统计学入门（3）：如何刻画数据——参数与统计量

在前两期统计学入门（1）——描述统计与推断统计及统计学入门（2）——总体与样本中，我们介绍了统计的一些基本概念。当我们谈论数据分析时，我们经常还需要用一些具体的量来描述和刻画数据的特性。这些量通常分为两类：参数和统计量。在本文中，我们将深入探讨这两个概念，其区别及应用场景。

1. 参数（Parameter）

参数是描述总体数据特性的数值。在统计中，总体通常指的是所有观测对象的集合。因为在实际应用中，我们往往难以获得所有观测对象的数据，所以参数多数情况下是一个理论值，不容易直接观察到。常见的参数有：

• 总体均值（μ）：用于描述总体所有数据点的平均值。例如：一个小镇只有1000名成年人，这1000名成年人的平均身高是170cm。

• 总体方差（σ²）和总体标准差（σ）：用于描述数据分布的离散程度。例如，在工厂中，机器总共生产了1000个产品，这些产品标准重量为1公斤，重量的方差是25克，这表示产品重量的波动性相对较小；一个小城市的10,000名居民的年收入标准差是10,000元。这意味着大多数居民的收入都在平均值的上下10,000元范围内。

• 总体比例（P）：用于描述某一分类变量中某一类的比例。例如，在只有10,000名成年人口的城市中，3000人拥有大学学位，那么，拥有大学学位的人口比例P=0.3或30%。

• 总体偏度（Skewness）：用于描述数据分布的不对称性。例如：在某个小城市，房价主要集中在200,000元到300,000元之间，但有10栋房子的价格超过1,000,000元，这导致了数据的正偏。

• 总体峰度（Kurtosis）：用于描述数据分布的尖锐或平坦程度。例如：某只股票在100天内的日回报率大多数都在-1%到1%之间，但有5天的回报率超过了5%或低于-5%。这意味着数据具有较高的峰度，因为有极端值存在。

2. 统计量（Statistic）

统计量是基于样本数据计算得出的数值，用于对总体参数进行估计。与总体的参数对应，常见的统计量有：

• 样本均值: 用于描述样本中所有数据点的平均值。例如，假设一个国家有1000个城市，你抽取了其中10个城市的样本，并测量了每个城市的空气质量指数（AQI），这10个城市的AQI均值就是样本均值。假设城市AQI数据为[50, 55, 52, 58, 53, 54, 51, 56, 57, 52]，则样本均值为[50, 55, 52, 58, 53, 54, 51, 56, 57, 52]的和除以样本数量10，最后可得 53.8。
• 样本方差：用于描述样本中的数据点与样本均值的差异。例如，使用上面空气质量的数据，我们可以计算这些数据的样本方差来了解AQI的波动情况。样本方差的计算公式为：

图1 样本方差的计算公式

请注意，我们使用 n−1 作为分母而不是
n。这是因为我们计算的是样本方差，而不是总体方差。这种做法称为贝塞尔校正，其目的是提供对总体方差的无偏估计。主要考虑是样本均值很少恰好等于总体均值。通常，样本均值会更接近于样本中的观测值，这导致了低估总体方差的风险。减1之后，得到的方差结果更大，减轻了低估的风险。

• 样本标准差: 样本方差的平方根，用于描述样本中的数据点如何围绕样本均值分布。

• 样本中位数：是将样本数据排序后位于中间位置的数值。例如，上面AQI数据排序后为 [50, 51, 52, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58]，中位数是 53.5。如果数据集合有奇数个数，中位数是中间的数。如果有偶数个数，中位数是中间两个数的平均值。
• 样本比例: 用于描述样本中某一特定属性的比例。例如，如果我们对1000个人进行调查，了解他们是否喜欢在周末进行户外活动，喜欢户外活动的人占样本的比例就是样本比例。如果在这1000人中有700人喜欢户外活动，则样本比例为0.7。
• 样本偏度：用于描述样本数据分布的不对称性。例如测量一组房价数据，样本偏度可以告诉我们房价是向高价偏斜还是向低价偏斜。
• 样本峰度: 用于描述样本数据分布的尖锐或平坦程度。例如测量学生考试成绩的分布，样本峰度可以反映成绩是否集中，是否有极端的高分或低分。

这些统计量可以帮助我们对总体参数进行估计，并对数据集的特性有一个直观的了解。通过使用这些统计量，我们可以对数据进行更进一步的分析和解释。

3. 如何选择和使用

参数和统计量在不同的情境下使用，下面我们来看看它们各自的应用场景：

• 参数 (Population Parameters)

应用场景：当我们对总体的所有成员都有信息时，我们使用参数来描述总体的特性。

示例：如果一家公司想要了解其所有员工的平均工资，而公司有员工的完整数据，那么计算的就是工资的总体平均值，这是一个参数。

特点：参数是固定的，因为它描述的是整个总体。

• 统计量 (Sample Statistics)

应用场景：当我们只能收集总体的一个子集（样本）的数据时，我们使用统计量来对总体参数进行估计。

示例：如果一个研究者想要了解一个国家所有居民的平均工资，但他们无法收集所有人的数据，他们可能会随机选择一些人作为样本，然后计算样本的平均工资。这个样本均值是一个统计量，用于估计总体平均工资这个参数。

特点：统计量是随机的，因为它们是基于样本计算的，而样本是从总体中随机抽取的。不同的样本可能会导致不同的统计量值。

• 使用原则

1. 当你有整个总体的数据时，计算参数。
2. 当你只能获得总体的一个样本时，计算统计量，并用它来估计总体的参数。
3. 总体参数通常是未知的，而统计量是已知的。我们使用统计量来对未知的总体参数做出最好的猜测。统计学的许多方法，如置信区间和假设检验，都是基于从样本统计量到总体参数的推断。通过这种方式，我们可以从部分信息中提取出对整体的理解。

本文介绍了统计学中的参数与统计量，下一期我们将介绍如何使用Python代码计算及可视化这些统计量，敬请关注。