到底什么是最美的科学公式？| 张双南专栏
经常看到一些文章，列出“最美”的数学和物理公式。这些“最美”都是通过不同的方法由不同的人选出的，不但选出的结果很不同，而且吃瓜群众看到这些“最美”往往一脸懵：到底谁选的“最美”才是真的“最美”？这些公式到底“美”在什么地方？
比如《科学美国人》的高级编辑Clara Moskowitz曾经在LiveScience上发表过一篇名为The World's Most Beautiful Equations[i]的文章，其中列举了十个通过对不同领域科学家征询得到的“最美方程式”，包括：
1. 广义相对论
2. 粒子物理标准模型
3. 微积分
4. 勾股定理
5. 1 = 0.999999999….
6. 狭义相对论
7. 欧拉方程
8. 欧拉-拉格朗日方程及诺特定理
9. 卡兰-西曼齐克方程
10. 极小曲面方程
11. 欧拉线
而另一篇发表在《环球科学》上的文章《五大最美数学公式》[ii]（也是由Clara Moskowitz 撰写）也列举了由几位著名数学家与物理学家所选出的五个最美公式，它们分别是：
1. 安培定律
2. 麦克唐纳公式
3. 亏格g曲线模空间
4. 牛顿法
5. 电弱理论的拉格朗日量
你可能已经注意到了，除了第一组的“粒子物理标准模型”和第二组的"电弱理论的拉格朗日量"类似之外（“粒子物理标准模型”就是在“电弱理论”的基础上建立和扩展而来的），这两组就没有共同之处了。看来在不同的数学家和物理学家眼里，“最美”的科学公式是很不一样的。
有的科学家认为“对称”为美，有的科学家却认为“破缺”为美；有的科学家认为“简洁”为美，有的科学家却认为“复杂”为美。这就涉及了一个根本的问题，何谓“科学之美”？
诺奖得主、量子力学先驱之一保罗·狄拉克在1963年曾经明确表示：“在我看来，一个方程拥有美感，比它符合实验结果更为重要。”但被问到这种“美感”到底指什么时，他却回答不上来了。他说：“数学的美和艺术之美一样，是无法定义的。不过只要是学数学的人，不费吹灰之力就能感受到它。”[iii]。因此，在狄拉克看来，美只可意会不可言传，正如物理学家张天蓉在《物理学之美》这篇文章里面开篇所说“人人都追求美，物理学家也不例外，但到底什么是物理学的美，那是一个模糊的概念，或者说只是一种感觉，只能意会，不能言传。物理学家也难以赋予它科学而精确的定义。”[iv]。
但是很多科学家都喜欢谈他们的美学观，那我们先来看看几位著名的科学家是怎么说的。
物理学家们的美学观
尼马·阿尔卡尼-哈米德
理论物理学家尼马·阿尔卡尼-哈米德教授（Nima Arkani-Hamed）是被公认的全世界中青年一代最优秀的理论物理学家之一，谈到科学的美，他说：“你在今天觉得优美的理论，在十年后依然会觉得优美，而且会永远优美下去。”
他认为理论之‘美’不会随时间改变，这样的“美”是永恒的。
张首晟教授
著名物理学家张首晟在接受采访时[v]也谈到对“美”的理解：“大自然很多现象看上去是非常错综复杂，但是你用错综复杂的规律能够用几个简单、优美的公式来代表的话，我们就觉得这是大自然的一种美。”
他认为深奥和普世才是美。很显然，你只有体会到了这些规律的“深奥和普世”，你才有可能感受到这些规律的美。（2017年1月15号，我客串记者采访了张首晟教授，他在谈到科学之美的时候，又强调了他的上述观点。）
文小刚教授
文小刚教授曾在自己的文章[vi]中谈到过对美的理解。他提出“创新的内涵是制定美的标准”，这和我曾在多篇文章中提出的“科学技术创新的本质就是对美的追求”是一致的。文小刚教授接着说，“一个人对美的认知和思想被越来越多的人欣赏接受，从而成为美的标准，成为大家共同的努力方向，这就是创新过程。”文小刚教授进一步强调了，“我认为美的东西就是美”，“如果自己的追求真的是美，或早或晚，都会得到大家的欣赏和认同，大家就会跟着做。这时你自己对美的标准就变成了公众的标准。”
陈丕燊教授
陈丕燊曾在《完美的理论》一书的导读[vii]中表达了他对于“美”的理解（不久前本人和陈教授聊起美学，陈教授再次重复了他的观点）：“还有什么比「完美」更美的吗？依笔者的看法，那应该是在完美之余，可惜竟有一些破缺，令人错愕。我怀疑，米洛的维娜斯雕像如果双手仍然健在、完整无缺，会不会还是那么美呢?”很显然，陈教授非常认可传统美学的“残缺美”理论。
诺奖得主韦尔切克
