渡十娘｜本福特定律告诉你民主党到底有没有做假?
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作者简介：万精油，非著名数学家。
互联网的好处是很明显的，信息传递快，交流方便。但随之而来的缺点也是显而易见的，那就是谣言也传的快。而且由于信息太多，大部分人没有时间（或能力）辨别真伪，于是就先入为主了。
这几天关于民主党投票中作弊的消息满天飞。各种视频铁证，许多都非常可笑。这中间有没有真的？我不知道。但我相信法律，如果有真铁证，系统性地作弊，那法律是不会放过的。
在嘈杂的“民主党投票中作弊”的噪音中，有一节“高音”抢入耳来，号称可以用统计理论证明民主党投票中作弊。搬出了本福特定律（Benford's Law)。
一人言市有虎，王不信，二人言市有虎，王存疑，三人言市有虎，王信之。这是战国时的人就懂的道理。不管多荒谬的谣言，传的人多了，就有人信了。有理论支持的谣言，更能忽悠人。这个有本福特支持的信息已经传遍微信，微博等各大中文平台。我们这里就来看一看这个本福特是什么来头。
本福特定律说，在现实产生的数据中，数字1出现的最多，其次是2，3，...，逐渐下降。
“高音”说，拜登的票数不满足本福特定律，5出现最多，所以有假。
下图是我收到的第一张图，有人问我如何解释。我的回答是：选举小区大小差不多，拜登支持率也差不多。如果每个小区大约一千投票人，拜登支持率50%+， 出来的结果就会有很多5打头的。根本原因就是：这些数是有关联的。
于是，有人给我发来下面这张图。说：如果你的说法是对的，如何解释川普的投票数满足，而拜登的不满足。
我的回答是：问的好 (按照美国人的套路，不管什么问题，先来一句"This is a good question")。一个满足，另一个不满足的原因是有一个不是真的。有人为说明自己的观点不惜改动数字。图一与图二都是Michigan的数据。比较一下这两个图，图一里川普的数据也不符合，3明显鼓起(只是程度轻一点)。而图二那个图把3抹平了。信息太多，大家就不注意细节了。
还有人发给我别的图，继续问。我没时间继续回答。不过，后来我收到的一个图比较有趣。发图者说，上面两图的数据都不对，这是他用原始数据自己做的图。我已经不知道该相信哪张图了。为了保险起见，我从他那里要来了原始数据，自己做了一张图（下图）。下图左面红色是川普的数字，右面是拜登的数字。可以看出拜登与川普的数都不满足本福特，只是程度不同而已。
还有人挖出历史数据，说过去30年的选举数都不满足本福特。我没有时间和精力去核对。如果有人核对过原始数据，请在评论区留言。
还有人转给我真正的本福特定律专家的推特。我们来看看专家如何解释。
下图是专家对一个关于用本福特定律证明拜登作弊的推特的评论。他说：我是本福特定律的专家，你在 Netflix看的关于本福特定律的录像就是我做的。如果你想让我给你解释你是如何错的离谱，请吱声。
评论以后，专家继续发推。用大写字母告诉大家：本福特定律对检测投票作弊无用。
专家已经发话了，那些想用本福特定律证明民主党投票中作弊的人可以洗洗睡了。
本来文章可以到此结束了，没想到，我把专家发言的截图发到微博上后，有评论说，靠拿专家头衔压人，没有具体解释，不厚道。我们这里就来简答解释一下。
本福特定律成立的一个基本原因是，对自然产生的数字，任意固定位数，比如三位数，到300以前必须要先有200，到200以前必须要先有100，...。 比如一条街的门牌号码，必须先有100号才会有200号，...。所以，1比2出现的多，2比3出现的多。在进位时，先进到1，别的数只有前面n 个机会，而1有n+1个机会，优势是(n+1)/n。这里的n 是数的位数，而这个位数可以用它的对数直接表现出来。再加一些其他条件，于是就有了本福特公式：
log10(1+1/d)
这里的d 是数字。1，2，..., 9. 可以看出，1的比例最大。log10(2) = 0.301 就是30%，2的对后面的优势要在1分过之后，小一些，3就更小，9最小，不到5%.
说明一下，上面不是证明，只是一种启发式的解释。因为本福特定律对所适应的数有一些要求，所以，没有一般条件下的严格证明。
上面这个公式不只是对十进制适用，对任何进制都适用。有趣的是，在二进制下首位必须是1，而log2(1+1/1) = log2(2) = 1 = 100% 正好验证。
从上面的解释可以看出，本福特定律要能适用，相关数字必须要有许多不同的位数，横跨多个数量级。如果都是同一个数量级的数，那么靠前的数字的优势就显示不出来了。总统选举，按选举区统计。选举区的大小都划分的差不多。比如Michigan 的这个数据，90%以上都是4位或5位，没有了本福特定律所需要的数字优势。如果区的大小差不多，支持率差不多，就会造成某个数字特别多。所以，
结论：本福特定律对选举投票的数字不适用。
上面是关于一般选举数据的结论。具体到Michigan的这个数据，这个数据样本太少，这么小的样本还要分成9分，单从样本量上就不满足本福特定律的要求。
上面说的数量级的限制对首位数影响最大，于是有人抛开首位数，看第二位或三位以及其它位数。对其它位数，本福特公式是
其中，n是第几位，d 是具体数字。据霍金说，文章每多一个公式就会少一半读者。我把这个复杂公式放在最后，希望影响不大。
顺便说一句，我试过第二位数，拜登与川普的第二位数都不满足本福特，但拜登的更接近。但与第一位数一样，不能推出任何结论，所以，虽然我做了第二位数的图，但不想干扰主题，就不附了。有兴趣的读者可以找一些数来验证一下。
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