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第十六章 分式
分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式。 分式有意义、无意义的条件：
分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0。
分式值为零的条件：
当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式为0的条件是A＝0，且B≠0.）
（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检
验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为
（
注意：（1）“C是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；
（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；
（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一
整式C；
（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。
5.分式的通分：
和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成
相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分
母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：
（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；
（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；
（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。
6.分式的约分：
和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫
做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母
分解因式，然后再约分；
（2）找公因式的方法：
① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就
是公因式；
②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；
（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前；
（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；
7.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示是：
提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简
分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘；
（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变
（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；
（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。
①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号
里面的；
②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；
③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
用式子表示是： （其中n是正整数）
注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；
（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分式的偶次幂
为正，奇次幂为负；
（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；
（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解
因式，再约分。
分式的加减法则：
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：±＝
法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。
用式子表示为： ±＝±＝
注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括
号可以省略；
（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，
特别是分子相减，要注意分子的整体性；
（3）运算时顺序合理、步骤清晰；
（4）运算结果必须化成最简分式或整式。
分式的混合运算:
分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算
乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。
8.任何一个不等于零的数的零次幂等于1，
即
注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。
9.整数指数幂：
若m、n为正整数，a≠0，am÷am＋n＝＝
又因为am÷am＋n＝am－﹙m＋n﹚＝a－n,所以a－n＝
一般地，当n是正整数时，a－n＝（a≠0），即a－n（a≠0）是an的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体
整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
（4）同底数的幂的除法：
（5）商的乘方：
规定：a0＝1（a≠0），即任何不等于0的零次幂都等于1.
10.分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。
分
去分母
式方程的解法：（
转化
1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程.（2）解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质；
②解这个整式方程；
③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0
的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。
注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；
② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！
解分式方程的步骤 ：
能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根．
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
11.含有字母的分式方程的解法：
在数学式子的字母不仅可以表示未知数，也可以表示已知数，含有字母已知数的分式方程的解法，也是去分母，
解整式方程，检验这三个步骤，需要注意的是要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示未知数，还要注意题目的
限制条件。计算结果是用已知数表示未知数，不要混淆。
12.列分式方程解应用题的步骤是：
(1)审：审清题意；(2)找:找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。
应用题有几种类型；基本公式是什么？
基本上有五种：(1)行程问题 基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
(3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
(4)顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
11.科学记数法：把一个数表示成
用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；
用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a︱＜10.
第十七章 反比例函数
1.定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系表示成y＝
y是x的反比例函数，其中x是自变量，y是函数。例如y＝; y＝- ; y＝(m为常数)等。
提示：（1）y＝也可以写作y=kx-1的形式或xy=k的形式（k为常数且k≠0）；
（2）反比例函数的自变量x不能为0；
（3）k=xy是反比例函数的另一种表示形式，即两变量的积是一个常数。
2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。
有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点。
3.性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
4.|k|的几何意义：
表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
知识点：
1·一般地，如果两个变量x、y之间的关系可表示成y＝（K为常数，K≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。
反比例函数的自变量x不能为零。
2·反比例函数的图象及其画法
反比例函数图象的画法——描点法：
⑴ 列表——自变量取值应以0（但（x≠0）为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的
y的值；
⑵ 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；
⑶ 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的
趋势，但永远不与坐标轴相交。
反比例函数y＝的图象是由两支曲线组成的。当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
小注：
⑴ 这两支曲线通常称为双曲线。
⑵ 这两支曲线关于原点对称。
⑶ 反比例函数的图象与x轴、y轴没有公共点。
|
反比例函数 |
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k的符号 |
k > 0 |
k < 0 |
|
图象 （双曲线） |
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x、y 取值范围 |
x的取值范围x≠0 y的取值范围y≠0 |
x的取值范围x ≠0 y的取值范围y ≠0 |
|
位置 |
第一,三象限内 |
第二,四象限内 |
|
性质 |
（1）自变量x的取值范围为：x ≠0； （2）函数图象的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。 |
（1）自变量x的取值范围为：x ≠0； （2）函数图象的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小。 |
|
增减性 |
每一象限内,y随x的增大而减小 |
每一象限内,y随x的增大而增大 |
|
渐近性 |
反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点. |
|
|
对称性 |
反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.反比例函数的图象也是轴对称图形. |
提示:（1）反比例函数y＝（k≠0），因为x≠0，y≠0,故图像不经过原点，双曲线是由两个分支组成的，一般不说
两个分支经过第一、第三象限（或第二、第四象限），而说图像的两个分支分别在第一、第三象限（或第二、
第四象限）
（2）反比例函数的增减性不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，一般是在各自的象限内的增减情况；
（3）反比例函数的图像无限接近坐标轴，但永远不能和坐标轴相交，也不能“翘尾巴”；
（4）反比例函数图像的位置和函数的增减性都是由反比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和
函数的增减性，也可以推断出k的符号。如：已知双曲线y＝在第二、第四象限，则可知k＜0.
第十八章 勾股定理
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长
为c，那么a2＋b2=c2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）
4.直角三角形的性质
（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°
∠A=30°
可表示如下：
∠C=90°
（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
可表示如下：
D为AB的中点
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠
CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC
7、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系
8、命题、定理、证明
⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子；
（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
⑵命题的分类（按正确、错误与否分）
命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。
⑶公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。
⑷定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。
⑸证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。
⑹证明的一般步骤
① 根据题意，画出图形。
② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。
③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。
9、数学口诀.
