二分查找的妙用：判定子序列
预计阅读时间：6分钟
二分查找本身不难理解，难在巧妙地运用二分查找技巧。对于一个问题，你可能都很难想到它跟二分查找有关，比如前文 最长递增子序列 就借助一个纸牌游戏衍生出二分查找解法。
今天再讲一道巧用二分查找的算法问题：如何判定字符串s是否是字符串t的子序列（可以假定s长度比较小，且t的长度非常大）。举两个例子：
s = "abc", t = "ahbgdc", return true.
s = "axc", t = "ahbgdc", return false.
题目很容易理解，而且看起来很简单，但很难想到这个问题跟二分查找有关吧？
一、问题分析
首先，一个很简单的解法是这样的：
bool isSubsequence(string s, string t) {
int i = 0, j = 0;
while (i < s.size() && j < t.size()) {
if (s[i] == t[j]) i++;
j++;
}
return i == s.size();
}
其思路也非常简单，利用双指针i, j分别指向s, t，一边前进一边匹配子序列：
读者也许会问，这不就是最优解法了吗，时间复杂度只需 O(N)，N 为t的长度。
是的，如果仅仅是这个问题，这个解法就够好了，不过这个问题还有 follow up：
如果给你一系列字符串s1,s2,...和字符串t，你需要判定每个串s是否是t的子序列（可以假定s相对较短，t很长）。
boolean[] isSubsequence(String[] sn, String t);
你也许会问，这不是很简单吗，还是刚才的逻辑，加个 for 循环不就行了？
可以，但是此解法处理每个s时间复杂度仍然是 O(N)，而如果巧妙运用二分查找，可以将时间复杂度降低，大约是 O(MlogN)，M 为 s 的长度。由于 N 相对 M 大很多，所以后者效率会更高。
二、二分思路
二分思路主要是对t进行预处理，用一个字典index将每个字符出现的索引位置按顺序存储下来（对于 ASCII 字符，可以用大小为 256 的数组充当字典）：
比如对于这个情况，匹配了 "ab"，应该匹配 "c" 了：
按照之前的解法，我们需要j线性前进扫描字符 "c"。但现在借助index中记录的信息，可以二分搜索index[c]中比 j 大的那个索引，在上图的例子中，就是在[0,2,6]中搜索比 4 大的那个索引：
这样就可以快速得到下一个 "c" 的索引 6。现在的问题就是，如何用二分查找计算那个恰好比 4 大的索引呢？答案是，寻找左侧边界的二分搜索就可以做到。
三、再谈二分查找
在前文 二分查找算法详解 中，详解了如何正确写出三种二分查找算法的细节。二分查找返回目标值val的索引，对于搜索左侧边界的二分查找，有一个特殊性质：
当val不存在时，得到的索引恰好是比val大的最小元素索引。
什么意思呢，就是说如果在数组[0,1,3,4]中搜索元素 2，算法会返回索引 2，也就是元素 3 的位置，元素 3 就是数组中大于 2 的最小元素。所以我们可以利用二分搜索避免线性扫描。
以上就是搜索左侧边界的二分查找，等会儿会用到，其中的细节可以参见 二分查找算法详解，这里不再赘述。
四、代码实现
这里以处理单个字符串s为例，对于多个字符串s，把预处理部分单独抽出来即可。
算法执行的过程是这样的：
可见借助二分查找，算法的效率是可以大幅提升的：预处理时需要 O(N) 时间，每次匹配子序列的时间是 O(MlogN)，比之前每次匹配都要 O(N) 的时间要高效得多。
当然，如果只需要判断一个 s 是否是 t 的子序列，是不需要二分查找的，一开始的 O(N) 解法就是最好的，因为虽然二分查找解法处理每个 s 只需要 O(MlogN)，但是还需要 O(N) 时间构造 index 字典预处理，所以处理单个 s 时没有必要。
以上就是二分查找技巧判定子序列的全部内容，希望你能有所收获。
历史文章：