麻省理工学院物理系教授弗朗克·韦尔切克曾在采访中[viii]说“美的法则与人们认为美的事物有两项共同点。一是丰富性或者说创造性，即得到的比投入的更多……对称性在自然基本法则中尤为突出，因为太常见而不免为人所忽略，但对称性中就隐含着和谐与美，在科学上的应用也卓有成效，是不变的变化。”所谓“不变的变化”，韦尔切克教授的解释是，世界和宇宙都可以变化，但是背后的规律不会变化。
总结起来，韦尔切克教授认为美的法则就是丰富性和不变性。
杨振宁教授
著名物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁先生（我认为杨先生是在世的对物理学做出了最大贡献的物理学家）在中国美术馆做过一场关于“美在科学与艺术中的异同”的演讲[ix]。杨先生没有讲“美是什么”，但他认为物理学的美在于整个世界都浓缩于简单的原理，而这种美与人类没有关系，科学的美是客观的。
谁的美学观是正确的？
很显然这些科学家的美学观都相当不一样，至少表述是不一样的。那么谁的美学观是正确的？在回答这个问题之前，我首先需要说明，不管他们的美学观是什么，他们每个人都感受到了科学之美，至少是感受到了科学之美的某个方面。我想讨论的只是他们的美学观是否具有普遍性，是否适用于所有的科学之美。
我将利用科学研究的一个极为重要的方法来回答这个问题，这个方法就是“证伪”，简单地讲就是举反例。具体到这些科学家的美学观，我将采用这样的逻辑进行证伪：首先把科学家A的美学观A表述出来，如果有某个“科学”不符合美学观A，但是有人（比如科学家B）认为美，就说明美学观A不具有普遍性，那么这个美学观就不能代表普遍的“科学之美”。
尼马·阿尔卡尼-哈米德教授认为科学理论之“美”的体现就是基本的原理，而且这样的“美”是永恒的。但是我们知道，科学理论总是不断发展的，我们总是在寻找基本的原理，牛顿时代基本的原理就是牛顿的力学理论，但是这个“科学”今天已经不再基本了，爱因斯坦的相对论显然更加基本。当时的科学家应该认为牛顿的力学理论是很美的，但是今天很少有科学家再说牛顿的力学理论很美，比如陈丕燊教授就认为广义相对论是最美的科学理论，而且我们知道一定还有比广义相对论更加基本的理论。因此，我用这个反例说明了科学之美不一定基本也不一定永恒。
张首晟教授认为宇宙当中最最深奥，最最普世的这些规律，都是非常的美妙。他用了爱因斯坦的著名的质能公式E=mc²来说明深奥和普世的公式很美。但是这个公式一点都不对称，追求对称美的韦尔切克教授显然不会认为很美。而且张首晟教授并没有说只有最最深奥和最最普世的规律才是美妙的，换句话说，他认为“深奥和普世”是科学之美的充分条件，而非必要条件，也就是满足其他条件的科学也可能是美的。事实上也是如此，前述不少科学家认为的科学之美既非深奥，也非普世。因此，科学之美不一定深奥也不一定普世。
文小刚教授认为，“美”一开始是个人化的，到最后被很多人接受，成为美的标准。这的确是美的产生和审美的一个可能过程，但是这是否是唯一的可能性呢？文小刚教授没有说。事实上，很多重要的科学发现都是偶然发生的（比如绝大部分获得诺贝尔物理学奖的天文发现都是如此），也被很多人认为非常美。但这些科学家并非一开始就坚信“自己的追求真的是美”。而且，文小刚教授也没有说明美的标准是什么，没有解释在什么情况下“自己的追求真的是美”。也许可以反过来理解文小刚教授的意思：“得到大家的欣赏和认同”的就“真的是美”！但是这样似乎是循环论证，并不能让人满意。
的确，每一个坚持“标新立异”创新的研究人员都相信自己的追求真的是美，但是大部分这样的研究或者无疾而终或者以失败告终，不会得到大家的欣赏和认同，这就是做真正创新研究的人少，做跟风研究的人多的原因，毕竟我前面列举的包括文小刚教授在内的顶尖科学家属于凤毛麟角。这是为什么？事实上，即使非常成功的科学家对已经经过检验的科学理论或者公式何为最美的看法也很不一样。因此，即使你自己的创新成功了，大家也未必都认可你认为的“美”，这和文小刚教授的结论明显不一致，这又是为什么？对前一个“为什么”的回答也许是你的创新还没有成功，但是这无法回答后一个“为什么”。
陈丕燊教授的美学观就是著名的“残缺美”美学理论。关于这个美学理论，我曾经专门通过“证伪”的科学方法进行了非常彻底的批判，比如，我们从来没有见过一个美丽的女孩子为了追求“残缺美”而去自残。而前述张首晟教授认为E=mc²这个公式很美很显然和“残缺"毫无关系，而韦尔切克教授明确表示，“这些小缺陷是现在的物理学方程还不够美的原因”。很显然残缺既不是科学之美的必要条件也不是充分条件。
