被“天屎”击中的概率有多大？
引言
宁波大学是个鸟爱拉屎的好地方。每年春夏之交，白鹭、灰鹭等候鸟纷纷来到宁大校园内筑巢繁殖。它们体态轻盈，或伫足枝头，或奋力展翅，成了校园中的独特风景。
随着这些“白鹭大军”的到来，大量鸟屎也似雨后春笋般遍布校园，形成数不清的鸟屎斑（图 3）。宁大师生在欣赏“落霞与群鹭齐飞，白日同阳明争辉”的景致时，也会意外地受到“天屎”的袭击。
自宁波大学建校以来，每年四到八月，数以百计的白鹭跨越千山万水，选择在这片充满生机的校园中筑巢育雏。到了九月，这些白鹭及其长成的后代逐渐离开，飞往南方过冬。长久以来，宁大人已经习惯了这群“天使”和它们制造的“天屎”。
对于“天屎”的偷袭，一些人选择用伞做防护，而更多的人则凭借敏捷的身手躲避。学校甚至专门配置了“白鹭林下专用伞”，以防师生被鸟屎击中。偶尔大意了没有闪的宁大人也不会抱怨，反而认为这是一种特别的幸运，是母校独有的印记。
除了如何躲避这些“天屎”，包括作者在内的许多宁大人还对另一个问题充满了好奇：站在白鹭林下，被“天屎”击中的概率到底有多大？本文旨在通过建立数学模型来回答这个问题。
模型
在宁波大学的校园里，许多树下的地面都覆盖着鸟屎，而这些鸟屎所在位置的树上常常筑有鸟巢。鸟类倾向于在自己的巢穴附近活动，并且它们排便的位置也相对固定[1,2]。因此，地面上已经出现鸟屎的区域，更有可能再次被鸟屎击中。
我们将地面上经过长时间形成的大量鸟屎聚积区域定义为鸟屎区域。鸟屎区域不同位置的鸟屎分布可以反映出鸟屎落在该位置的概率。如图 5 所示，记鸟屎区域为 ，并定义区域内任意一点 的鸟屎密度（单位面积内的鸟屎量）为 ， 。若某人在地面上的投影区域为 ，且投影区域与鸟屎区域有重叠（即 ）。这种情况下，如果有鸟屎落下，此人就有可能被击中，被击中的概率 可以用以下公式估计：鸟屎落在 区域以外的概率则是 1 - 。值得注意的是，上述公式所表示的 是一只鸟恰好在排便时，人被这一次排便击中的概率。但鸟并不总是在排便，假设一只鸟平均排便时间间隔为 。考虑到鸟排便的过程是较为随机，其在一段时间内的排便次数可以被认为服从泊松分布。因此，一只鸟在时间 内排便 次的概率服可表示为：其中 = 1/ ，表示鸟排便的频率。在时间 内，一只鸟没有排便（ = 0）或所有次排便都落在 区域以外的概率为上式给出的只是逃过一只鸟便击的概率。如果鸟屎区域附近的树上栖息着 只鸟，那么不被所有这些鸟排便击中的概率为 。因此，人被鸟屎（一次或多次）击中的概率为为方便后文引用，我们将上式称为鸟屎击中概率公式。从该公式可以看出，一个人在树下被鸟屎击中的概率与附近鸟的数量 ，鸟排便的频率 ，人所站位置鸟屎的分布概率 ，以及人在该位置停留的时间 相关。
鸟屎斑
接下来我们将模型应用到如图 6 所示一个小的鸟屎斑。该鸟屎斑区域是半径 1 m 的圆，一个人正好站在鸟屎斑区域中心，人的投影区域是半径为 0.3 m 的圆。
鸟屎斑中心处的鸟屎密度为 ，鸟屎密度随着离鸟屎斑中心的距离线性下降。因此距离圆心 处的鸟屎密度可表示为 = (1 - )，。据此，可以确定出有鸟屎落下时人被击中的概率
大多数鸟类每 20 至 30 分钟就会排便一次[3]，本文取鸟排便的平均周期为 = 30 min，相应的排便频率 = 1/ 30 。将 和 的值代入鸟屎击中概率公式可得如果该鸟屎斑附近的树上栖息着 = 5 只鸟，且这个人在该位置停留了 = 10 min，将 和 的值代入上式并用前 100 项级数近似无穷级数，可以得到人被鸟屎击中的概率为 = 0.30。虽然这个概率看起来不小，但如果此人在该位置只停留 1 min，这个概率将降至 0.036 以下。
在此基础上，本文还探讨了鸟的数量和人的停留时间对鸟屎击中概率的影响，具体见图 7 和 8。图 7 展示了在三种不同停留时间条件下，栖息鸟数量与鸟屎击中概率之间的关系。结果表明，附近鸟数量越多，人被鸟屎击中的概率越大。当鸟的数量增至 20 只时，即使人只停留 10 分钟，被鸟屎击中的概率也接近 80%。
另一方面，图 8 揭示了在三种不同鸟数量条件下，人停留的时间增加如何影响被鸟屎击中的概率。不难看出，人停留的时间越长，被鸟屎击中的概率也越大。当人停留的时间达到 2 小时，即使附近只有 2 只鸟，被鸟屎击中的概率也将超过 80%。
天屎路
接下来我们再将模型应用到一条天屎路。在宁波大学，有多条被戏称为“天屎路”的道路。东门附近的足球场南侧的林荫小道就是其中之一（见图 9）。
盛夏时节，这条小道上常布满鸟屎，可以视作一个鸟屎区域，鸟屎分布相对均匀。根据观测，这条小道长约 100 米，宽约 9 米，故鸟屎区域总面积为 = 900 。人的投影区域是半径为 0.3 m 的圆，据此可计算出有鸟屎落下时人被击中的概率：其中 为人的投影面积。这条道路两侧大约有 50 棵树，每棵树上平均有 2 个鸟巢，每个鸟巢中平均住着 4 只鸟，总计约有 = 50 2 4 = 400 只鸟。鹭鹭们主要在四月至八月间活跃在校园，持续时间约为 120 天。如果一个学生每天以速度 经过这条道路，每天通过的时间为 100/。将这些参数带入鸟屎击中概率公式，并考虑整个大学四年期间，可以计算出该学生在大学期间至少被鸟屎击中一次的概率（图 10）。
