张大胖的加法器
加法器
热爱编程的张大胖在大学时最烦的一门课之一就是《数字电路》 ， 他一直觉得和编程没什么关系。
有一次课程设计是实现一个加法器， 大胖使用逻辑电路， 费了九牛二虎之力才实现了4位的加法。
这4个二进制位能表达的数有16个， 从0 到15 ：
大胖用他的加法器计算了一下 8+3 ：
8+3 = 1000 + 0011 = 1011 = 11
还不错， 再计算一下 9+7 ：
9+8 = 1001 + 1000= 0001
怎么变成了1 ？ 奥， 我这儿只有4位，能支持的最大数字就是 15 ， 而9+8的结果是 10001 （十进制16），计算结果溢出， 最高位的1被丢弃了！
其实这也符合要求， 大胖顺利的交了作业。
用加法来表示减法
可是下一次课还是课程设计， 老师竟然要求在这个加法器上实现减法 ， 这可把大胖给难住了， 在加法器上实现减法， 真是个变态的需求。
遇到了问题， 张大胖自然会“跪求”好基友， 电脑高手Bill。
Bill 说： “这个要求一点都不变态，用加法器同时实现加法和减法， 能极大的节省CPU的电路设计。 ”
“你就说该怎么实现吧”
Bill说：“我先给你说一下原理， 在你定义的4位二进制中，一共可以表达16个数， 我们引入一个‘补数 '的概念， 例如 3的补数 是 13， 4的补数是12， 5 的补数是11， 当你计算7减去3 的时候， 可以变成 7加上3 的补数， 即 7 + 13 ”
“可是7+13 是20 ， 但是7-3 等于4 啊”
“20其实已经超出你4位二进制能表达的16个数了， 已经溢出了，对吧， 所以20还得减去16 ， 就是4 了。 你用二进制算一下。”
7-3 = 0111- 0011 = 0111 + 1101（二进制13） = 10100
10101已经溢出了， 去掉最高位是 0100 ，就是十进制4 了。
“果然不错” 张大胖说 “这让我想到了钟表， 现在是7点， 我想让它回到4点， 有两种办法， 一种方法是让时针后退 3 格， 另外一种方法是让时针前进9格， 前进到12点的时候， 其实就相当于溢出了， 舍弃掉。 "
Bill 说， "看来你已经Get了， 数学上有个词叫做求模， 说的就是这个运算， 还以时钟为例"
向后退3格： 7 - 3 = 4
向前进9格 ： (7 + 9) mod 12 = 4
向前进21格： (7+9+12) mod 12 = 4
向前进33格： (7+9+12+12) mod 12 = 4
.....
“这是一种以进为退的策略” Bill 接着说 " 用这种办法就把减法变成了加法"
“但是我怎么得到所谓的补数呢？ 从3 怎么得到13 呢”
“这很简单， 对于二进制， 前辈们想出了一个异常简单， 又特别适合计算机的算法， 对二进制数的所有位取反， 然后加1 ”
“神奇啊， 前辈们竟能想出这么巧妙的办法 ！”
“这就是所谓的补码了” Bill总结道
负数的表示
Bill 问道： “刚才咱们说的都是整数的加减法， 负数你考虑了没有啊？ 大胖？”
“我也刚刚想到， 现在我知道 7-3 可以换算成 7+ 13 了， 如果是3 - 7 呢？ ”
“负数一引入， 系统就变得更复杂了， 首先你得用一个标志位来表示整数还是负数吧： ”
（表格1）
张大胖说： “明白了， 最高位的0 表示正数， 1 表示负数， 真正有效的数字只剩下3位了， 正数的范围是从1 到7 ， 负数的范围从 -1到-7 ， 不过这里出现了两个零！ 一个正0 ， 一个负0 ， 这不妥吧。”
“先别急， 之前说到减法可以变成加法， 秘密就是用补码， 例如8-3 相当于8+(-3)的补码 ， 那我们完全可以把表格1中的负数用补码表示， 然后把那个负0 特别当做 -8来处理： ”
Bill 接着说： “按照上面的表格， 现在我们来计算一 46 32815 46 15287 0 0 3912 0 0:00:08 0:00:03 0:00:05 3911 7-4 , 7是 0111， -4是 1100， 注意我们把符号位也算进去了， 两者相加：
“让我试试4-7, ” 张大胖说， 4是0100 ， -7是1001， 两者相加：
“妙啊” 张大胖不禁赞叹起来， “把负数用补码表示，不但减法变加法， 连符号位都可以参与运算了！”
“ 是啊， 我们通过补码能极大的简化电路的设计， 你一定要记住， 在计算机内部，是使用补码来表示二进制数， 如果是一个正数， 补码就是它本身， 如果是个负数， 需要把除了符号位之外的二进制数进行取反加一的操作"
"此外， 我想你也能总结出来， 你这个4位的系统如果只表示无符号数(没有负数的话) ， 它的范围是[0 , 2 ^ 4] ，即[0, 16] ；
如果要想表达有符号数(负数和整数)， 它的范围就是[-2^3, 2^3-1] , 即[-8, 7] 。 在高级编程语言像C, Java ，你经常会看数据类型的取值范围， 你应该明白其中的原理了。 ”
（完）
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