韦尔切克教授认为美的法则就是丰富性和不变性，和尼马·阿尔卡尼-哈米德的美学观基本上一样，因为丰富的根源正是基本，而不变就是永恒。所以可以用同样的理由说明韦尔切克教授的美学观不具有普遍性，也就是说，科学之美不一定具有丰富性也不一定具有不变性。
杨振宁教授认为，科学中的美是“无我”的美，艺术中的美是“有我”的美。我从两个方面对杨振宁教授的美学观进行证伪。首先，如果科学中的美是“无我”的，也就是和审美者无关，那么每一个审美者都会对同一个“科学”得出同一个审美结论，但是我们上面已经看到几个科学家眼中的科学之美是很不同的。其次，数学的最高奖菲尔茨奖得主阿蒂亚及其合作者发现[x]，欣赏数学之美所用到的大脑部分（就是所谓的情绪大脑），和欣赏音乐、欣赏艺术以及诗歌所动用的大脑部分完全一样。既然我们对科学的美和艺术的美的审美过程是一样的，那么这些“美”在本质上就没有什么不同。因此，我们不能说科学的美和艺术的美是不同的。
那么到底科学之美的
普遍标准是什么？
前面我用举反例这种虽然简单但是非常有效的方法说明了前述科学家的审美观都不代表科学之美的普遍标准，但是阿蒂亚及其合作者的研究发现，人们的大脑对各种美的反应都是一样的。而另外一个研究表明，我们大脑的任何思维过程都是贝叶斯定理的一个应用[xi]，我们做任何一个判断，都是我们以前的经验、我们的价值观和新的数据的一个结合。我们的一个正常的思维过程，相当于利用贝叶斯定理做了一次计算。审美也是一个思维过程，因此综合这两个研究结果，结论必然是存在审美的普遍标准，当然也应该存在科学之美的普遍标准。
我利用科学研究的标准三阶段方法，也就是归纳、证实和证伪，经过多年的研究，发现了审美的两个要素：审美者的价值观判断审美对象是否有缺陷，见识甄别审美对象是否不常见。同时满足没缺陷不常见两个条件的审美对象我们就觉得美，没缺陷不常见是美的充分必要条件，这个广义美的判断法则对所有类型的美都适用。（注1：本文的重点不是介绍我的美学理论，所以如果不知道“没缺陷不常见”这个梗，请自行搜索“没缺陷不常见”自行脑补；注2：请不要急于搬出“断臂维纳斯”以及漏洞百出的“残缺美”理论来批判我，因为我已经应用证实和证伪的科学方法对“残缺美”理论做了彻底批判，在这个过程中顺便揭示了传统美学的四大误区。请自行搜索“张双南残缺美”了解我对“残缺美”理论的批判。）
我们下面用“没缺陷不常见”来考察前面几位科学家的审美观。
尼马·阿尔卡尼-哈米德教授认为科学理论之“美”的体现就是基本的原理。很显然，从科学研究追求基本原理的价值观看，“基本”就是“没缺陷”的一种体现，而“基本”的科学原理其实很少，当然就是“不常见”，所以我们会觉得这样的科学理论很美，当然并不是所有人认为美的科学理论都是基本的科学理论。所以“基本”是美的充分条件，但不是美的必要条件。
张首晟教授认为宇宙当中最最深奥，最最普世的这些规律，都是非常的美妙。同样，最最深奥，最最普世的这些规律对科学家来说肯定就是没缺陷不常见的，所以我们会觉得美，不过也有很多科学理论或者结果不是那么深奥也不是那么普世，也有人觉得美，所以“最最深奥，最最普世”也只是美的充分条件，而不是美的必要条件。
文小刚教授强调：“我认为美的东西就是美”，“如果自己的追求真的是美，或早或晚，都会得到大家的欣赏和认同，大家就会跟着做。这时你自己对美的标准就变成了公众的标准。”根据我前面的分析，这无法完全回答那两个“为什么”。但是可以把第一句话修改成“我认为美的东西对我自己就是美”，因为这符合我自己的价值观和见识所判断的没缺陷不常见，但是在别人眼里也许有缺陷，也许很常见，所以别人不一定觉得美。但是如果“我的理论”最后经受住了科学方法的检验[xii]，大家就都认可它属于“没缺陷”，如果别人也认为这个科学理论“不常见”（当然这就是创新的内涵），别人就会觉得美。这就是为什么我说“科学技术创新的本质就是对美的追求”。
陈丕燊教授在文章中说，“广义相对论对于宇宙常数的来源及其任意性，竟无从解释。爱因斯坦曾经说：「引进这样的常数，就意味着在相当程度上放弃了这个理论的逻辑简单性。」然而这个史上最完美理论的瑕疵，却使它显得更美！”那么我们目前无法解释宇宙常数以及“放弃了这个理论的逻辑简单性”是否就是一个缺陷呢？事实上，目前无法解释不表明以后不能解释，而放弃简单性更不是理论的缺陷，因为宇宙的规律本来就无需简单。所以从科学的价值观上判断，“宇宙常数”并不是一个瑕疵，更不是一个缺陷。我本人就写过文章说明广义相对论仍然是完全没缺陷极端不常见的科学理论，是一个美哭的科学理论。
