渡十娘｜挑战Z院士：群体免疫到底能不能实现？数学家算给你看

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文字｜万精油

编辑｜渡十娘

作者简介：万精油

非主流数学家。

新冠-19 病毒困扰人类已经一年多了。开始的时候，大家没有办法，靠社交距离，常洗手之类的手段来防御。有了疫苗以后，进入所谓“科学防疫”阶段，群体免疫这个词又开始热起来了。今天的一条新闻使我意识到很多人（包括一些专家）其实没有真正了解什么叫群体免疫，于是决定写这篇短文，普及一下这个概念。

先来看一下今天的新闻。

Z院士说，德尔塔变异来势凶猛，10天传五代，传播系数在4到5之间。

然后又说，国产疫苗有效率是70%，需要疫苗普及率到80%才能达到群体免疫。

假设Z院士所说的前面的数字都是准确的，那么他最后说的群体免疫就达不到。

我们这里就来帮钟院士算一算这个普及率的临界值。

要搞懂群体免疫，先要知道什么叫传播系数，R0.

在无防御的情况下，一个带病毒者平均传给2个新人，这个R0就等于2。平均传给四个半人，这个R0就等于4.5。有报道说新冠-19的R0是3.0。前面说，这个R0是在无防御下的传播。如果大家保持社交距离，常洗手，那这个传播率就达不到3。这是说通过隔离来防传播。但是永远隔离不是可以持久的方案。另一个方法就是通过打疫苗，打疫苗的人多了，被感染的新人就少了。如果每个带病毒者平均感染的新人不到1个，也就是说，越传越少，这就达到了所谓群体免疫。

疫苗普及率要到多少才能达到群体免疫呢？这个与相关病毒的R0有关。R0越高，疫苗普及率的要求越高。

具体来说，假设疫苗有效率是E，普及率是P, 病毒传播系数是R0。每个带病毒者传给R0个新人。这R0个新人中，打过疫苗的概率是P，他们被感染的机会是（1-E），所以，感染是R0*P*(1-E）。还有（1-P)的概率传给没有打疫苗的人。这些人全部感染，感染数是R0*(1-P)。所以，平均下来，一个带病毒者要感染

R0*P*(1-E) + R0*(1-P) = R0*(1-P*E)

要达到群体免疫，这个数必须小于1.

R0*(1-P*E) < 1 ===> P*E > 1-1/R0

按Z院士所说，德尔塔变异R0是4到5之间。即使算4，1-1/R0 = 0.75. Z院士说中国疫苗有效率是70%, 那么，即使疫苗普及率是100%，也就是P=1, P*E = 0.7 仍然小于0.75，永远不可能达到群体免疫。

简答说起来，平均一个人传4个，即使都打过疫苗，因为疫苗只有70% 有效，4人中被感染的数量是4*0.3=1.2 > 1。不可能达到群体免疫。

还是得想别的办法。或者搞出更有效的疫苗，或者引进外国疫苗（有效率大于95%）。最下策是永远隔离。

注：上面那个公式如果把E除到右面，我们就得出在各种疫苗有效率的情况下达到群体免疫的公式

P > （1-1/R0)/E

比如，如果防的是非变异的新冠-19病毒，R0=3，在疫苗有效率是70%的时候，达到群体免疫的疫苗普及率应该是 P = (1-1/3)/0.7 = 95.23%. 在疫苗有效率是95%的时候(辉瑞疫苗），达到群体免疫的疫苗普及率应该是 P = (1-1/3)/0.95 = 70.2%. 如果防的是R0=4 的病毒，辉瑞疫苗需要普及到79%才能达到群体免疫。有效率只有70%的疫苗永远达不到群体免疫。