益智游戏克星：BFS暴力搜索算法

Original labuladong labuladong 2021-10-12

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这是 labuladong 第 100 篇原创

滑动拼图游戏大家应该都玩过，下图是一个 4x4 的滑动拼图：

拼图中有一个格子是空的，可以利用这个空着的格子移动其他数字。你需要通过移动这些数字，得到某个特定排列顺序，这样就算赢了。

我小时候还玩过一款叫做「华容道」的益智游戏，也和滑动拼图比较类似：

那么这种游戏怎么玩呢？我记得是有一些套路的，类似于魔方还原公式。但是我们今天不来研究让人头秃的技巧，这些益智游戏通通可以用暴力搜索算法解决，所以今天我们就学以致用，用 BFS 算法框架来秒杀这些游戏。

一、题目解析

LeetCode 第 773 题就是滑动拼图问题，题目的意思如下：

给你一个 2x3 的滑动拼图，用一个 2x3 的数组board表示。拼图中有数字 0~5 六个数，其中数字 0 就表示那个空着的格子，你可以移动其中的数字，当board变为[[1,2,3],[4,5,0]]时，赢得游戏。

请你写一个算法，计算赢得游戏需要的最少移动次数，如果不能赢得游戏，返回 -1。

比如说输入的二维数组board = [[4,1,2],[5,0,3]]，算法应该返回 5：

如果输入的是board = [[1,2,3],[4,0,5]]，则算法返回 -1，因为这种局面下无论如何都不能赢得游戏。

二、思路分析

对于这种计算最小步数的问题，我们就要敏感地想到 BFS 算法。

这个题目转化成 BFS 问题是有一些技巧的，我们面临如下问题：

1、一般的 BFS 算法，是从一个起点start开始，向终点target进行寻路，但是拼图问题不是在寻路，而是在不断交换数字，这应该怎么转化成 BFS 算法问题呢？

2、即便这个问题能够转化成 BFS 问题，如何处理起点start和终点target？它们都是数组哎，把数组放进队列，套 BFS 框架，想想就比较麻烦且低效。

首先回答第一个问题，BFS 算法并不只是一个寻路算法，而是一种暴力搜索算法，只要涉及暴力穷举的问题，BFS 就可以用，而且可以最快地找到答案。

你想想计算机怎么解决问题的？哪有那么多奇技淫巧，本质上就是把所有可行解暴力穷举出来，然后从中找到一个最优解罢了。

明白了这个道理，我们的问题就转化成了：如何穷举出board当前局面下可能衍生出的所有局面？这就简单了，看数字 0 的位置呗，和上下左右的数字进行交换就行了：

这样其实就是一个 BFS 问题，每次先找到数字 0，然后和周围的数字进行交换，形成新的局面加入队列…… 当第一次到达target时，就得到了赢得游戏的最少步数。

对于第二个问题，我们这里的board仅仅是 2x3 的二维数组，所以可以压缩成一个一维字符串。其中比较有技巧性的点在于，二维数组有「上下左右」的概念，压缩成一维后，如何得到某一个索引上下左右的索引？

很简单，我们只要手动写出来这个映射就行了：

vector<vector<int>> neighbor = {
    { 1, 3 },
    { 0, 4, 2 },
    { 1, 5 },
    { 0, 4 },
    { 3, 1, 5 },
    { 4, 2 }
};

这个含义就是，在一维字符串中，索引i在二维数组中的的相邻索引为neighbor[i]，：

至此，我们就把这个问题完全转化成标准的 BFS 问题了，借助前文 BFS 算法框架套路详解的代码框架，直接就可以套出解法代码了：

int slidingPuzzle(vector<vector<int>>& board) {
    int m = 2, n = 3;
    string start = "";
    string target = "123450";
    // 将 2x3 的数组转化成字符串
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            start.push_back(board[i][j] + '0');
        }
    }
    // 记录一维字符串的相邻索引
    vector<vector<int>> neighbor = {
        { 1, 3 },
        { 0, 4, 2 },
        { 1, 5 },
        { 0, 4 },
        { 3, 1, 5 },
        { 4, 2 }
    };

    /******* BFS 算法框架开始 *******/
    queue<string> q;
    unordered_set<string> visited;
    q.push(start);
    visited.insert(start);

    int step = 0;
    while (!q.empty()) {
        int sz = q.size();
        for (int i = 0; i < sz; i++) {
            string cur = q.front(); q.pop();
            // 判断是否达到目标局面
            if (target == cur) {
                return step;
            }
            // 找到数字 0 的索引
            int idx = 0;
            for (; cur[idx] != '0'; idx++);
            // 将数字 0 和相邻的数字交换位置
            for (int adj : neighbor[idx]) {
                string new_board = cur;
                swap(new_board[adj], new_board[idx]);
                // 防止走回头路
                if (!visited.count(new_board)) {
                    q.push(new_board);
                    visited.insert(new_board);
                }
            }
        }
        step++;
    }
    return -1;
    /******* BFS 算法框架结束 *******/
}