韦尔切克教授认为美的法则就是丰富性和不变性，丰富性和不变性也满足科学的价值观，属于没缺陷的一种，而这样的科学规律也不多，当然就是不常见。只不过有一些科学规律并不是那么“丰富和不变”，由于满足有些人的价值观和见识所判断的没缺陷和不常见，他们也会觉得美。
最后，杨振宁教授在解释“科学中的美是‘无我’的美”的时候，举的几个例子是霓虹、麦克斯韦方程式、牛顿的运动方程式、爱因斯坦的狭义和广义相对论方程式、狄拉克方程式和海森伯方程式，这些都是属于没缺陷不常见的例子，难怪杨先生会觉得这些科学很美。但是如果你不理解这些方程式，就无法体会它们的没缺陷，当然也无法判断它们是否不常见，你就不会觉得它们美。比如，你如果问一个民工狄拉克方程式美不美，他肯定觉得你在开玩笑。当然我在这里丝毫没有不尊重民工的意思，只是想说明“科学中的美是‘无我’的美”肯定是不成立的。
到底什么是最美的科学公式？
最后我们回到本文开始提出的问题，到底什么是最美的科学公式？很显然每个人的科学价值观和科学见识不同，他眼里最美的科学公式和其他人就不一定一样。所以在这里我只能根据我自己的科学价值观和科学见识来说明我认为的最美的科学公式。
这个公式就是前面张首晟教授提到的爱因斯坦的著名的质能公式E=mc²，只不过我得到这个结论的原因在于这个公式的完全没缺陷极端不常见。我同意张首晟教授的解释，这个公式“小用到原子，大用到整个宇宙”都完全成立。事实上原子弹、氢弹、核能、各种加速器和对撞机、太阳内部和宇宙大爆炸的基本原理和过程都是这个公式，科学家还从来没有发现过违反这个公式的任何现象和过程，所以这个公式完全没缺陷。同时，我还没有见到过任何其它科学公式如此简单、但是功能如此强大而且适用范围如此广泛，因此这个公式极端不常见。总结起来，对我来说，E=mc²就是最美的科学公式，是美哭的科学公式。
本文作者：张双南，中国科学院高能物理研究所研究员，中国科学院粒子天体物理重点实验室主任。回复关键词【张双南】给科学人可阅读张双南专栏文章。
编辑：婉珺
排版：Sol_阳阳
参考资料：
[i]Clara Moskowitz. The World's Most Beautiful Equations，LiveScience
[ii]Clara Moskowitz.《五大最美数学公式》，《环球科学》，2016.2，P84
[iii] Philip Ball，丁嘉琦编译，《科学家偏爱优美的理论，但追求“美”会不会妨碍探究“真”？》，环球科学微信公众号，2015.12.24，文章来源：Aeon
[iv]张天蓉，《物理学之美》，中科院物理所微信公众号，2016.3.25
[v]《张首晟：教一个孩子怎么造船，一开始就要给他一个大海的梦想》，未来论坛微信公众号，2017.1.11
[vi]文小刚，《创新就是孩子的游戏｜经典回顾》，赛先生微信公众号，2017.1.31
[vii]陈丕燊，《美是均衡中有错愕——<完美的理论>导读》，数理人文微信公众号，2016.1.10，原载于《数理人文》Vol. 6, 2015
[viii]Steve Paulson，商白编译，《“美”才是物理的真谛：诺奖得主Wilczek谈量子力学、宇宙与灵魂》，知识分子微信公众号，2016.05.05，文章来源：Nautilus，原载于中国物理学期刊网
[ix]杨振宁，《美在科学与艺术中的异同》，知识分子微信公众号，2016.6.26
[x]Zeki S,Romaya J, Benincasa D, Atiyah M. The experience of mathematical beauty and itsneural correlates. Frontiers in Human Neuroscience. 2014;8(68).
[xi]LauraSanders. Bayesian reasoning implicated in some mental disorders. ScienceNews，Vol.189, No. 11, May 28, 2016, p. 18
[xii]张双南，《科学的目的、精神和方法是什么？》，科学人微信公众号，2016.10.26
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