在数值计算中，参数值可以精确设置，所以仿真结果图中可以看到清晰的运动轨迹。但在具体实验操作中，由于电机转动容易引起两根弹簧的晃动，从而使得实验系统稳定性难以绝对保证，就会出现各种周期运动相混叠而其中一条周期运动轨迹相对清晰的结果。频率再增加时，系统会再次出现混沌状态(如图2(g)、(h))，这种混沌状态会在一定的驱动力频率范围内持续出现；驱动力频率再增加，出现图2(i)、(j)所示的周期运动，这种周期运动较稳定，实验结果的周期轨迹也很清晰；驱动力频率继续增加时，系统会随机选择一侧开始单边的摆动，如图2(k)、(l)；频率再升高之后，系统单边的摆动趋于周期运动(如图2(m)、(n))；当系统达到图2(o)、(p)的单边周期摆动之后，再增加频率时，摆动状态没有再发生明显的变化。

2.2 混沌摆运动状态对参数的敏感性

上述的仿真和实验结果相互印证，反映了混沌摆系统随驱动力频率的复杂变化情况，也从另一个方面说明了模拟仿真结果的合理性。由于在实验中每改变一次系统的相关参数，如驱动频率，到采集获取一个比较稳定相图所需要的时间比较长。因此，在本节我们利用数值模拟，从参数可以精确设置且不存在系统稳定性影响因素的仿真结果中，观察混沌摆运动状态对参数的敏感性。

首先，系统的摆动在周期和非周期之间的变化近乎是突变的。如图3和图4所示，驱动力频率参数有微小的变化，系统的运动就从周期突变为非周期的形式。图4的角度-时间图为混沌摆运行了一段时间后的位移变化情况，可以看出ω=0.827时系统为周期运动，ω=0.8271时系统为非周期运动。这说明了非线性系统对参数的变化十分敏感。

图3 混沌摆在驱动频率为ω=0.827(a)和ω=0.8271(b)的相图比较

图4 混沌摆在驱动频率为ω=0.827(a)和ω=0.8271(b)的角度-时间关系比较

其次，随着驱动力频率参数的增大，系统的运动表现为从周期变为混沌，再突变为周期，再变为混沌的现象，即系统随着参数的变化会交替地出现周期和混沌的运动状态，且这种变化多为突变的。如图5(a)～(h)所示，仿真结果反映了这种相图随驱动力频率交替出现周期和混沌运动状态的现象。

图5 不同驱动力频率参数的仿真结果相图

(a) ω=0.925；(b) ω=0.93；(c) ω=0.97；(d) ω=0.975；(e) ω=1.07；(f) ω=1.075；(g) ω=1.45；(h) ω=1.455

上面所阐述的系统运动状态的变化，与混沌现象的分岔图[2]描述的行为是一致的。

2.3 混沌摆运动状态的频谱特性

为了进一步分析混沌摆的运动状态，我们对比较有代表性的实验相图进行了频谱分析，从频谱的角度，也可以直观地发现不同驱动电压(即不同驱动频率)下混沌摆运动状态的频率特性。从图6可以看出，随着驱动电压的改变，不同驱动频率下，混沌状态下的相图包含复杂无序的频谱，如图6(a)所示；随着准周期运动的出现，频谱中的特征频率开始出现，如图6(b)和图6(c)所示。

图6 不同驱动电压下混沌摆运动状态的频率特性

(a) 驱动电压U=4.7V，相图图2(h)对应的频谱图；(b) 驱动电压U=4.898V，相图图2(j)对应的频谱图；(c) 驱动电压U=4.95V，相图图2(n)对应的频谱图

3 结语

本文基于实验室搭建的混沌摆实验装置，针对非线性摆的运动状态随参数变化过程进行了实验和仿真研究，得到了驱动力频率这一参数对混沌摆运动状态的影响结果。实验和仿真结果均表明，随着驱动力频率的增加，混沌摆会有周期和混沌运动状态交替出现的情况，且这种变化近乎为突变的。同时，也从数值仿真结果中观察到了混沌摆运动状态对驱动力频率这一参数的敏感性。

混沌摆实验作为大学物理实验的拓展内容，让同学们利用传感器及相关数据处理软件对混沌现象有了更深入的认识。本文讨论了驱动力频率这一影响因素，还可以在后续的拓展实验中展开对驱动力振幅、磁阻力等影响因素的研究，并利用混沌摆装置进行验证。

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基金项目: 华东理工大学2018年度实验实践教学改革与建设立项(BK0121004)；华东理工大学2019年本科教育教学方法改革“突出传感技术应用的物理实验课程教学体系建设”研究项目资助。

作者简介: 李明达，女，华东理工大学实验师，主要从事水声工程与物理实验教学研究。

通讯作者: 罗锻斌，男，主要从事复杂光场相关方面以及物理实验教学研究，dbluo@ecust.edu.cn。

引文格式: 李明达，董乔南，杨亚利，等. 利用非线性动力学系统研究混沌现象[J]. 物理与工程，2019，29(6)：77-84,88.

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