计算结果显示，若该学生每天以 1 m/s 的速度穿行，四年内至少被击中一次的概率为 0.96；若速度提高至 10 m/s，这一概率将降至 0.28。
模拟
前文的模型虽然能计算出精确的概率值，但却不能形象地演示鸟屎斑的形成过程。为此，本文还采用了蒙特卡洛方法对鸟屎斑的形成进行了模拟。考虑到泊松过程的时间间隔服从指数分布[4]，首先利用计算机程序生成了 个具有平均值 的指数分布随机数，用来模拟一只鸟排便的时间间隔：其中 = 1/ 表示这只鸟的排便频率。通过累加这些时间间隔，可以计算出该鸟每次排便的具体时刻：确定了排便的时刻后，模拟的下一步是确定每次排便的落点位置。如果以鸟屎斑中心为原点，每次排便的落点位置可以用极坐标 (, ) 来表示。基于之前的假设，在距离原点 处的鸟屎密度为 = (1 - )，。因此，可以通过以下概率密度函数生成 的随机数：其中， = 3/ 以确保概率密度函数的积分总和为 1。由于相同极径的位置被落便的概率应相等， 可以用 0 到 2 之间均匀分布的随机数来模拟：至此，我们就可以随机模拟出一只鸟在 次排便过程中每次的时间和落点位置。
图 11 是模拟 5 只鸟在 1-6 天内形成鸟屎斑的过程。在这个模拟中，每只鸟每天有效活动时间为 6 小时，排除了外出觅食和睡觉时间。模拟结果显示，在较短的时间范围内（例如 1 天），鸟屎的落点分布看起来较为随机，没有明显的规律。然而，随着时间的推移（如 6 天后），落点分布开始显现出规律性：越靠近鸟屎斑中心的位置，鸟屎的数量越多。
此外，本文还模拟了鸟的数量为 5 只时，不同停留时间下人被鸟屎击中的概率，结果如图 12 所示。每种停留时间分别模拟 100 次，通过统计鸟屎落入直径为 0.3 米的圆内的频率来近似概率。图中的模拟结果（红点）与（由鸟屎击中概率公式计算得到的）理论模型预测结果（蓝线）高度一致，这进一步验证了模型的准确性。
结论
站在地面上有鸟屎的区域，被鸟屎击中的概率究竟有多大？针对这一问题，本文通过概率模型和蒙特卡洛模拟，详细分析了人在鸟屎区域被鸟屎击中的概率。模型表明，这一概率不仅取决于鸟屎区域附近栖息的鸟数量及其排便频率，还与个人所处的具体位置和停留时间有关。通过设定具体场景和参数，本文精确计算出了特定条件下人被鸟屎击中的概率。此外，本文还应用蒙特卡洛方法模拟了鸟屎斑的形成过程和人被鸟屎击中的概率，模拟结果与模型结果高度一致，进一步验证了模型的准确性和可靠性。研究表明，若想降低被鸟屎击中的风险，最好避免前往鸟类密集的区域，尤其是不要在鸟屎区域附近长时间逗留。
本文不仅提供了一个有趣的视角来观察和理解校园内的自然现象，同时也展示了数学和计算机模拟在解决实际问题中的强大能力。通过对鸟屎击中概率的研究，不仅增加了我们对校园生态环境的认识，也促进了对概率论和统计学应用的理解。更重要的是，本文的研究方法与发现为校园管理提供了科学依据，尤其是在合理规划校园绿化布局、减少因鸟屎带来的不便等方面，为校园管理者提供了重要的参考和指导。
附录
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参考资料
Birdf101. Why do birds poop in the same spot? here’s the shocking truth, 2024: https://birdfacts101.com/why-do-birds-poop-in-the-same-spot
[2]Elizabeth Goldberg. Do birds (specifically pigeons) poop where they nest?, 2017: https://www.quora.com/Do-birds-specifically-pigeons-poop-where-they-nest
[3]Gregory Rich, Laurie Hess, Rick Axelson. Abnormal droppings in birds, 202: https://vcahospitals.com/know-your-pet/birds-abnormal-droppings
[4]Mark J Schervish and Morris H DeGroot. Probability and statistics. Pearson Education London, UK, 4th edition, 2010.