平方差公式:平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。
完全平方公式:完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，
尾项符号随中央。
第十九章 四边形
一、平行四边形：
㈠.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
㈡.平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分。
㈢.平行四边形的面积：
1.平行四边形的面积=底×高= ah（a是平行四边形的任何一条边长，h必须是边长为a的边与其对边的距离）
2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等。
㈣.平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
提示：（1）平行四边形的判定方法都需要关于边、角、对角线之间的两个适当条件作为命题正确的构成条件；
（2）判定方法可作为 “画平行四边形”的依据；
（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形。
㈤三角形中的中位线
1、三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
提示：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。每一条中位线与第三边都有相应的位置关系和数量关系。
（三角形的中位线不仅可以证明直线平行，也可以证明线段的倍分关系）；
（2）三角形中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别。
3、三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。
数量关系：可以证明线段的倍分关系。
常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。
结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
㈥ 两条平行线间的距离
1、定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离。
2、性质：⑴ 两条平行线间的距离处处相等；
⑵ 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。
二
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；
⑵ 矩形的四个角都是直角；
⑶ 矩形的对角线平分且相等； （AC=BD）
⑷ 矩形是轴对称图形，它有2条对称轴。
提示：⑴ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等，“矩形的对角线相等”这一性质可用来证线段相等；
⑵ 矩形的两条对角线分矩形为面积相等的四个等腰三角形。
3、矩形判定方法：
⑴定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
⑵方法1：对角线相等的平行四边形是矩形。
⑶方法2：有三个角是直角的四边形是矩形。
三
1、菱形的定义
：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质；
⑵ 菱形的四条边都相等；
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷ 菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，
可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、菱形的判定方法：
⑴定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
⑵判断方法1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
⑶判断方法2：四条边相等的四边形是菱形。
4、菱形面积的计算：
菱形面积= 底×高= 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）
归纳：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。
四、正方形
1、正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
警示：⑴ 正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；
⑵ 既是矩形又是菱形的四边形是正方形；
⑶ 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，还是特殊的菱形。
2、正方形的性质：
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
⑴ 边—— 四条边都相等，邻边垂直、对边平行；
⑵ 角—— 四个角都是直角；
⑶ 对角线—— 对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
⑷ 对称性—— 是轴对称图形，有四条对称轴。
⑸ 特殊性质—— 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；
正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形
3、正方形的判定：
判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：
⑴ 先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；
⑵ 先证它是菱形，再证它有一个角是直角。
五、梯形
1、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2、梯形的分类： 一般梯形
⑴
特殊梯形
直角梯形：有一个角是直角的梯形。 梯形 直角梯形⑵等腰梯形：两腰相等的梯形。 等腰梯形
3、等腰梯形的性质：
⑴等腰梯形两腰相等，两底平行；
⑵等腰梯形同一底边上的两个角相等；
⑶等腰梯形的两条对角线相等。
⑷等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴。
4、等腰梯形的判定：
⑴两腰相等的梯形是等腰梯形；
⑵在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
⑶对角线相等的梯形是等腰梯形。
提示：等腰梯形的判定思路：先证四边形为梯形（即一组对边平行且不等或另一组对边不平行），再证两腰相等或同一底上的两个角相等。
5、解决梯形问题常用辅助线的作法：
解决梯形问题常用辅助线的作法如下图：
① ② ③ ④ ⑤
①“平移腰”：过上底端点作一腰的平行线，构造一个平行四边形和一个三角形；
②“作高”：使两腰在两个直角三角形中；
③“平移对角线”:使两条对角线在同一个三角形中；
④“延长两腰”:构造具有公共角的两个三角形；
⑤“等积变形”:连接梯形一腰的端点和另一腰中点，并延长与底的延长线交于一点，构成三角形。
转化
综上所述，解决梯形问题的基本思想和方法：梯形问题——————→三角形或平行四边形问题，
分割、拼接
这种思路常常通过平移或旋转来实现。
六、重心
1、重心的定义：平面图形中，几何图形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平衡状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，也叫做重心。
2、几种几何图形的重心：
⑴ 线段的重心就是线段的中点；
⑵ 平行四边形及特殊平行四边形的重心是它的两条对角线的交点；
⑶ 三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心；
⑷ 任意多边形都有重心，以多边形的任意两个顶点作为悬挂点，把多边形悬挂时，过这两点铅垂线的交点就是这个多边形的重心。
提示：⑴ 无论几何图形的形状如何，重心都有且只有一个；
⑵ 从物理学角度看，几何图形在悬挂或支撑时，位于重心两边的力矩相同。
3、常见图形重心的性质：
⑴ 线段的重心把线段分为两等份；
⑵ 平行四边形的重心把对角线分为两等份；
⑶ 三角形的重心把中线分为1:2两部分（重心到顶点距离占2份，重心到对边中点距离占1份）。
第二十章 数据的分析
1.加权平均数：加权平均数的计算公式。
权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。
学会权没有直接给出数量，而是以比的或百分比的形式出现及频数分布表求加权平均数的方法。
2.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。
3.一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数（mode）。
4.一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range)。
5. 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。
数据的收集与整理的步骤：1.收集数据 2.整理数据 3.描述数据 4.分析数据 5.撰写调查报告 6.交流
6.平均数受极端值的影响众数不受极端值的影响，这是一个优势，中位数的计算很少不受极端值的影响。
宽和长的比是
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