马尔可夫区制转换模型与金融市场周期【附源码】
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传统时间序列模型致力于估计一个常值的模型参数，但这可能不符合金融市场的波动特征。众所周知，金融市场常常出现一些重大的外生冲击，例如，金融危机的影响可能使股市的走势出现较长时期的逆转，或者当局政策的突然改变对市场运行机制造成长期的影响。当市场机制和状态发生根本性变化之后，线性模型的参数也可能随之发生改变。此时，传统的时间序列模型估计出的单一参数其有效性会大打折扣。
针对时间序列的这一非平稳特征，Hamilton（1989）提出了一个研究经济周期的模型，用于估计外生冲击下的时变参数问题，即regime switching model。以简单的一阶自回归为例，
由于无法确定这一机制的转换出现在什么时期，我们假定两个过程符合一个统一的模型：
其中，St是一个符合马尔可夫链的随机状态变量，也就是说St只和St-1有关，和之前的状态无关，和yt-1….也无关。由此，Hamilton提出的方法是确定一个状态转移概率：
由于状态的转换只与最近的一个状态有关，与之前其他状态无关，假定两个状态分别为1，2 。p11代表s1=1，s2=1，p12代表s1=1，s2=2…
建立基本模型后，采用极大似然法进行参数估计。其中，最关键的一步是确定2种机制下的概率密度。根据Hamilton（2005）的解释，在马尔可夫链下，yt的条件概率密度为：
由此可估计出样本的log似然函数：
其中，
由此，我们就可以得到状态转移概率：
对不同时期的状态转移概率进行检验，结果显著且最大的时期就是发生状态转换的时期。
以上是对截距项参数存在时变的情况进行讨论，实际上，更多的是对自变量回归系数和方差时变性的讨论。即存在机制转移的ARCH, GARCH等。如Gray（1996）的MRS-GARCH模型。在GARCH中，引入状态变量St后，对均值无影响，对股价的波动率即方差存在影响。此时， 可以看做是两个不同机制下的方差进行加权叠加的结果，反过来可以利用这一值去估计每个区制下一时期的方差，由此得到极大似然函数。由此，可以估计出时刻t处于不同区制的概率，进而估计出这个时期波动率的变化情况。
参考文献：
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[6] Hamilton J.， R. Susmelb. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity and Changes in Regime [J]. Journal of Econometrics，1994 （1）： 307~333.
[7]Hamilton J D. Regime switching models[M]//Macroeconometrics and Time Series Analysis. Palgrave Macmillan UK, 2010: 202-209.
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